Изочастотная поверхность

Однако для понимания ряда явлений, связанных с колебаниями решетки, более удобным является не аналитическая запись закона дисперсии (2.1), а его специфическое геометрическое (или, точнее. Топографическое) представление. Последнее связано с введением и анализом так называемых изочастотных поверхностей. [c.52]

Построение изочастотных поверхностей осуществляется независимо для каждой ветви колебаний, поэтому в дальнейшем мы будем опускать индекс а при записи закона дисперсии (2.1), имея в виду одну из ветвей. [c.52]

Изочастотной поверхностью, или поверхностью постоянной частоты, называют поверхность в к-пространстве, описываемую уравнением [c.52]

Выясним, как меняется форма изочастотных поверхностей с изменением частоты от со = О до со = со - При малых частотах закон дисперсии кристалла совпадает с законом дисперсии звуковых волн, а потому изочастотная поверхность определяется уравнением [c.52]

Поскольку скорость звука в кристалле является конечной величиной при всех направлениях х, из (2.3) следует, что соответствующие изочастотные поверхности являются замкнутыми (и подобными). На рис. 18 схематически изображено сечение этих поверхностей некоторой плоскостью, проходящей через точку к = 0. Очевидно, что отмеченные на рис. 18 частоты со и соаудовлетворяют условию 2 (изочастотная поверхность для меньшей частоты помещается внутри поверхности для большей частоть ). Подчеркивая схематичность изображения кривых на рис. 18, заметим, что изочастотные поверхности при со -> О вовсе не обязательно являются выпуклыми. Они вполне могут иметь вид подушек , сечения которых показаны На рис. 19. [c.52]

Рис. 18. Схема сечения выпуклых изо- Рис. 19. Схема сечения невыпуклых частотных поверхностей. замкнутых изочастотных поверхностей.

Еще более простой вид имеют изочастотные поверхности для частот, близких к (Оп- Действительно, из формулы (1.37) следует, что поверхности постоянной частоты имеют в этом случае вид эллипсоидов с центрами в точке к = кт, соответствующей максимальной частоте со . Отсчитывая вектор к от указанной точки, мы получим следующее уравнение эллипсоида [c.53]

Сечениям семейства эллипсоидов (2.4) плоскостью, проходящей через их общий центр, можно снова сопоставить рис. 18, однако теперь 1 > U2 (изочастотная поверхность для большей частоты помещается внутри поверхности для меньшей частоты). [c.53]

Выяснив топологию изочастотных поверхностей у границ полосы собственных частот, заметим, что в силу свойств периодичности закона дисперсии точки, в которых м = О и со = сОт, должны периодически повторяться в обратном пространстве. Для изображения соответствующих геометрических образов рассмотрим пример достаточно симметричного кристалла, частоты колебаний которого принимают максимальные значения только в вершинах элементарной ячейки обратной решетки. [c.53]

О, 2). ( 1. 0) и ( 1, а) будут окружены замкнутыми изочастотными поверхностями, расширяющимися с ростом со (со со ), а вокруг [c.53]

Рис. 20. Схема сечения изочастотных поверхностей плоскостью — 0.

Обычно точки типа (О, Ь ) или а), через которые осуществляется переход от замкнутых изочастотных поверхностей к открытым, являются коническими точками в трехмерном к-простран-стве. [c.54]

Фигуры на рис. 20, призванные проиллюстрировать появление конических точек, являются весьма схематическим изображением изочастотных поверхностей некого воображаемого кристалла. Желая дать представление о виде поверхностей постоянной частоты колебаний реального кристалла, мы приведем результаты фактически выполненных расчетов изочастотных поверхностей для ГЦК решетки А1. На рис. 21 показаны два сечения изочастотных поверхностей ветви продольных колебаний Л1 внутри одной зоны Бриллюэна (см. рис. 8, б). Дробные числа около линий сечения обозначают величину со/сот для рассматриваемой ветви колебаний. [c.54]

Рис. 21. Сечения рассчитанных изочастотных поверхностей продольной ветви колебаний А1 (Уолкер, 1956)

Рис. 22. Вид изочастотных поверхностей вблизи конической точки.

Вытекающее из (2.5) уравнение для изочастотных поверхностей определяет семейство гиперболоидов. Если все коэффициенты Уа положительны, то при с (Ок мы получаем двухполостные гиперболоиды, а при со > [c.55]

Легко заметить, что вблизи конической точки со = сок трансформация замкнутых изочастотных поверхностей в открытые происходит непрерывно. Однако важно, что эта непрерывная трансформация сопровождается изменением топологии поверхностей. Но топология поверхности, как и ее симметрия, не может меняться непрерывно. Переход от замкнутых поверхностей к открытым, в принципе, является скачкообразным процессом и потому должен характеризоваться соответствующим изменением некоторого топологического [c.55]

Используя (2.6) для характеристики изочастотных поверхностей, следует помнить, что они периодически повторяются во всем обратном пространстве. И под топологическим инвариантом мы будем понимать интеграл (2.6), вычисленный по той части изочастотной поверхности, которая находится в одной элементарной ячейке к-пространства. [c.56]

Покажем, что инвариант X (со) для изочастотной поверхности претерпевает конечный скачок, когда частота со проходит через значение сок, при котором на поверхности возникает коническая точка. [c.56]

Проведем пару плоскостей кз= Q, проходящих на таком расстоянии от конической точки, где изочастотные поверхности еще имеют вид гиперболоидов, изображенных на рис. 21. Вычислим бХ (со) по части поверхности со (к) = со, ограниченной этими плоскостями. В целях упрощения расчета будем считать изочастотные поверхности вблизи конической точки гиперболоидами вращения (Т1== 72= V) и положим у > О, 7з> 0. [c.57]

Сравнивая (2.11) и (2.12), мы видим, что при возникновении конической точки на. поверхности постоянной частоты топологический инвариант X (со) изменяется на единицу. Таким образом, процесс слияния двух участков изочастотной поверхности сопровождается уменьшением топологического инварианта X на единицу за счет каждой конической точки (приходящейся на одну элементарную ячейку обратной решетки). [c.57]

Заканчивая геометрический анализ поверхностей постоянной частоты, заметим, что форма изочастотной поверхности, проходя- [c.57]

V = Усо (к) = V (х) зависит только от направления вектора к (и не зависит от его величины), а дифференциал площади на изочастотной поверхности (2.2) можно записать в виде [c.61]

Помимо границ непрерывного спектра, довольно общему анализу могут быть подвергнуты окрестности частот, которые разделяют изочастотные поверхности разной топологии. Мы ограничимся рассмотрением того случая, когда граничная изочастотная поверхность со = (Ок обладает конической точкой, закон дисперсии вблизи которой дается соотношением (2.5). Предположим, как мы это делали при анализе скачка топологического инварианта что вне малой окрестности конической точки все изочастотные поверхности тонкого слоя вблизи со = сок являются регулярными и скорость V на них не обращается в нуль. Тогда особые свойства плотности колебаний, которые мы ожидаем найти при со = сок, могут появиться лишь за счет вклада колебаний, соответствующих малой окрестности конической точки. Поэтому снова проведем на указанном ранее расстоянии от конической точки пару плоскостей kg— [c.63]

Вычислим теперь ту же функцию для со > сок. Поскольку в этом случае изочастотная поверхность имеет форму однополостного гиперболоида, то к, [c.63]

Вклад в плотность колебаний вблизи со = сок тех колебательных состояний, которые соответствуют точкам в к-пространстве, лежащим вне окрестности конической точки, описывается регулярной функцией частоты. Поэтому, сравнивая (2.38) и (2.39), мы видим, что, во-первых, функция V (со) является непрерывной функцией частоты в точке со = Юк, во-вторых, ее график терпит в этой точке излом, а в-третьих, ее производная имеет бесконечный скачок. Весьма характерно, что при подходе к точке со = сок со стороны, соответствующей замкнутым изочастотным поверхностям, производная й г/ ю [c.64]

Спектральные функции V (со) и (8) могут обладать особенностя- ми и в других точках, но последние всегда связаны с частотами, при которых происходят некоторые токологические изменения изо- частотных поверхностей. Проведенный в самом начале параграфа анализ изочастотных поверхностей должен привести нас к выводу, что в интервале частот (О, со ) существуют, по крайней мере, две частоты, при которых изочастотные поверхности изменяют свою -топологию. Это частоты, отделяющие слой открытых изочастот- [c.64]

Пересечение изочастотных поверхностей ставит вопрос о необходимости учета даже малого взаимодействия ветвей колебаний, за которое ответственны элементы силовой матрицы (tij) и (nj (требование (4.70) есть модельное предположение, а не следствие симметрии задачи). Ясно, что учет любого взаимодействия приведет к деформации законов дисперсии вблизи линии их пересечения и снимет вырождение. Исправленные законы дисперсии двух пересекающихся ветвей находятся из дисперсионного соотношения типа [c.105]

Рис. 36. Деформация изочастотных поверхностей при снятии вырождения

Очень важно, что колебания обоих типов с низкими частотами (ю соц) могут обладать большими значениями составляющей квазиволнового вектора k . Это означает, что уже в низкочастотной Области происходит изменение топологии изочастотных поверхностей. Элементарные соображения приводят нас к заключению, что при (О С сор, где р = 1, 2, изочастотные поверхности вр (к) = [c.106]

Поскольку особенности (4.75) появляются, когда изочастотная поверхность касается плоскостей — л1Ь в точках ki = О, то для расчета постоянных множителей можно анализировать законы дисперсии (4.71) и (4.73) в отдельности, не учитывая их перепуты-вания . [c.107]

На распределении частот вдали от критических точек, безусловно, сказывается обсужденное выше пересечение изочастотных поверхностей и разделение колебаний на поперечные и продольные. Но интересуясь суммарной функцией распределения частот, мы считаем, что последняя мало зависит от того, представлена ли она в виде V = -Ь Уа, или в виде V = т, если взаимодейст [c.109]

Вывод о нераспадном характере закона дисперсии со свойством (5 сй/5к ) < О справедлив также для анизотропного кристалла, если изочастотные поверхности выпуклые. Насколько известно, именно таковы изочастотные поверхности для той ветви фононов, которая отвечает в основном продольной- поляризации колебаний. [c.140]

Закон дисперсии может оказаться распадным также за счет сильной анизотропии изочастотных поверхностей. Даже если в каждом [c.140]

В приближении (21) выражение (20) фактически сводится к формуле (9), так что оценка фононного торможения по эффекту фононного ветра оказывается вполне разумной и применимой даже в той области, где проведенный в п. 1.3 вывод формулы (И) не является справедливым. Впрочем, как мы уже отмечали, формула (И), строго говоря, справедлива лишь при низких температурах. Расчет В при Г 6 требует знания упругого поля дислокаций вблизи ядра, а также учета реальных особенностей фононного спектра. В частности, в работе [97] показано, что наличие уплощений на изочастотных поверхностях <Иа (Щ = onst во многих кристаллах приводит к специфическому механизму диссипации, названному в [97] релаксацией медленных фононов. Этот механизм вносит в торможение дислокаций вклад, пропорциональный Тр и сопоставимый с вкладом фононного рассеяния. [c.223]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология