Инварианты топологические

Для описания пространственных структур достаточно двух топологических инвариантов N — числа несвязанных частей и G — рода поверхности раздела фаз. Величина G характеризует связность пространства фазы (безразлично какой), она определяется числом сквозных сечений участков многосвязной области, для которого число несвязанных частей фазы сохраняется неизменным, Любое преобразование многосвязной области, происходящее в результате ее деформации без разрывов и склеек, т. е. без изменений ее связности, называется гомеоморфным. Таким образом, все геометрические объекты, характеризуемые одним числом связности G, гомеоморфны (топологически эквивалентны). Топологическая эквивалентность тел класса G сохраняется также и при изменении размерности тела — при преобразовании точки в объем, при преобразовании участков контакта объемов или поверхностей в отрезки и наоборот. Это справедливо только для гомеоморфных преобразований. Характеристика тела G совпадает с характеристикой связности топологически эквивалентного ему графа — первой группы Бетти, В . Очевидно также равенство числа отдельных частей N тела G = и числа несвязанных частей эквивалентного ему графа N = В . Считая каждую из фаз -фазной. системы телом, ограниченным поверхностью класса G , для эквивалентного ему графа (или сети) может быть записано следующее уравнение Вц = С — -f B i, где B i — нулевая группа гомологий (или нулевая группа Бетти) — число разобщенных частей графа Вц — первая группа гомологий (первая группа Бетти) — число замкнутых одномерных циклов графа Pi — число узлов i — число связей между ними. [c.134]

В отличие от открытых форм в кольцевой замкнутой двухцепочечной ДНК сушествуют топологические ограничения. Порядок зацепления (алгебраическое число пересечений одной цепью воображаемой поверхности, натянутой на другую цепь) должен оставаться неизменным (т.е. является топологическим инвариантом). Это приводит к тесной взаимосвязи между локальной плотностью витков двойной спирали и тенденцией ДНК образовывать сверхвитки. Оказалось, что сверхспирализация встречающихся в природе кольцевых замкнутых ДНК отрицательна и реализуется в третичной структуре в форме левых тороидальных или правых взаимно переплетенных сверхвитков, а во вторичной — в форме уменьшения плотности витков двойной спирали Добавляя агент типа этидия, связывающийся с ДНК путем интеркаляции, можно постепенно снять эти сверхвитки, т.е. перевести ДНК в релаксированное состояние. Дальнейшее связывание этидия с ДНК приводит к появлению в последней положительных сверхвитков. Зная величину угла, на который раскручивается ДНК при связывании с одной молекулой этидия, можно рассчитать среднее число сверхвитков, приходящееся на молекулу ДНК в данном препарате. Молекулы ДНК с одним и тем же значением молекулярной массы, но с различным числом сверхвитков можно разделить посредством электрофореза в геле. Сверхспирализация превращает ДНК в чрезвычайно чувствительную систему, способную преобразовывать локальные структурные изменения в молекуле в значительные структурные изменения всей молекулы в целом. [c.440]

Если рассматривать строго однофазную структуру, то очевидно, что она образована полиэдрами, полностью заполняющими пространство. При любом способе топологического описания такой структуры число ее отдельных частей В ц равно единице и не равно фактическому числу полиэдров. В то время как для многофазных структур наибольший интерес представляет связность каждой из фаз, для однофазных структур интересны также производные инварианты, характеризующие соотношение между числами различных геометрических элементов (вершин, ребер, граней) [42 — 44]. В дальнейшем эти работы положили начало самостоятельному направлению — топологии ячеистых структур, образованных трех- [c.134]

КЗ-форма характеризуется порядком зацепления — топологическим инвариантом. Порядок зацепления двух комплементарных цепей Ьк — алгебраическое число пересечений одной цепью поверхности, натянутой на вторую цепь. В случае, изображенном на рис. 7.27, Ьк = 9 в реальных случаях Ьк имеет порядок 10. Величина [c.254]

Завершая этот раздел, мы еш е раз подчеркнем, что поиск различных систем инвариантов графа является задачей весьма актуальной. Однако, как показывает анал из большинства работ по топологическим индексам, эти исследования носят весьма случайный характер. Применяется в основном метод проб и ошибок. [c.42]

Для любой дифференцируемой функции, не имеющей вырожденных критических точек на компактном многообразии М, нижние границы для числа различных критических точек задаются неравенствами Морса, которые выражены через топологические инварианты многообразия [151, 152]. Соответствующие топологические инварианты представляют собой характеристики х многообразия М Эйлера — Пуанкаре и числа Бетти, являющиеся нижними границами для чисел критических точек индекса X [c.101]

Количественную характеристику связности трехмерных, двумерных, линейных и точечных элементов структуры дают топологические инварианты — параметры, принципиально не зависящие от формы и размера структурных составляющих. Использование топологических инвариантов позволяет устанавливать закономерности строения структуры и протекающих в ней процессов, которые часто являются общими для различных материалов и которые могут быть выявлены только путем абстрагирования от параметров, зависящих от формы и размера структурных элементов. [c.133]

Различные инварианты графа представляют собой важные характеристики графа. Инвариант графа — это теоретико-графовое свойство, сохраняющееся при изоморфизме [12]. Характеристический полином матрицы смежности является инвариантом графа, хотя матрица смежности изменяется в зависимости от нумерации вершин. Инвариантом графа могут быть полином, последовательность чисел или числовой индекс. Числовые индексы, полученные из топологических характеристик соответствующих химических графов, называются топологическими индексами. Очевидно, что совпадение всех инвариантов графов G и 02 является необходимым предварительным условием изоморфизма графов О и С . Но это не достаточное условие для изоморфизма. На сегодняшний день невозможно обнаружить общий набор инвариантов, которые были бы способны дать однозначную характеристику графа и тем самым решить проблему изоморфизма [12]. Тем не менее были предложены практические схемы для различения изомеров, в которых одновременно используется целый ряд различных топологических параметров [12]. Недостатком представления молекул с помощью графов является то, что при этом теряются все стереохимические особенности молекулярной структуры. Однако графы все же описывают полную топологию молекулы известно, что многие важные характеристики молекул, такие, как энергия, порядок связи и плотность заряда, существенно зависят от топологии [18]. Поскольку топологические индексы являются численными выражениями определенных топологических свойств молекулярной структуры, не удивительно, что различные топологические индексы в значительной степени коррелируют с физико-химическими и биологическими свойствами разнообразных групп молекул [9, 10]. [c.208]

В области гетерогенных равновесий диаграммы систем жидкость-пар и жидкость - твердое тело характеризуются наличием особых точек различной компонентности, что налагает определенные ограничения на процессы ректификации и кристаллизации. Синтез сложных технологических схем, как однородных, так и неоднородных, позволяет выявить оптимальные схемы. Все перечисленные объекты исследования нелинейны, зачастую имеют прямые и обратные связи, и их моделирование впрямую исключает возможность обобщения полученных результатов. Привлечение различных топологических приемов и методов, основанных на топологических инвариантах, позволяет создать общую качественную теорию в области колебательных химических реакций, где в параметрическом пространстве наряду со стационарными точками наблюдают, устойчивые, неустойчивые, а также устойчиво-неустойчивые предельные циклы. В области гетерогенных равновесий появляется возможность создать общую теорию распределения стационарных точек и сепаратрических многообразий, ограничивающих развитие процессов ректификации и кристаллизации и разработать алгоритмы синтеза оптимальных схем разделения. [c.57]

Применение теории графов к этой проблеме преврашается в задачу нахождения инварианта (количественной величины, характеризующей граф она не будет изменяться при различных укладках графа), который увеличивается всякий раз, когда число топологических характеристик, перечисленных на рис. 1, возрастает. Это не так легко, как может показаться на первый взгляд. Как видно из обзора Балабана, предложено значительное число (примерно 20) топологических индексов и индексов разветвленности [18] . Большинству этих индексов присущи два основных недостатка, что препятствует использованию их для нашей цели. Многие из них не удовлетворяют минимальному набору критериев, перечисленных выше, т.е. они уменьшаются при увеличении одной или более топологических характеристик или же вообше не отражают такое увеличение. Другой недостаток многих индексов состоит в том, что они фактически являются суммами наборов чисел, которые обычно возрастают с увеличением размера молекулы. Использование таких индексов требует применения ЭВМ для всех молекул, за исключением самых небольших, и их физическая интерпретация часто не является простой. [c.239]

Теоретико-информационные инварианты могут быть использованы для количественного описания молекул при ККСА-исследованиях их физико-химических и биологических свойств. Описанные в этой статье индексы основаны на симметрии окрестностей вершин в химическом графе. Подход, используемый при получении этих топологических индексов, состоит в разбиении вершин полного молекулярного графа на непересекающиеся подмножества на основе соотношения эквивалентности, определенного относительно различных степеней симметрии окрестностей, построении вероятностной схемы и окончательном расчете количества информации по формуле Шеннона. Полезность таких индексов была показана на примере ККСА-исследований растворимости спиртов, ингибирования спиртами микросомального лара-гидроксилирования анилина цитохромом P4JQ и токсичности барбитуратов. Показано, что топологические индексы, основанные на симметрии окрестностей, оказываются предпочтительнее других индексов, таких, как индекс Винера, индекс молекулярной связности и log Р. [c.206]

Отметим, что соответствующие топологические инварианты и соотношения для критических точек (34)—(37) также должны быть применимы к обеим гиперповерхностям Ё(у) и Ё°(у), следовательно, число и тип указанных химических структур ограничиваются этими топологическими соотношениями [174]. [c.110]

Поскольку а есть топологический инвариант для любой кольцевой замкнутой двухцепочечной ДНК, любое изменение /3 должно сопровождаться компенсирующим изменением W. Виток, изображенный на рис. 24.4, А, называют тороидальным. Молекула, в которой много таких витков, будет походить на бублик, или тор, как показано на рис. 24.4, Б. Знак образуемой спирали можно определить с помощью оси, расположенной в плоскости [c.389]

Очевидно, что величина т/, которая является, как следует из уравнения (1), монотонно возрастающей функцией, всегда возрастает при увеличении числа топологических характеристик, суммированных на рис. 1. Иллюстрацией того, как может быть вычислена величина ri, не прибегая к выражению (1), является рис. 2. Первоначально это может показаться затруднительным, однако, имея небольшой опыт, сделать это оказывается ненамного труднее, чем подсчитать число атомов или связей. Заманчиво предположить, что TJ — единственный простейший инвариант, являющийся общей мерой топологической сложности всех типов структур. [c.242]

Мы не будем доказывать, что величина X является топологическим инвариантом, но если принять это как известный математический факт, то мы сразу приходим к выводу, что для любой односвязной замкнутой поверхности % = I. Действительно, это равенство элементарно проверяется для сферы, а потому оно верно для любой поверхности, топологически эквивалентной сфере. [c.56]

Порядок зацепления L ленты определяется как число зацеплений в пространстве двух ее краев (рассматриваемых как отдельные замкнутые линии). Например, для перекрученной ленты, изображенной на рис. В, порядок зацепления равен + 1. Знак плюс берется потому, что направление закручивания отвечает типу правой спирали (по часовой стрелке). Зеркальное отображение этой структуры имело бы порядок зацепления, равный — 1 и вообше, в результате зеркального отражения знак L всегда меняется на противоположный. Порядок зацепления замкнутой ленты есть величина постоянная (т.е. топологический инвариант) он не может измениться, пока вы не разрежете или не разорвете ленту. [c.391]

Амеры в состоянии ( ") находятся в противофазе амерам в состоянии С О ), поэтому при взаимодействии амеров (" ") с пустыми ячейками никакие характеристики в ФП не изменяются. В случае взаимодействия амеров друг с другом сохраняются только инварианты их системного комплекса (например, импульс, энергия и др.). Устойчивые топологические взаимодействия амеров в состоянии (" ") и ("О") образуют "материальные амеры - разнообразнейшие элементарные частицы. При обсуждении каких-либо свойств амеров будем подразумевать их проявления в свойствах элементарных частиц. [c.22]

Таким образом, применение характеристики Эйлера совместно с теорией графов позволяет выявить все многообразие топологических инвариантов расположения изокритериальных многообразий в концентрационном симплексе. [c.156]

Определены топологические инварианты распределения изокритериальных многообразий при ректификации трех и четырехкомпонентных смесей. [c.58]

Каждой органической молекуле можно сопоставить граф. Для каждого графа можно построить различные наборы инвариантов, т, е. совокунности чисел, которые не зависят от способа нумерации вершин графа. Такие инварианты называют в теоретической химии топологическими индексами. Тонологические индексы бывают локального и интегрального типов. В первом случае топологические индексы сопоставляются отдельным вершинам или ребрам графа. Примерами таких индексов являются элементы матрицы илотно-сги — заряды на атомах и порядки связей. Индексы интегрального типа относятся к МГ в целом. В качестве примеров таких индексов могут служить коэффициенты характеристического полинома матрицы смежности. Из отдельных индексов можно устраивать разные комбинации. В результате получают топологические мультииидексы. [c.38]

Топологический инвариант Эйлера для поверхности со (к) == = со = onst равен [c.56]

Используя (2.6) для характеристики изочастотных поверхностей, следует помнить, что они периодически повторяются во всем обратном пространстве. И под топологическим инвариантом мы будем понимать интеграл (2.6), вычисленный по той части изочастотной поверхности, которая находится в одной элементарной ячейке к-пространства. [c.56]

Сравнивая (2.11) и (2.12), мы видим, что при возникновении конической точки на. поверхности постоянной частоты топологический инвариант X (со) изменяется на единицу. Таким образом, процесс слияния двух участков изочастотной поверхности сопровождается уменьшением топологического инварианта X на единицу за счет каждой конической точки (приходящейся на одну элементарную ячейку обратной решетки). [c.57]

Помимо границ непрерывного спектра, довольно общему анализу могут быть подвергнуты окрестности частот, которые разделяют изочастотные поверхности разной топологии. Мы ограничимся рассмотрением того случая, когда граничная изочастотная поверхность со = (Ок обладает конической точкой, закон дисперсии вблизи которой дается соотношением (2.5). Предположим, как мы это делали при анализе скачка топологического инварианта что вне малой окрестности конической точки все изочастотные поверхности тонкого слоя вблизи со = сок являются регулярными и скорость V на них не обращается в нуль. Тогда особые свойства плотности колебаний, которые мы ожидаем найти при со = сок, могут появиться лишь за счет вклада колебаний, соответствующих малой окрестности конической точки. Поэтому снова проведем на указанном ранее расстоянии от конической точки пару плоскостей kg— [c.63]

Рис. 22. Прос- Величина Lk замечательна тем, что ее тейшее зацепле- значение ДЛЯ Заданной пары колец не мо-иие — символ жет измениться, как бы мы ни гнули эти бракосочетания, кольца, лишь бы не рвали их. Поэтому математики говорят, что Lk есть топологический инвариант системы, состояш,ей из пары колец. А без помощи математиков молекулярным биологам никогда не удалось бы разобраться в свойствах кольцевых ДНК.

Как показывает конкретный анализ [19-21], отсутствие устойчивых неподвижных точек является характерным явлением для систем с большим числом и независимых инвариантов четвертого порядка (а следовательно, большим числом и). Однако, как показано в работе [25] к гл. 1, имеются примеры систем с большим числом инвариантов и>3,в которых существует устойчивая неподвижная точка и, следовательно, нет топологических ограничений на ее существование в общем случае. Следует также отметить, что в этой же работе получен весьма сильный результат при числе компонент параметра порядка и >4 имеется только одна устойчивая неподвижная точка (если она существует). Она отвечает фазовомупереходу второго рода, причем симметрия гамильтониана в этой точке вьш1е симметрии самой системы и описывается группой 50 (и). [c.232]

Размерность представляет собой топологический инвариант, к для того чтобы этот инвариант при отображении структуры объекта в памяти электронно-вычислительной машины или живого организма сохранялся, такое, отображение должно быть непрерывным в том смысле, что близкие элементы объекта должны оставаться близкими в устройстве хранения информации. При этом элементами, близкими в устройстве храие-лия информации, следует считать такие, связь между которыми может быть осуществлена за достаточно малое время, так что Б этом смысле близость оказывается характеристикой, вообще говоря, логического, а не физического отношения. [c.97]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология