Линия уровня

Рис. 15-6. Изображение целевой функции с помощью линий уровня . Оптимальная программа находится в точке А.

Для наилучшей наглядности, как и при линейном программировании, следует рассмотреть случай с двумя переменными, причем привести также логический ход какого-либо численного решения. Целевая функция может быть представлена линией уровня в плоскости Здесь линия уровня отклоняется от целевой [c.331]

Рис. 15-9. Представление целевой функции с помощью линий уровня .

Начиная с любой точки ( 4), по ступеням данных интервалов перемещаются в направлении, в котором поверхность падает наиболее круто и, следовательно, имеет место наибольший градиент, т. е. в направлении, перпендикулярном к линии уровня (рис. 15-13). Возникает вопрос каким образом можно определить градиент для каждого шага Данный интервал ступени обозначает, ято следующая точка должна находиться на окружности с центром в точке А, поэтому можно написать [c.333]

Условие (3.159) соответствует не только точкам минимума, но и точкам максимума и седловым точкам. Квадратичная форма в (3.160) положительно определена для минимумов, отрицательно определена для максимумов и знакопеременна в седловинах. При овражном типе рельефа линии уровня на разных участках имеют разную крутизну и характеризуются наличием точек излома. Геометрическое место точек излома называется истинным оврагом, если угол направлен в сторону возрастания функции, и гребнем, если он направлен в сторону убывания. Геометрическое место точек с наибольшей локальной кривизной есть разрешимый овраг. Смешанный рельеф — неупорядоченная совокупность двух первых типов рельефа. [c.213]

Типичная картина линий уровня функции двух переменных, имеющей овраг , приведена на рис. 23. Здесь линии уровня сильно растянуты по направлению D и наоборот сильно сжаты вдоль направления СЕ. Следовательно, по направлению СЕ функция меняется быстро, а по направлению D — медленно. [c.72]

Описанные выше локальные методы градиента и наискорейшего спуска малоприменимы для минимизации функций, имеющих овраги . Действительно, рассмотрим, например, использование метода градиента для минимизации функции, линии уровня которой изображены на рис. 23. Пусть закон изменения коэффициента пропорциональности Ш дается формулой (111,13) и спуск привел в точку Л1- Направление вектора-градиента перпендикулярно касательной к линии уровня в данной точке. Поэтому в результате шага по направлению антиградиента следующей точкой спуска может оказаться точка А а, расположенная на другом склоне оврага , в которой функция принимает большее значение, чем в точке А х- Вследствие этого [см. формулу (П1,13)] коэффициент Ш поделится на два, хотя изображающая точка находится далеко от минимума. Такая ситуация может повториться несколько раз в результате шаг сделается достаточно малым и поиск либо остановится в соответствии с критерием (П1,12) далеко от минимума, либо продолжится с очень малой скоростью. [c.73]

Рис. 23. Линии уровня функции двух переменных, имеющей овраг .

Ограничение (V,41) необходимо вводить потому, что если мы выберем 1-1 достаточно большим, то в области В может вообще не существовать ни одной поверхности уровня / ( у) = ц и тогда F (у, х) > 0. Пример такого положения приведен на рис. 48. Здесь линия 7 — это линия уровня / (у) = р.1 для у 6 >1- Пусть неравенство 1] (у) < О ограничивает внутреннюю область кривой Yj на поверхности ф (у) = 0. Тогда, если задать р. = в области D не найдется ни одной линии уровня, на которой выполнялось бы равенство / ( ) = Kin т. е. F (и, р.) нигде не будет равно нулю. [c.99]

Рис. 47. Пример расположения линии уровня / (у) = [г внутри области В.

Рис. 48. Пример расположения линии уровня, лежащей вне допустимой области В.

Характерная особенность этого метода — простота реализации однако общеизвестны и его недостатки метод является линейным — даже при минимизации квадратичной функции процесс поиска ее минимума теоретически бесконечен для функций с сильно вытянутыми линиями уровня (изолиниями) процесс поиска носит явно выраженный зигзагообразный характер и дает слабое продвижение к минимуму точное определение минимума практически нереально. [c.18]

Функции, входящие в (25), нанесены в виде линий уровня на рис. 10, 11, чтобы дать карту, показывающую местоположение, протяженность и тангенс угла наклона максимума коэ(]х))ициента обмена. Для удобства на этих рисунках показаны также координаты f и Я/5 (или Я/О). [c.273]

На рис. 4.1 приведены линии уровней построенной потенциальной поверхности для случая коллинеарного расположения атомов (реакция [c.95]

Рис. 4.1. Линии уровней потенциальной энергии системь О—Н—Н при коллинеарном расположении атомов

Метод градиента и его модификации. Как известно, направление наискорейшего убывания функции противоположно вектору градиента в данной точке. На этом основан классический метод градиента в текущей точке поиска вычисляется антиградиент функции и осуществляется продвижение вдоль этого направления с некоторым шагом. Затем снова осуществляется вычисление вектора антиградиента и т.д. Если функция имеет несколько локальных минимумов, то метод градиента обеспечивает сходимость к одному из них. Метод градиента имеет наибольшую скорость сходимости в случае, когда линии уровней минимизируемого функционала имеют вид, близкий к окружностям. В случае "овражного" рельефа метод градиента малоэффективен, так как происходит спуск в овраг и блуждание от одного его склона к другому без существенного продвижения по дну оврага. Вариант градиентного метода, когда на каждом шаге поиска производится одномерная минимизация вдоль выбранного направления, называется методом наискорейшего спуска [7]. [c.163]

Рис. IX. 2. Линии уровня хорошо организованной функции.

Метод оврагов имеет ряд модификаций. Иногда берут несколько начальных точек a°, a%. .. и проводят экстраполирующий вектор так, чтобы он проходил через наибольшее число точек й, . .., лежащих в овраге . В других вариантах градиентный спуск осуществляют не после каждого овражного шага, а при нарушении неравенства Ф(а ,)<Ф(а ). Этот прием целесообразно применять при слабо искривленных линиях уровня. Все модификации имеют примерно такую же скорость поиска, как и основной метод. [c.228]

Эти методы [6] основаны на квадратичном приближении Ф(а) в окрестности точки а . Метод Ньютона сходится только при достаточно близких к а начальных условиях а°, однако скорость сходимости примерно иа порядок выше, чем у метода градиентов. Если линии уровня Ф(а) сильно искривлены, то метод Ньютона сходится плохо. [c.231]

Линии уровня, соответствующие разным значениям целевой функции, не пересекаются. Внутри линии уровня. [c.140]

Аноды для сульфатных электролитов пока еще выполняют из сплава свинца с 1% серебра, хотя по последним данным, серебро пытаются заменить другими легирующими металлами. Анод из сплава служит почти четыре года, т. е. вдвое больше, чем анод из свинца. Необходимость замены анодов обусловлена скорее уменьшением их толщины по линии уровня раствора электролита вследствие коррозии, чем общим износом. Размеры анода несколько меньше размеров катодов, что позволяет предотвратить краевой эффект. [c.390]

Положение и форма линий уровня зависят от коэффициентов моделирующего уравнения. На рис. 5, б, е и г показано существование максимумов, охватывающих широкие области. Существование таких областей позволяет достигнуть близких к оптимальным показателей по двум или большему числу одновременно изменяемых параметров. Например, процесс можно осуществлять в области максимального выхода и в пределах подобласти чистоты олее 98%. На рис. 5, е показаны контуры типа восходящего гребня. [c.10]

Эти линии обычно называют линиями постоянного уровня функции /. Заметим, что функция / сохраняет постоянное значение, если независимые переменные 11, 2 2 меняются вдоль какой-либо одной линии уровня. Получаемые такой проекцией линии уровня, когда значение параметра А. меняется в некотором интервале, и называются рельефом функции. Форма линий постоянного уровня для различных значений Л может быть существенно различной. [c.18]

Рис 47 Контуры линии уровня правдоподобия для среднего значения и дисперсии нормальных наблюдений при п = 100 [c.160]

Вывод доверительных областей непосредственно по контурам, образуемым линиями уровня суммы квадратов. В нелинейных задачах невозможно вывести явные выражения для выборочных оценок наименьших квадратов и матрицы Примеры таких задач приводятся в разд 54 4 В этом случае разложение (П4 1 13) можно записать в виде [c.173]

На рис. 5 15 показаны линии уровня точной суммы квадратов, изображенные на плоскости (а1, аг) в области, где процесс стационарен Заштрихованная область является 95%-ной доверительной областью Видно, что она лежит целиком внутри области стационарности. [c.234]

Рис 515 Линии уровня суммы квадратов для процесса авторегрессии второго порядка, подобранного к данным о партиях продукта, изображенным на рис 5 2 [c.235]

В случае когда 95%-ная доверительная область лежит полностью в области стационарности, как, например, на рис 5 15, функция правдоподобия адекватно описывается своими средними значениями и ковариациями Если же выборочные оценки максимального правдоподобия лежат близко к границе стационарности, то единственный надежный метод заключается в нанесении линий уровня [c.239]

Поскольку трудно выписать в явном виде сумму квадратов, приходится рассмотреть и другой способ получения доверительных областей Если контуры линий уровня суммы квадратов построены, то доверительную область можно получить, выбирая согласно (П4 1 17) тот контур, для которого [c.244]

Базовой системе элемента процесса будет соответствовать параметр Хх, а оптимальная программа получится при XI = 0. Такой случай представлен на рис. 15-6. Целевая функция изображена с помо1Цью линий уровня . Прямая [c.325]

Если в гиперпространстве Ф(0) провести равноотстоящие плоскости Z = onst и найти линии их пересечения с пространством Ф(0), то их проекции на 0 называются линиями уровня. По виду линий уровня различают три типа рельефа — котловинный, овражныйТи смешанный. При котловинном рельефе линии уровня похожи на эл-липсы. Дна котловины (минимум) можно достигнуть, если спускаться по траектории [c.212]

Сравнение трех критериев проведено табулированием [51. Как видно из рис. 1 и 2, точки минимумов Р, М ж X отличаются, но входят в общие доверительные области [5]. На рис. 3 линии уровней Р, М и X вблизи минимулмв незамкнуты. Такое явление связано с недостаточной информативностью эксперимента (здесь малы концентрации исходных компонентов в равновесии). В этом случае ни один из трех критериев не эффективен. [c.119]

Точки XI перехода на следующее направление определяются с помощью (1,48), т. е. а, = Привлекательн()й чертой этого метода является простота реализации, однако недостатки его общеизвестны метод обладает линейной скоростью сходимости — даже для квадратичной функции минимизации процесс поиска ее минимума теоретически бесконечен для функции с сильно вытянутыми линиями уровня (изолиниями) процесс поиска носит явно выраж нный зигзагообразный характер и дает слабое продвижение к минимуму точное нахождение минимума практически нереально. [c.28]

Поскольку F (v, [х) О, функция F (v, i) принимает лшнималь-ное значение, равное нулю, в точках, где выполняется условие (V.42). На рис. 47 дана геометрическая интерпретация этого утверждения для случая, когда имеются одно ограничение типа равенства и одно ограничение типа неравенства. На поверхности ф = О ограничение ф (у) 0 определяет допустимую область D (штриховка направлена внутрь данной области). Кривая ЛВС — это линия уровня / (у) = х, (р, > х ) на поверхности ф (у) = 0 при iJ (у) 0. [c.99]

Рис. 56. Линии уровня Я (х, тр, и) (/ = 2) при расположении абсодютного максимума и вне (а) и внутри V (б) (Р — точка максимума).

Интересно, что Зй-уровни для катионов лежат и для элементов ряда 1 1а2+ Са "" глубже линии уровней s- и тем более 4р-состояний, но, однако, для ряда Na " — Са " линия 3d оказывается из-за недостатка электронов экстравалентной, в нормальном состоянии не заселенной в противоположность З -линии Б ряду S " — Zn . Рассматривая рис. 58, видим, что линия [c.107]

На рис. IX. 6 линии уровня р = 0ир = р1 = 0 функции F а , аз) показаны пунктиром, кривые W(ai,a2) = pj (/=1, 2,. ..) изображены сплошными линиями. При попадании изображающей точки а(1) в овраг скорость ее продвижения к a резко снижается, а затраты машинного времени возрастают. Крутизна оврага , расположение и форма линий уровня F (а) = Pj зависят от величин Mj. Вследствие этого задача нахождения безусловного минимума i (a) решается вначале с небольшими величинами Mj, а затем производится уточнение точки а путем постепенного увеличения Mj. При конечном Mj точка минимума (й) для данного вида штрафной функции всегда будет внеЛр- [конечно, для случая, когда минимум Ф а) не лежит на множестве А П Ар]. Пример последовательного приближения минимума W(ai) к Fi = ai — L O показан на рис. IX.7. [c.230]

Предположим, что через точку л ОПт в /г-мерном пространстве, соответствующую оптимальному решению задачи, например минимуму целевой функции, проведена двухмерная плоскость Р. Тогда при удалении от точки 0пт по этой плоскости в любом направлении значение R(x) увеличивается. Если R(x) является непрерывной функцией в области X, то вокруг точки лгопт всегда можно провести в данной плоскости замкнутую линию, вдоль которой значение R(x) постоянно (рис. 1Х-1,а). Таких замкнутых линий, называемых линиями уровня функции R(х) и отвечающих различным значениям R (х) = h, можно провести в плоскости Р вокруг точки опт сколько угодно, причем каждая из этих линий для точки минимума будет целиком охватывать любую линию, для которой зна- [c.478]

В зависимости от характера рассматриваемых математических моделей принимаются различные математические методы оптимизации. Многие из них сводятся к тому, чтобы найти минимум или максймум целевой функции. Линии, вдоль которых целевая функция сохраняет постоянное значение при изменении входящих в нее параметров, называются контурными линиям и, или линиями уровня. На рис. П-17 показана поверхность отклика, выражающая зависимость выхода продукта от температуры и давления. Контурные замкнутые линии дают значения выхода для различных значений температур и давлений. [c.140]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология