Собственные векторы и собственные значения матриц

X — собственные значения матрицы Р, а в столбцах матрицы Н стоят координаты собственных векторов матрицы Р- Подставив в ( 111.29) уравнения ( 111.30) и ( 111.31), получим [c.288]

С вводом управляющего воздействия (32) динамические характеристики системы определяются собственными значениями матрицы замкнутого контура А + Ьк вместо матрицы А открытого контура. Если А — неустойчивая матрица, то необходимо так подобрать вектор к, чтобы матрица замкнутого контура А + Ьк стала устойчивой. [c.124]

Второй подход более удобен, так как не требует выбора констант Кроме того, различие в величинах констанг иногда составляет многие порядки и выбор 0 = ехр (з ) в ряде случаев уменьшает разброс собственных значений матрицы Гесса и ускоряет минимизацию. К сожалению, иногда наблюдается и обратная картина, поэтому можно организовать некий комбинированный метод, с помош ью которого для тех компонент вектора 0, для которых введение замены 0у = ехр (Zj) приводит к ухудшению организации поверхности, осуш ествляется замена лишь при попытке этой компоненты выйти за границу допустимой области. [c.226]

Методы вычисления собственных значений матрицы без развертывания определителя чаще всего являются итерационными. В любом итерационном методе объем вычислений определяется заданной точностью и скоростью сходимости, причем последняя в значительной степени зависит от свойства матрицы. В этих методах собственные значения и соответствующие им собственные векторы получаются как пределы некоторых числовых последовательностей [33]. [c.285]

Программа, реализующая метод Якоби, представлена на стр. 288. Она состоит из процедуры и обращения к ней. Формальным и параметрами процедуры являются N — порядок матрицы А — матрицы коэффициентов LAM — вектор собственных значений S — матрица собственных векторов. [c.287]

Для того чтобы сдвинуть собственные значения матрицы замкнутого контура, применим метод модального управления. Пусть матрицы V и У образованы из собственных векторов и [c.124]

Векторы-столбцы матрицы II представляют собой векторы-столбцы матрицы Т из уравнения (12.5-4), нормированные к единичной длине. У — диагональная матрица, содержащая сингулярные числа (квадратные корни из собственных значений матрицы Х Х). В общем случае (если не пренебрегать малыми сингулярными числами) размерность матрицы У (Л) равна N. Матрица V совпадает с Р. [c.524]

Плотность вероятности для равномерного распределения (а и Ь — фаничные точки интервала, причем а<Ьиа<х<Ъ) Плотность вероятности для распределения Вейбулла (s > О — параметр формы) Собственные значения матрицы М Нормированный собственный вектор матрицы М, соответствующий ее собственному значению z [c.437]

Итак, решение задачи о собственных значениях матрицы ЬР можно искать с помощью собственных векторов х, т. е. столбцов матрицы преобразования X или векторов гу -строк матрицы = X L . С этой целью матрица ЬР умножается на л справа или на ге> слева. Собственное значение матрицы ЬР в обоих случаях остается тем же самым. [c.249]

Для нахождения первого собственного значения матрицы М (см. раздел 8.1.3) вычисляем произведение YnM, где Yo — произвольно выбранный единичный вектор Fo = (111 1). Например, первый элемент этого произведения равен [c.47]

Как видно, вектора ( 1)5 и ( 1)6 практически совпадают. Поэтому наибольший элемент произведения (У1)5М будет первым собственным значением матрицы М (XI = - 1,36720), а вектор (У])б — ее ненормированным первым собственным вектором. Прв< изведем нормировку этого вектора к его собственному значению [c.48]

Резюме. Одномерное подпространство, подобранное для представления данных в соответствии с критерием максимизации информации, определяется собственным вектором м, связанным с наибольшим собственным значением матрицы X — Х) X — А"). Этот результат можно обобщить -мерное подмножество, подобранное для представления исходных данных в соответствии с критерием максимизации информации, определяется ц собственными векторами, связанными с д наибольшими собственными значения.ми. Каждый дополнительный собственный вектор вносит уточняющую информацию до тех пор, пока размерность подпространства не достигнет размерности матрицы данных (Л"). При этом выделяется вся информация, содержащаяся в матрице данных. [c.193]

Задание 111. Определите собственные векторы, соответствующие собственным значениям секулярной матрицы для фульвена в приближении МОХ. Каждый собственный вектор этой матрицы можно рассматривать как молекулярную орбиталь, являющуюся линейной комбинацией атомных орбиталей. Энергия каждой такой орбитали равна соответствующему собственному значению секулярной матрицы. [c.207]

Как видно, вектора (У1)б и (Ух)е практически совпадают. Поэтому наибольший элемент произведения х)ьМ будет первым собственным значением матрицы М (Я,5 = 1,36720), а вектор (У1)б — ее ненормированным первым собственным вектором. Произведем нормировку этого векторами его собственному значению [c.59]

Последнее уравнение означает, что Rap есть так называемый собственный вектор и собственное значение матрицы к, равное определителю матрицы Л—/ , т. е. [c.30]

След матрицы АЖ пропорционален сумме квадратов всех элементов матрицы АО, а след матрицы У — наибольшему собственному значению матрицы АЖ. Поэтому замена матрицы АЖ матрицей У У соответствует минимуму суммы квадратов изменений оптических плотностей, которые нельзя объяснить эффектами ионизации. Число элементов вектора У равно числу исследованных растворов, а величина каждого элемента у линейно связана со степенью ионизации в соответствующем растворе. Поэтому зависимость у = f Нх) должна изображаться сигмоидной кривой такого же типа, что и зависимость О = f Нх), а значения рКа можно вычислить по уравнению [c.165]

Собственные значения матрицы обычно нумеруют в порядке убывания их абсолютных величин, т. е. первым называют наибольшее по модулю собственное значение, вторым — следующее и т. д. Собственный вектор, отвечающий первому собственному значению, называют первым, и т. д. [c.209]

Если уравнение (10.6) решено (с использованием истинных значений силовых постоянных), то получены корни (собственные значения матрицы) Л,, Яг,. .., Я . Для каждого Л имеется собственный вектор 1л, который удовлетворяет соотношению [c.98]

Величины являются собственными значениями матрицы Fa каждой величине v соответствует собственный вектор. Колебание, совершаемое вдоль этого вектора с частотой V, есть гармоническое (нормальное) колебание или нормальная мода колебаний, а сумма всех гармонических колебаний — это общее колебание молекулы. [c.164]

ИЛИ собственными значениями матрицы К. В разделе II, Б, 2, м. показано, что характеристические корни матрицы констант скоростей К являются отрицательными величинами константы рас- пада %г в системе уравнений (6). В приложении I, В показано, что эти характеристические корни являются неположительными числами. Поэтому мы будем писать характеристические корни матрицы констант скоростей К в виде — где Л,- — положительное действительное число или нуль. Наличие минуса в уравнении (18), который означает, что вектор при действии матрицы К претерпевает не только изменение длины, но и перемену знака, не изменяет наших рассуждений. [c.86]

Вековое уравнение (2.214) — уравнение собственных значений матрицы Р, а наборы коэффициентов ац,,, определяемые из уравнения (2.213), — ее собственные векторы. [c.97]

Пусть собственные значения матрицы Г = Г[х,у) различны. Тогда собственным вектором для Л1 = О будет ф = у, и собственные векторы при Xj ф О являются нормалями к конфокальным квадрикам в точке касания = х Sjy с прямой проходящей через х в направлении у. [c.152]

Ш а г 2. Вычислим вектор собственных значений матрицы А. и определим наибольшее собственное значение Ящах- [c.276]

Таким образом, мы пришли к семейству (11,193), (11,194) с р = 1. Следовательно, Яф положительно определена для любого Ф 5= 0. Теперь ограничим диапазон изменения параметра Ф отрезком [0,1]. Это связано со следующим интересным свойством матрицы Нф для Ф [0,1] и квадратичной функции (11,9) собственные значения матрицы к = А НфА % расположенные по порядку, стремятся монотонно к единице для любой последова-телЪности векторов я, определяемой соотношениями (1,40), (11,272). Причем это справедливо независимо от того, проводится одномерный поиск или нет. [c.113]

За удобство (решение каждого уравнения отдельно) плата составляет двойной переход. В целом, однако, в вычислительном смысле получен несомненный выигрыш. Правда, достигнут он цепой решения проблемы вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы, что отнюдь не простая задача. Рассмотрим метод, не требующий решений этой проблемы и стадии предварительной развязки системы [60]. [c.177]

Таким образом, расчет состоит из двух попеременно выполняемых операций расчета матричных элементов Ртп и Зтп, вычисления вектора собственных значений е, и матрицы коэффициентов из (5.3). В зависимости от способа расчета матричных элементов методы расчета подразделяются на неэмпирические и полуэмпирн-ческие. В неэмпирических методах интегралы перекрывания и Рта вычисляются прямым интегрированием соответствующих подынтегральных выражений, построенных из аналитических выражений для АО. Эти выражения имеют, как правило, корректную угловую составляющую и тем или иным способом аппроксимированную радиальную используется слейтеровская аппроксимация, разложение в ряд по гауссианам или экспонентам и другие приемы. [c.193]

На первом шаге по известной матрице А восстанавливаются истинные значения относительных весов признаков. Эта задача состоит в нахождении нормированного к единице собственного векгора мат )ииы Л, соответствующего максимальному собственному числу. Собственный вектор 6 = бь Лг, . бр матрицы Л получается как результат решения уравнения [c.171]

Упражнение. Докажите следующую лемму, если Н — положительно полуопре-деленная симметричная матрица, а / — антисимметричная матрица, если собственные значения матрицы А - НF обладают неотрицательной действительной частью. Более того, если действительная часть равна нулю, соответствующий собственный вектор является собственным вектором матриц Н и F по отдельности. Используйте эту лемму, чтобы показать, что (12.5.12) является решением уравнения (12.5.10). [c.330]

Совокупность коэффициентов 1ц, 1а, 1ц) называется собственным вектором, соответствующим собственному значению Я . Результаты расчета приведены в табл. 7-2, в которой каждая строчка в матрице направляющих косинусов представляет собой собственный вектор. Слева даны собственные значения. При таком анализе наименьщее из главных значений определяется неточно и остается неопределенность некоторых знаков. Для получения более точных значений надо использовать данные по другим ориентациям. [c.161]

Прп малых промежутках времени t матрица диффу-ЗИР1 практически постоянна и равна своему значению в начальный момент времени. Поэтому, если в касательной плоскости ввести ортонормированную систему координат с базисом из п — собственных векторов, то диффузионная матрица будет близка к единичной, распределение преобразованных генных частот аппроксимируется нормальным и квадрат расстояния от начальной точки имеет распределение где %п-1 есть распределение хи-квадрат с п — 1 степенями свободы. При малых (и, следовательно, малых отклонениях от начальной точки) раостояиие в касательной плоскости эквпва- [c.358]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология