Квазиволновой вектор

Таким образом, собственные функции оператора Т (п) — модулированные плоские волны (15), а различные его собственные значения (16) отличаются значениями квазиволнового вектора к. Очевидно, [c.21]

Специфический вид собственных функций оператора трансляции (15) и особая роль квазиволнового вектора к как основной характеристики собственного значения оператора трансляции (16) или неприводимого представления группы трансляций (17) заслуживают некоторого качественного анализа. [c.21]

Мы видим, что квазиволновой вектор является в такой же мере порождением трансляционной симметрии периодической структуры, в какой волновой вектор является порождением однородности свободного пространства. Поэтому естественно, что в безграничном кристалле волновые процессы удобно описывать с помощью понятия квазиволнового вектора к, а движение частиц — с помощью понятия квазиимпульса, связанного с вектором к соотношением (18). Волновой функцией, отвечающей определенному квазиимпульсу (или квазиволновому вектору), служит плоская волна, модулированная с периодом решетки. [c.22]

Вектор к играет роль волнового вектора колебаний кристалла1 и совпадает с уже упоминавшимся во введении квазиволновым вектором (о его возможных значениях в задаче о колебаниях кристалла речь будет идти ниже). Сейчас он является свободным параметром, характеризующим искомое решение. Подставляя (1.18) в (1.16), получаем для смешений и систему линейных однородных уравнений [c.31]

Соотношение (1.21) или (1.22) в механике носит название характеристического уравнения для собственных частот, и его решение связывает частоту возможных колебаний кристалла с квазиволновым вектором к. Зависимость частоты от волнового вектора называ--ется законом дисперсии, а само характеристическое уравнение —. дисперсионным уравнением. Следовательно, решая дисперсионное уравнение, мы получаем закон дисперсии [c.32]

Таким образом, в кристалле может распространяться колебание (1.18) типа плоской волны, если его частота ю связана с квазиволновым вектором к законом дисперсии (1.21) или (1.22). [c.33]

Изучая (1.21) или (1.26), заметим прежде всего, что закон дисперсии определяет частоту как периодическую функцию квазиволнового вектора с периодом обратной решетки [c.33]

Это — основное существенное отличие закона дисперсии колебаний кристалла от закона дисперсии колебаний сплошной среды, так как, для последнего характерна монотонная зависимость частоты от волнового вектора. Одновременно в этом проявляется отличие квазиволнового вектора к от обычного волнового вектора. Как уже отмечалось во введении, лишь значениям вектора к, лежащим внутри одной элементарной ячейки обратной решетки, отвечают физически неэквивалентные состояния кристалла. [c.33]

Мы убедились, что собственные колебания кристалла могут быть представлены в виде плоских волн (1.18), частоты которых связаны с квазиволновым вектором к законом дисперсии со = со (к), (а = = 1, 2, 3). Чтобы отличать смещения разных ветвей колебаний, запишем решение (1.18) явно в векторном виде [c.34]

Если вектор к направлен вдоль высокосимметричного направления (к примеру, вдоль оси симметрии четвертого порядка), то возникают одно продольное колебание, вектор е которого параллелен квазиволновому вектору, и два поперечных, векторы поляризации которых перпендикулярны вектору к. При произвольном направлении квазиволнового вектора столь простая классификация возможных типов поляризации волн нарушается остается лишь взаимная ортогональность трех векторов поляризации (1.29). При наличии нескольких высокосимметричных направлений в кристалле колебание одной и той же ветви, отвечающее определенному значению индекса а, может проявлять себя либо как поперечное, либо как продольное в зависимости от направления вектора 4 . [c.34]

В соответствии с обсужденными ранее свойствами квазиволнового вектора будем считать векторы к находящимися в одной элементарной ячейке обратной решетки (или, что более удобно,— в первой зоне Бриллюэна). При таком условии собственным функциям (1.30) присущи естественные свойства ортогональности [c.35]

Если система материальных точек совершает гармонические колебания, то ее нормальные колебания преобразуются по неприводимым представлениям группы симметрии системы. В случае идеального кристалла такой группой является группа трансляций. Поскольку представления этой группы одномерны и определяются заданием квазиволнового вектора к (см. введение), можно связать с каждой нормальной модой вектор к, относящийся к неприводимому представлению, по которому преобразуется эта мода. [c.35]

Ориентируясь на результаты обсуждения закона дисперсии скалярной модели, перейдем к рассмотрению общего случая, когда зависимость частоты от квазиволнового вектора находится путем решения уравнения (1.27). [c.38]

Спектр значений квазиволнового вектора [c.39]

Мы выяснили, что отдельные колебания (1.18), являющиеся независимыми состояниями движения всей кристаллической решетки, характеризуются различными значениями квазиволнового вектора к. При этом вопрос о возможных значениях самого вектора к остался открытым. Было лишь установлено, что при рассмотрении физически неэквивалентных колебаний кристалла достаточно ограничиться значениями к, лежащими в одной элементарной ячейке [c.39]

Из (1.45) или (1.46) следует, что дискретные значения компонент вектора к разделены интервалами l/L, убывающими с увеличением линейных размеров кристалла. Поэтому в том случае, когда все линейные размеры кристалла являются макроскопическими, спектр значений к может считаться квазинепрерывным. Последнее свойство спектра к мы использовали при анализе закона дисперсии, рассматривая частоту как непрерывную функцию квазиволнового вектора. [c.41]

Мы убедились, что собственные колебания кристалла могут быть представлены в виде плоских монохроматических волн (1.28), в которых частота со связана с квазиволновым вектором к законом дисперсии со = (О (к). [c.42]

Таким образом, каждому значению квазиволнового вектора в нашей модели сложной решетки отвечают две частоты [c.78]

Наиболее сущ,ественные различия двух ветвей закона дисперсии имеют место при малых к ак 1). В этом случае, как мы уже видели в 1, разложение функции А (к) по степеням величины квазиволнового вектора начинается с квадратичных членов [c.78]

Условие совместимости системы (3.23) определяет связь частоты колебаний со с квазиволновым вектором [c.82]

Таким образом, если и = О, то уравнения (3.21) глеют решения, частота которых обращ,ается в нуль вместе с величиной квазиволнового вектора. Поскольку имеются три независимые компоненты центра тяжести элементарной ячейки, то существуют три ветви колебаний, в которых при = О (Я = оо) элементарная ячейка сложной решетки движется как целое с = 0. [c.84]

Схематические графики законов дисперсии (4.73) и (4.71) для двух основных направлений в обратном пространстве (направлений Окх и Ок) показаны на рис. 35. Разная крутизна графиков по двум направлениям вынуждает выбирать различные масштабы единиц измерения компонент квазиволнового вектора кхИ к/, кривые J относятся к колебаниям вектора и в слое, а кривые 2 — к колебаниям вектора и поперек слоев. [c.105]

Очень важно, что колебания обоих типов с низкими частотами (ю соц) могут обладать большими значениями составляющей квазиволнового вектора k . Это означает, что уже в низкочастотной Области происходит изменение топологии изочастотных поверхностей. Элементарные соображения приводят нас к заключению, что при (О С сор, где р = 1, 2, изочастотные поверхности вр (к) = [c.106]

В то же время в скалярной модели примитивная кубическая решетка с взаимодействием ближайших соседей имеет право на существование как наиболее простая дискретная структура, сохраняющая основные принципиальные свойства трехмерного кристалла. Дело в том, что функция и (п) в скалярной модели потеряла векторный характер смещения атома, и в решетке исчезло понятие сдвига. Кроме того, не имеет смысла включать функцию и (п) в условие инвариантности системы относительно поворота как целого, поскольку указанное условие существенно векторное. Все это, безусловно, обедняет скалярную модель, но делает логически непротиворечивым и естественным рассмотрение примитивной кубической решетки с взаимодействием ближайших соседей. В частности, возникающее в такой решетке дисперсионное соотношение (3.38) явно отличается от одномерного закона дисперсии (5.31) и обладает всеми характерными чертами зависимости частоты от квазиволнового вектора в трехмерном кристалле. Таким образом, примитивная кубическая решетка с взаимодействием ближайших соседей может использоваться только в скалярной модели для иллюстрации различных качественных закономерностей динамики кристалла. [c.118]

Мы называем величину (6.29) квазиимпульсом, так как вектор к есть квазиволновой вектор и его специфические свойства в периодической структуре автоматически переносятся на вектор р. [c.125]

Введенные таким путем квазичастицы называют фононами. Оператор а аи естественно назвать оператором числа фононов. Что же касается операторов аи а , то их названия являются непосредственным отражением свойств (6.22) оператор аи уменьшает на единицу число фононов с квазиволновым вектором к, а оператор аи увеличивает на единицу число таких фононов в кристалле. Поэтому оператор аи называют оператором уничтожения (или поглощения) фонона, а оператор а — оператором рождения (испускания) фонона. [c.125]

Отметим весьма важную особенность коэффициентов У (к, к, к") в гамильтониане взаимодействия (7.3), связанную с их поведением при малых значениях квазиволновых векторов. Из определения (7.5) вытекает, что функция трех независимых переменных V (к, к, к") обращается в нуль, если обращается в нуль хотя бы один из ее аргументов. При ak 1 эту функцию можно представить в виде [c.136]

Выполним требуемое суммирование по п с учетом формулы (27) введения. Тогда мы увидим, что в (7.25) имеются слагаемые двух видов. Одни из них содержат множителем оператор аи и описывают процесс рассеяния, сопровождающийся поглощением (гибелью) одного фонона с квазиволновым вектором к, причем [c.143]

Фононы были введены при квантовании колебаний однородного кристалла, и последнее отразилось в том, что состояние отдельного фонона характеризуется квазиволновым вектором к. Легко понять, что если величина 81 велика по сравнению со средней длиной волны фонона [c.160]

Во-первых, описанному волновому пакету с достаточной точностью можно сопоставить колебание с квазиволновым вектором к, т. е. отдельный фонон в состоянии с заданным к. [c.160]

В-третьих, если производить измерение пространственных положений с точностью до Ьх, где X бл бL, то можно говорить о фононе , обладающем квазиволновым вектором к и находящемся в точке г. При этом может оказаться, что неоднородность состояния кристалла проявляется, помимо прочего, в неоднородности коэф- [c.160]

Интересно проанализировать (9.6) и уравнения движения (9.5) вблизи края полосы фононных частот. Будем отсчитывать квазиволновой вектор от значения к , соответствующего максимальному или минимальному (если речь идет об оптических фононах) значениям соо (к). Тогда при малых k [c.161]

Но иногда интеграл столкновений в основном приближении зануляется отличной от (9.17) функцией частоты и квазиволнового вектора, которая также является решением кинетического уравнения (в упомянутом приближении ). Подобная функция описывает стационарное состояние частичного равновесия кристалла. Релаксация частично равновесной функции распределения к бозевской функции происходит за счет процессов, опущенных при формулировке основного приближения. [c.165]

При реальном проявлении квантового туннелирования локализация дефекта становится невозможной. Координата дефекта как характеристика состояния кристалла, перестает быть хорошо определенной величиной, и различные состояния кристалла с дефектом следует классифицировать по значениям квазиволнового вектора к (см. введение, п. 7, где говорится о классификации состояний пространственно периодических систем). Энергия кристалла становится периодической функцией к. [c.182]

Воспользуемся представлением об узельной потенциальной яме типа изображенной на рис. 65. Пренебрегая слабым квантовым туннелированием, рассмотрим дефектон локализованным в одной из таких ям. Поскольку эта яма достаточно глубокая, то в ней будет существовать некоторое конечное число дискретных уровней энергии дефектона е (л = 1, 2, 3,. ..), где e +i — е /гщ. В силу трансляционной симметрии кристалла подобные же уровни энергии должны существовать в других узельных ямах (рис. 70). Включение эффекта туннелирования создает на всех системах резонансных уровней узкие энергетические зоны, внутри которых энергия свободного движения дефектона зависит от квазиволнового вектора к и определяется выражением типа (10.1). Квантовое явление над-барьерного отражения в периодической структуре обусловливает появление также некоторых энергетических полос дефектона в области классического непрерывного neKtpa энергий (одна из таких полос отмечена на рис. 70 буквой S). При Т — О квантовое туннелирование происходит на основном уровне, и в силу зонного характера движения дефектона время туннелирования i a/v й/Ае. [c.200]

Наконец, тому же соотношению можно придать третью форму записи, перейдя от суммирования к интегрированию по квазиволновым векторам и заменив последнее интегрированием по частотам [c.203]

Если в элементарной ячейке кристалла содержится I/ атомов, то суш,ествует 3 / ветвей колебаний. Они отличаются поляризацией. Частоты каждой из ветвей заполняют полосу (зону). Частота — периодическая функция квазиволнового вектора к. Как и пространство квазиимпульсов, пространство квазиволновых векторов периодично. Три из 31У ветвей колебаний называются акустическими, а остальные 3 —3 — оптическими. Минимальные частоты акустических ветвей равны нулю. Если длина к квазиволнового вектора мала и удовлетворяет условию ак <С 1, то зависимость частот от квазиволнового вектора линейна (см. (16.6)). [c.300]

Напомним, что квазиимпульс пропорционален квазиволновому вектору (р = к), а квазиволновой вектор (как и волновой вектор) обратно пропорционален длине волны к = 27г/Л). Таким образом, длинноволновым спиновым волнам соответствуют магноны с малыми квазиимпульсами. [c.304]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология