МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Равенства (22) показывают, что при / > О собственные значения увеличиваются (в основном за счет членов, линейных по I и Г ), так что уровни энергии повышаются, причем с учетом величин матричных элементов V можно сказать, что повышение второго возбужденного уровня сильнее, чем основного При этом надо помнить, что и та, и другая величина -оценки сверху для точных значений, и насколько они уклоняются от точных значений, сказать на базе вариационного принципа без дальнейшего анализа нельзя. Что же касается волновых функций, то в основном состоянии при / > О происходит увеличение плотности при значениях х вблизи нуля, а точнее при д < , и уменьшение [c.152]

В выражениях (3.47) и (3.48) предполагается, что оболочка и/ заполнена, оболочка n l может быть любой. Равенство (3,49) справедливо без каких-либо ограничений на оболочки п1 и n l. Таким образом, основная масса слагаемых в правой части (3.44) дает одинаковый вклад во все диагональные матричные элементы кулоновского взаимодействия электронов и поэтому не влияет на взаимное расположение собственных значений секулярной матрицы и расщепление конфигурации на уровни. Эти слагаемые естественно выделить в отдельную группу, оставляя в (3.44) лишь те слагаемые, которые относятся к незаполненным оболочкам и/ и n l (с f > О для слагаемых кулоновского типа). Удобнее вьще-лить из всех диагональных матричных элементов более симметричную часть [c.152]

Собственные значения энергии можно получить, оценив соответствующие матричные элементы перехода между ядерными состояниями /т> [c.94]

При фиксированной геометрической конфигурации ядер вычисляются матричные элементы < > электронного гамильтониана с использованием правил Слэтера (17) и (18), после чего записывается вековое уравнение (21) и находятся его корни, являющиеся оценками сверху для соответствующих собственных значений электронного гамильтониана. [c.268]

Собственные значения [ и 2 зависят от К, поскольку зависимость от Л присуща матричным элементам Я /. Возникает при [c.416]

Этот результат подобен следствию из теоремы, выдвинутой ранее ( разд. 4.3.2) относительно коммутирующих операторов. В данном случае коммутируют гамильтониан и оператор Fz (см. гл. XI) и матричные элементы <Ч п <9 т> для собственных функций, принадлежащих различным собственным значениям п и т оператора Рг, равны нулю. [c.165]

Все мультипликативные функции 0 являются собственными функциями Рг с собственными значениями тт. Так как оператор Рг коммутирует с гамильтонианом, то матрица гамильтониана распадается на подматрицы, поскольку матричные элементы вида исчезают, если фк и являются мульти- [c.424]

Способ 3 (определение числа ненулевых собственных значений). Вычислим матричное произведение А А или АА и для полученной симметрической матрицы найдем собственные значения Хи. .. и т. д. (см. раздел 8.1.3). Число ненулевых собственных значений матриц А А или АА равно нх рангу, который совпадает с рангом матрицы А. Если это удобно для расчета, все элементы матрицы А А или АА можно разделить на любое число, например ва число строк или столбцов в матрице А. [c.163]

Для представления когерентности вместо явной записи матричных элементов можно использовать эквивалентное обозначение через однопереходные операторы. Например, когерентность, соответствующую собственным состояниям 0 и и>, можно представить как оператор 10< - В зависимости от значений магнитных квантовых чисел М( и Ми этому оператору ставится в соответствие один из однопереходных операторов /+< > или которые определя- [c.351]

Все матричные элементы этого гамильтониана могут быть выражены через /гг и операторы повышения и понижения, а их значения — получены без проведения численных расчетов. Поскольку базисные функции представляют собой собственные функции оператора /г , последний не дает вклада в недиагональные матричные элементы. Диагональные элементы являются простой суммой одночастичных членов X и двухчастичных [c.358]

Для вычисления матричных элементов необходимо найти собственные значения спиновых операторов (р,-Р1 и Р,). [c.93]

Вычисленные матричные элементы подставляют в вековые определители и находят собственные значения. Из составленной в результате расчета схемы энергетических уровней можно узнать положение резонансных линий поглощения. [c.95]

Мультипликативные функции являются стационарными волновыми функциями, а диагональные матричные элементы (недиагональными элементами пренебрегают) — собственными значениями энергии (табл. 24). [c.103]

Рассмотрим теперь построение ядерного уравнения, опре-делящего собственные значения полного гамильтониана. Прежде всего определим действие оператора на решения электронного уравнения и вычислим матричные элементы вида [c.214]

Кроме матричных элементов гамильтониана для изучения характера связи важны также коэффициенты в разложении собственных функций но АО они определяют так называемые заселенности АО, а последние в свою очередь — значения эффективных зарядов на атомах. [c.29]

В уравнении (1.25) функция (х) была искомой, функции Ф [х) заданы (известны). Поэтому, найдя Сп, мы нашли бы и (х). Система уравнений (1.27) как раз и может служить для отыскания коэффициентов Сп, так как — это заданные матричные элементы оператора в М-представлении. Итак, система (1.27) есть бесконечная система линейных однородных уравнений для определения коэффициентов с , т. е. волновой функции (х) в М-представлении, а также собственных значений Ь. [c.34]

Перейдем теперь к вычислению приведенного матричного элемента углового момента. Собственное значение 2 -компоненты момента J = J равно М. Таким образом, [c.111]

Легко показать, что матричные элементы (17.49) и (17.50) являются собственными значениями оператора [c.162]

Теорема IV. Если — оператор, коммутирующий с оператором а (оба оператора — эрмитовы), и и — собственные функции о, то матричный элемент ф равен нулю, если только не имеет места равенство а — а у где и 2 собственные значения ф и фд. [c.54]

Так как матричные элементы между функциями с различными значениями их собственных значений для равны нулю, вековой детерминант с шестью рядами для четырехэлектронной задачи сводится, таким образом, к одному детерминанту третьего порядка, одному детерминанту второго порядка и одному детерминанту первого порядка. Энергия основного состояния системы, по нашему предположению, должна даваться одним из корней детерминанта второго порядка, так как собственные функции связи, входящие в этот вековой детерминант, отвечают максимальному числу связей. Это, кроме того, подтверждается опытным фактом, что основное состояние большинства молекул не парамагнитно, что указывает на нулевой спин. [c.315]

Квадратная таблица, образующаяся из этих чисел, когда Г и V" пробегают все собственные значения наблюдаемой Г, называется матрицей а, а сами числа называются матричными элементами (ср. раздел 7 настоящей главы). [c.26]

Обозначим попарно различные собственные значения а через а -,. .. Если при этом значение а имеет вырождение кратности то мы должны будем ввести новый индекс для обозначения различных состояний, относящихся к тому же самому собственному значению. Мы можем обозначить эти состояния через где /=1, 2,. . ., Поскольку система ф для данного п определена только с точностью до унитарного преобразования, то желательно выбрать функции этой системы в наиболее удобном для рассматриваемой проблемы виде. Выберем таким образом, чтобы псе матричные элементы типа (а I V а ) были равны нулю, за исключением случая I — I. Это возможно, поскольку преобразование, которое диагонализирует часть матрицы V, относящейся к уровню а для какой-нибудь заданной системы 4 (а ), преобразовывает эту систему ф к системе, удовлетворяющей только что поставленным условиям. [c.38]

Как в п1тп1х]-, так и в и//шу] -представлении матрица оператора возмущения К = с + (У,,, имеет блочно-диагональный вид. Каждый диагональный блок соответствует определенному значению MJ. Матричные элементы между определителями с различными Л// равны нулю. Утверждение очевидно оператор коммутирует с оператором Лг, а базисные системы состоят из собственных функций последнего. Так, на примере -конфигурации секулярная матрица будет состоять из пяти блоков, так как Л// может принимать пять значений М/ = 2,1,0, -1, -2. Размеры этих блоков равны числу определителей, отвечающих данному значению Л//, т.е. 2, 3, 5, 3, 2 соответственно. Таким образом, секулярная матрица имеет вид, изображенный на рис. 4. Крестиками обозначены [c.132]

Выражение матричных элементов секулярной матрицы через радиальные интегралы кулоновского и спинюрбитального взаимодействий — это в определенном смысле законченный этап исследования. Возможности упрощения задачи, вытекающие из ее сферической симметрии, использованы полностью. Не зная численных значений радиальных интегралов, найти собственные значения секулярной матрицы в общем случае невозможно. Однако во многих интересных для физики случаях задача фактически содержит малый параметр. Если воспользоваться этим обстоятельством, можно написать приближенное решение секулярной задачи, все еще оставляя радиальные интегралы свободными параметрами. [c.171]

Секулярную задачу для оператора удобнее всего решать в 18М1Мз-представлении. Его матрица в этом представлении диагональна по X, 8, М1, Л/5, а диагональные матричные элементы не зависят от М1 и М . Позтому собственные значения также не зависят от квантовых [c.172]

Таким образом, расчет состоит из двух попеременно выполняемых операций расчета матричных элементов Ртп и Зтп, вычисления вектора собственных значений е, и матрицы коэффициентов из (5.3). В зависимости от способа расчета матричных элементов методы расчета подразделяются на неэмпирические и полуэмпирн-ческие. В неэмпирических методах интегралы перекрывания и Рта вычисляются прямым интегрированием соответствующих подынтегральных выражений, построенных из аналитических выражений для АО. Эти выражения имеют, как правило, корректную угловую составляющую и тем или иным способом аппроксимированную радиальную используется слейтеровская аппроксимация, разложение в ряд по гауссианам или экспонентам и другие приемы. [c.193]

Матричный элемент оператора А в его собственном предсгазлении имеет вид = Так как А = а Ч и собственные функции, соответствующие различным собственным значениям оператора, ортогональны, то, следовате а.но, А = а 3, ,, где — символ Кронекера. [c.89]

Следующим важным этапом на пути алгоритмизации задачи расчета ЭПР-спектра является выбор структуры данных, с которыми предстоит работать вычислительной машине. Использование алгоритма Ланцоша для решения задачи на отыскание собственных значений оператора —(Ь+гГ) позволяет выбрать любой компактный способ хранения матричных элементов, поскольку в процессе вычислений исходная матрица не изменяется. В наших программах применен "блочный способ формирования и хранения матрицы оператора Ь матричные элементы оператора Г хранятся в оперативной памяти отдельно в виде вектора. [c.228]

В квантовых системах с центрально-симметричным потенциалом начальное и конечное состояния характеризуются собственными волновыми функциями оператора г- Поэтому при 6) Ф а) имеем Ь Е а) =0. Операторы и Су, не меняя радиальной функции и квантового числа I, изменяют (см. 40) квантовое число т на 1. Однако поскольку в центрально-симметричном поле состояния, отличающиеся только значениями т, имеют одинаковую энергию, то переходы между ними не связаны с испусканием или поглощением энергии. Если атом находится во внешнем магнитном поле, то энергия уровней будет зависеть от магнитного квантового числа т. В этом случае возможны ЛИ-переходы между двумя зеемановскими компонентами уровней тонкой структуры (Д/= О, Л/л = 1). Эти переходы можно использовать для измерения энергии зеемановского расщепления. В квантовой системе с нецентральным потенциалом орбитальный момеит не является интегралом движения, поэтому матричные элементы (95,10) могут быть отличны от нуля. В системах с большим спин-орбитальным взаимодействием (атомные ядра) матричные элементы (95,10) также могут играть роль в /И1-переходах. Однако при наличии спина надо учесть, что квантовые переходы ЛИ могут вызываться и оператором спина. Матричные элементы таких переходов, согласно (94,21), можно записать в виде [c.455]

В 90 было найдено общее выражение (90,11) для матричного элемента а т(0. определяющего переход под влиянием возмущения W из состояния т) в состояние /г). Пусть состояния т) ц и их энергии Вт и являются собственными функциями и собственными значениями оператора Гамильтона На двух по> ,систем, оператор взаимодействия W между которыми обуслсзливает переходы. В представлении Шредингера оператор, W не зависит от времени ). [c.477]

Энергия электростатического взаимодействия электронов в состоянии 1ГSLM M определяется собственным значением оператора W в состоянии т. е. матричным элементом [c.163]

Если при вычислении матричного элемента взаимодействия // используются точные волновые функции, т. е. собственные функции оператора /У, то все три формы записи И ь соверишнно равноправны и должны приводить к одному результату. В случае же приближенных функций результаты могут оказаться совершенно различными. Основной вклад в радиальные интегралы (33.7) — (33.9) дают различные области значений г. Очевидно, что лучшие результаты получаются в том случае, если функции Р , будут определены с наибольшей точностью именно для тех значений /, которые наиболее важны при вычислении интегралов [c.402]

Смотреть страницы где упоминается термин МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ: [c.98] [c.302] [c.209] [c.222] [c.9] [c.42] [c.134] [c.195] [c.347] [c.386] [c.423] [c.161] [c.55] [c.408] [c.67] [c.92] [c.41] [c.28] [c.163]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология