Ветви колебаний

Для одной ветви колебаний, например. [c.115]

На самом деле необходимо учесть все ветви колебаний две поперечные и одну продольную аку тические ветви, а также оптические ветви. Поэтому [c.420]

Здесь ба(к) — единичный а-й собственный вектор тензора J i (k), или вектор поляризации тыв (к) — собственное значение тензора J (k), которое, как известно из теории колебаний кристаллической решетки Бравэ, имеет смысл массы колеблющихся атомов, умноженной на квадрат частоты чис.тю з нумерует три акустические ветви колебаний к — волновой вектор. Подставляя (38.15) в (38.14), получим [c.328]

Различным ветвям колебаний соответствуют различные температуры Дебая. Значения То, определяемые из тепловых измерений, являются усредненными по различным (существенным при температуре измерений) ветвям колебаний. Более детальную информацию дают, например, измерения упругих констант. [c.342]

Здесь к — волновой вектор, ш — частота, / — номер ветви колебаний. [c.358]

Трем ветвям колебаний, для которых формулы (1.42) обобщают соотношение (1.36), отвечают три, вообще говоря, различные скорости звука За (х). [c.38]

Наконец, у верхнего края частот для каждой ветви колебаний мы можем ожидать квадратичный закон дисперсии типа (1.37) или [c.39]

Таким образом, независимые осцилляторы нумеруются парой индексов (к, а), и их число равно числу колебательных степеней свободы простой кристаллической решетки ЗЫ (три ветви колебаний и N физически неэквивалентных значений к для каждой ветви). [c.44]

Закон дисперсии коллективных колебаний простой кристаллической решетки обладает универсальным свойством частоты всех трех ветвей колебаний обращаются в нуль при й-> 0. Предельно длинноволновые колебания (к = О, Я = оо) эквивалентны смещению решетки как целого, и отмеченное свойство есть прямое следствие инвариантности энергии кристалла относительно его поступательного перемещения как целого. Действительно, доказывая соотношения (1.8), мы исходили из того, что в силу однородности пространства внутреннее состояние тела не может зависеть от положения его центра тяжести. [c.44]

В связи с важностью формулы (1.67) приведем ее запись в общем случае, позволяющую проследить за вкладом различных ветвей колебаний [c.47]

Нормировка у функции V (со) выбрана иная, чем у плотности колебаний, а именно для каждой ветви колебаний [c.59]

Наконец, перепишем определение (2.22), выполнив указанное в формуле дифференцирование либо возвратившись к (2.21), но с учетом всех ветвей колебаний [c.60]

Мы начнем с анализа функций распределения для отдельной ветви колебаний в низкочастотной области (со со ), где закон дисперсии наиболее прост [c.61]

Что же касается очевидных свойств плотности колебаний и числа ее критических точек, то мы можем резюмировать основные выводы последнего параграфа в виде утверждения, что функция (е) для каждой ветви колебаний имеет, по крайней мере, четыре сингулярные точки два конца полосы собственных частот и две критические точки типа 5. Во всех этих точках особенностью (е) является то, что, с одной стороны от каждой из этих точек функция регулярна (в частности, может тождественно обращаться в нуль), а с другой стороны д (е) имеет вид [c.65]

Низкочастотный (длинноволновый) предел закона дисперсии каждой ветви колебаний в изотропном приближении имеет вид [c.66]

Поскольку все функции Грина обладают одинаковыми сингулярностями, то плотность колебаний можно связать с мнимой часТью любой из них, например определить через запаздывающую функцию Г рина. Ограничимся снова рассмотрением только одной ветви колебаний (точнее, скалярной моделью) и проанализируем (со, к)-представление (1.76) для функции (п). Учтем формальное соотношение [c.72]

Рассмотрим кристаллическую решетку, в узлах которой расположены двухатомные молекулы. Оптическая ветвь колебаний такого кристалла описывает согласованные внутримолекулярные движения, слабо зависящие от межмолекулярных взаимодействий. Эти движения характеризуются частотами, близкими к собственным частотам свободной молекулы. В такой ситуации обычно соо [c.80]

Чтобы различать смещения, отвечающие различным ветвям колебаний, запишем решение уравнения (3.23) в виде [c.82]

Заключенная в условиях (3.26) ортогональность векторов поляризации, принадлежащих разным ветвям колебаний, а также своеобразная ортогональность колебаний различных подрешеток кристалла обобщает свойства (1.29) векторов поляризации простой решетки и реализует линейную независимость собственных решений [c.83]

Следовательно, в сложной кристаллической решетке всегда имеются три акустические ветви колебаний. Длинноволновые колебания для этих ветвей совпадают с обычными звуковыми колебаниями кристалла. [c.84]

Наличие отличной от нуля частоты для предельно длинноволновых колебаний является характерным для оптических ветвей кристалла. Поэтому мы можем заключить, что в сложной кристаллической решетке имеются Ъц — 3 оптические ветви колебаний. [c.85]

В заключение отметим, что наличие оптических ветвей колебаний очень легко учесть при введении нормальных координат кристалла. Действительно, переход к сложной решетке формально сводится к добавлению лишнего индекса 5 (номер атома в элементарной ячейке). Разложение произвольных смещений (п) по функциям (3.27) остается прежним [c.85]

В п. 1 настоящего параграфа была кратко обсуждена возможность описания оптической ветви колебаний молекулярного кристалла, ответственной за внутримолекулярные движения сильно связанных атомов и потому обладающей очень высокими частотами. Такие колебания затрагивают ковалентные связи атомов в молекуле и, как правило, могут рассматриваться независимо от низкочастотных типов колебаний. Они составляют отдельный вид движений кристалла и условно называются внутренними модами колебаний. [c.86]

После решения дисперсионного соотношения (4.74) происходит разделение ветвей колебаний на 1) почти продольные (L) с законом дисперсии (2) при и с законом дисперсии (1) при ki < [c.105]

Для иллюстрации истинных законов дисперсии сильно анизотропных кристаллов на рис. 37 приведены графики рассчитанных и экспериментально подтвержденных зависимостей со = (к) для графита. Поскольку графиту присуща сложная кристаллическая решетка, то на рис. 37 представлены не только акустические (А), но и оптические (О) ветви колебаний. [c.106]

Заметим, что при этих частотах первая ветвь колебаний дает вклад в функцию распределения [c.109]

Суммарная функция распределения частот таких колебаний в основном опять определяется второй ветвью колебаний [c.111]

Общее представление о функции распределения частот ветвей колебаний слоистого кристалла можно получить при рассмотрении схематического графика суммарной функции распределения V (со), изображенного на рис. 38. Участок 1 на графике соответствует квадратичной зависимости V (со) от частоты, участок 2 — линейной зависимости на него приходится корневая особенность первой ветви колебаний в точке со = со а участок 3 — почти постоянному значению V (м) при сй соа. На графике выделена особенность функции [c.111]

Рис. 4 . Схема распада одного фонона на два фонона той же ветви колебаний

Глядя на (8.26), легко сообразить, что все ветви колебаний имеют законы дисперсии звукового типа [c.158]

Подобное выделение четвертой ветви колебаний обоснованно при [c.158]

Сплошные кривые — поле приложено в базисной плоскости пунктир — перпендикулярно к ней 1 — квазиангиферромагнитная ветвь колебаний 2 — квазиферромагнитная ветвь. На рисунке справа экспериментальные результаты работы [41] для малы. значений поля. [c.604]

Мы убедились, что собственные колебания кристалла могут быть представлены в виде плоских волн (1.18), частоты которых связаны с квазиволновым вектором к законом дисперсии со = со (к), (а = = 1, 2, 3). Чтобы отличать смещения разных ветвей колебаний, запишем решение (1.18) явно в векторном виде [c.34]

Следовательно, в точке к = О имеет место вырождение, т. е. совпадение частот нескольких ветвей колебаний. В силу неоднозначности со как функции волнового вектора в точке к = О ее разложение в ряд по степеням невозможно. Сортношение (1.41) в общем случае не может рассматриваться как разложение функции со по степеням компонент волнового вектора, и этим длинноволновый закон дисперсии трехмерного кристалла отличается от закона дисперсии (1.34) для скалярной модели. [c.38]

Переход к окончательной формуле (1.56) в общем случае тривиа- лен достаточно лишь учесть, что нормальные моды (1.30) относятся к определенным ветвям колебаний, а поэтому координаты X и импульсы У приобретают индекс а, указывающий соответствующую ветвь колебаний X == X (к), У = Уа (к). Тогда [c.44]

Построение изочастотных поверхностей осуществляется независимо для каждой ветви колебаний, поэтому в дальнейшем мы будем опускать индекс а при записи закона дисперсии (2.1), имея в виду одну из ветвей. [c.52]

Фигуры на рис. 20, призванные проиллюстрировать появление конических точек, являются весьма схематическим изображением изочастотных поверхностей некого воображаемого кристалла. Желая дать представление о виде поверхностей постоянной частоты колебаний реального кристалла, мы приведем результаты фактически выполненных расчетов изочастотных поверхностей для ГЦК решетки А1. На рис. 21 показаны два сечения изочастотных поверхностей ветви продольных колебаний Л1 внутри одной зоны Бриллюэна (см. рис. 8, б). Дробные числа около линий сечения обозначают величину со/сот для рассматриваемой ветви колебаний. [c.54]

Рис. 21. Сечения рассчитанных изочастотных поверхностей продольной ветви колебаний А1 (Уолкер, 1956)

Причиной появления общепринятого названия высокочастотных ветвей колебаний послужило то обстоятельство, что во многих кристаллах эти колебания являются оптически наблюдаемыми. В ионном кристалле типа Na l элементарная ячейка содержит два разноименных иона, относительное смещение которых изменяет ди-польный момент элементарной ячейки. Следовательно, колебания, связанные в основном с относительными смещениями ионов, интенсивно взаимодействуют с электромагнитным полем, и потому доступны изучению оптическими методами, [c.79]

Таким образом, если и = О, то уравнения (3.21) глеют решения, частота которых обращ,ается в нуль вместе с величиной квазиволнового вектора. Поскольку имеются три независимые компоненты центра тяжести элементарной ячейки, то существуют три ветви колебаний, в которых при = О (Я = оо) элементарная ячейка сложной решетки движется как целое с = 0. [c.84]

Пересечение изочастотных поверхностей ставит вопрос о необходимости учета даже малого взаимодействия ветвей колебаний, за которое ответственны элементы силовой матрицы (tij) и (nj (требование (4.70) есть модельное предположение, а не следствие симметрии задачи). Ясно, что учет любого взаимодействия приведет к деформации законов дисперсии вблизи линии их пересечения и снимет вырождение. Исправленные законы дисперсии двух пересекающихся ветвей находятся из дисперсионного соотношения типа [c.105]

При низких температурах в законе дисперсии для фононов со средними энергиями (Йсо Г Йсоо) можно ограничиваться длинноволновым приближением. Для упрощения выкладок будем учитывать только одну ветвь колебаний, предполагая у нее изотропный закон дисперсии со = Тогда функция распределения фононов будет подчиняться кинетическому уравнению (9.29), которое мы слегка конкретизируем [c.172]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология