Функция распределения частот

Функцию распределения частот (П1.80) можем записать теперь в виде [c.76]

Для определения функции распределения частот g v) Дебай проделал следующий расчет. Он предположил, что в любом твердом теле объема V могут устанавливаться как продольные, так и поперечные системы стоячих волн. Чтобы пояснить прием Дебая, рассмотрим следующий простой случай. Пусть кристалл является кубом с неподвижными стенками, причем длина ребра куба а, а объем У=а и прямоугольные оси координат х, у, г) направлены по ребрам куба. В результате отражения упругих волн от неподвижных стенок в упругой среде наблюдаем образование систем стоячих волн. Определим, какие из них могут считаться установившимися. Пусть ААо, ВВа и ССо (рис. 20) представляют собой пере- [c.73]

Можно показать, что этот результат будет верен не только для объема куба, но и для любого объема V другой формы, т. е. при макроскопических размерах кристалла граничные условия не влияют на функцию распределения частот. [c.75]

Отсюда видно, что функция распределения частот g(v) возрастает пропорционально Чтобы получить общее число устойчивых систем колебаний каких угодно частот, надо было бы выражение (П1.79) проинтегрировать от О до оо. Однако интеграл при этом получится расходящийся. Из этого затруднения Дебай вышел с помощью следующего искусственного приема. Он интегрировал не от [c.75]

Таким образом, функция распределения частот нормальных колебаний в трехмерной решетке прямо пропорциональна квадрату частоты Число ёзз собственных колебаний решетки, или трехмерного континуума, в интервале частот от V до v-f[c.114]

Уравнение (1.33) очень хорошо описывает температурную зависимость теплоемкости большинства кристаллических веществ. Однако применение его к веществам с цепной или слоистой молекулярной структурой приводит к ошибкам, особенно значительным при низких температурах. Причиной этого является существенная энергетическая неравноценность сил межатомного и межмолекулярного взаимодействия в таких структурах, что приводит к деформации функции распределения частот ф(о)). Применение в этих условиях уравнения (1.33), выведенного для трехмерной изотропной модели с одинаковыми значениями квазиупругих сил во всех направлениях, является некорректным. [c.15]

Рис. 23. Типичныи вид функции распределения частот V (ш) и плотности колебаний й (в) для одной ветви закона дисперсии.

Рис. 23. Типичныи вид функции распределения частот V (ш) и <a href="/info/466449">плотности колебаний</a> й (в) для одной ветви закона дисперсии.

Предположив, что из общего числа ЗМ частот нормальных колебаний ЗЛ 1 частот (от (От до некоторой С01) отвечают колебаниям атомов внутри цепей или слоев, а ЗN2 ЗN — ЗЫх) частот — колебаниям трехмерного континуума, составленного из них, В. В. Тарасов получил следующие выражения для функции распределения частот [c.15]

Уже простое перечисление возбуждающихся колебаний указывает на чрезвычайно сложный вид функции распределения частот в спектре, делающий практически невозможным в данном случае использование коллективной модели. Более конструктивным является представление рассматриваемой системы в виде суммы невзаимодействующих гармонических осцилляторов (т. е. эйнштейновское приближение). [c.44]

В теории Дебая [1281] (1912 г.) одноатомное кристаллическое тело рассматривается как непрерывная изотропная упругая среда, имеющая бесконечно большое число собственных колебаний с частотами от О до (Отах, причем принимается, что функция распределения частот в этом интервале имеет вид [c.139]

Более подробный теоретический анализ частот внешних молекулярных колебаний в кристаллах проведен в обзорах [87— 90] и в монографии [47]. Экспериментальные значе]1ия таких частот при нулевом значении волнового вектора получают из ИК-спектров и спектров комбинационного рассеяния. Гораздо более полную информацию—картину дисперсионных поверхностей (или кривых) при всевозможных значениях ц н функцию распределения частот (плотность фононных состояний)—дают фононные спектры неупругого рассеяния нейтронов на монокристаллах. Сведения об основах и современном состоянии этого бурно развивающегося метода исследования можно найти в обзорах [91, 92], в сборнике [93], в сборнике трудов симпозиума, происходившего в 1977 г. в Вене [94]. В обзоре [95] описаны экснерименты по рассеянию нейтронов, выполненные при высоких давлениях (до 10" МПа). Наряду с этим дисперсионные поверхности и функции распределения частот удается [c.162]

Существенно более эффективным оказывается расчет термодинамических функций на основе полного вычисления фононного спектра. Для записи соответствующих выражений используется функция распределения частот gr(v), имеющая следующий смысл gr(v)dv — это число частот в г-той ветви, лежащих в интервале от V до v+i v. Тогда свободная энергия / . может быть найдена с помощью формул [c.172]

Для объяснения ряда свойств кристаллов, обусловленных ко.де-баниями решетки, не требуется столь полная информация о колебаниях, которая содержится в законе дисперсии, а достаточно знать лишь распределение колебаний по частотам. Имея это в виду, вводят понятие плотности колебаний или функции распределения частот. [c.58]

Рис. 29. Функция распределения частот акустических и оптических коле- баний.

Подставляя (2.29) в (2.28), получаем следующее выражение длж функции распределения частот [c.61]

Полезно записать (2.30) в несколько иной форме, допускающей элементарную оценку порядка величины низкочастотной функции распределения частот, а именно [c.61]

Если мы теперь учтем (2.20) и определение функции распределения частот V (ft)), то на основании (2.37) сможем вычислить вклад, тех состояний, которые отвечают окрестности конической точки V [c.63]

Спектр частот каждой ветви кристалла должен содержать, по крайней мере, по одной критической точке обоих типов 5 и 8 . В малой окрестности точки типа функция распределения частот имеет вид [c.65]

Рис. 38. Особенности функции распределения частот, отвечающие дисперсионным кривым на рис. 35.

Обсужденные в пункте 3 настоящего параграфа особенности функции распределения частот или плотности колебаний кристалла существенно трансформируются при переходе от трехмерной (3d) решетки к двухмерным (2d) и одномерным (Ы) структурам. [c.66]

Учитывая связь плотности колебаний с функцией распределения частот (2.18), убеждаемся, что [c.66]

Поведение плотности колебаний (2.43) и функции распределения частот (2.44) в предельно низкочастотной области явно отличается от (2.31) и (2.30) для трехмерного кристалла. [c.66]

Функция распределения частот V (со) одномерного кристалла с взаимодействием ближайших соседей [c.70]

Функция распределения частот колебаний v (со) имеет в точках (В = (ор особенности. На основании теорем, изложенных в 2, можно утверждать, что при ю — сор < сор поведение функции [c.107]

Закон дисперсии (4.71) порождает функцию распределения частот с корневой особенностью в точке со = со [c.107]

Поэтому функция распределения частот, порождаемая законом дисперсии (4.73), [c.108]

Таким образом, в критической точке со — соз функция распределения частот имеет корневую особенность (4.74), вынесенную на вершину острого логарифмического пика (4.85). [c.109]

Функция распределения частот (4.88) отвечает закону дисперсии [c.110]

Суммарная функция распределения частот таких колебаний в основном опять определяется второй ветвью колебаний [c.111]

Общее представление о функции распределения частот ветвей колебаний слоистого кристалла можно получить при рассмотрении схематического графика суммарной функции распределения V (со), изображенного на рис. 38. Участок 1 на графике соответствует квадратичной зависимости V (со) от частоты, участок 2 — линейной зависимости на него приходится корневая особенность первой ветви колебаний в точке со = со а участок 3 — почти постоянному значению V (м) при сй соа. На графике выделена особенность функции [c.111]

Таким образом, задача определения температурной зависимости теплоемкости в первую очередь сводится к нахождению частотного спектра колебаний атомов (ионов) в кристаллической решетке твердого тела. Его определение для кристалла связано с большими трудностями. Экспериментально g (v) определяют методами ггей-тронографии, теоретически — посредством громоздких численных расчетов. Простейшей теорией, позволяющей приближенно вычислить функцию распределения частот g(v) для одноатомного тела, является теория теплоемкости Дебая. [c.73]

Приведенная функция распределения частот WilHO = f (vrius) показывает, насколько часто встречается та или иная частота V. И а том же рисунке построены шкалы (верхняя шкала — абс-иисс и правая — ординат), к ко- [c.265]

III была изложена теория Эйнштейна, который использовал данное впервые Планком квантовое выражение для средней энергии линейного осциллятора. Мы ознакомились также с теорией Эйнштейна, измененной Дебаем, который дополнил иланковское выражение для энергии функцией распределения частот. Эти теорип можио теперь представить в ином виде, пользуясь суммами состояний. [c.502]

Ранее уже обращалось внимание на то, что спектры поглощения алмазов приближенно воспроизводят функцию распределения частот оптических колебаний алмаза. При этом было установлено, что поглощение в области частот 300—1300 см связано с наличием тех или иных примесей, хотя природа дефектов, ответственных за различные полосы, остается неясной. Ранее предполагалось, что за полосы 1100, 1215 и 1280 см-" ответственны ассоциации двух замещающих атомов азота, за полосы 1010, 1100, 1175 и 1330 см" — дислокационные петли, ориентированые параллельно плоскости (111), а за полосы 1365, 1430 см — пластинчатые сегрегации атомов азота в плоскости (100). В исследованных нами образцах имеется асимметричная полоса в области 1280— 1330 СМ , которая, по-видимому, образуется в результате наложения полос 1280 и 1330 см . Отсутствие сдвига у этих полос свидетельствует о том, что они не связаны с колебаниями, в которых участвуют атомы азота, а обусловлены какими-либо другими дефектами, например вакансиями атомов углерода (акцепторные дефекты), которые всегда присутствуют в азотсодержащих алмазах. [c.426]

Приведенная функция распределения частот WT H0 = /(vriu6) показывает, насколько часто встречается та или иная частота V. Иа том же рисунке построены шкалы (верхняя шкала — абсцисс и правая —ординат), к которым следует относить релаксационные свойства полимера с т нб=1 Ю пз. Очевидно, что так же может быть получена характеристика полимеров с другими значениями г нб- Для показанного на рис. 118 примера чаще всего встречаются частоты перестройки надмолекулярных структур порядка 0.1 се/с (времена релаксации — Юсек). Для этой частоты перестройка структур происходаг примерно в полтора раза чаше, чем для частот, равных 1 и 0,01 f / . [c.265]

За последние два-три десятилетия теория теплоемкости кристаллических веществ развивалась в двух основных направлениях. В работах Блэкмана [834а], Хаустона [2132а] и ряда других исследователей предпринимались попытки усовершенствовать теорию Дебая путем замены постулированной параболической функции распределения частот (II 1.4) другой функцией, которая бы лучше описывала.действительное распределение частот кристаллических решеток различных типов. До настоящего времени, однако, не было найдено рациональных методов определения этой функции поэтому на практике рассматривалась лишь обратная задача — нахождение функции распределения по экспериментальным значениям теплоемкости. [c.140]

В пионерских расчетах Поли в приближеиии жестких молекул были получены дисиерсионные кривые и функции распределения частот для гексаметилентетрамина [97], нафталина и антрацена [98]. В работе [98] энергия межмолекулярного взаимодействия вычислялась в атом-атомном приближении, а динамические коэффициенты были найдены численным дифференцированием. Однако расчетные частоты существенно отклонялись от эксперимеитальных значений. Одной из причин этого отклонения могло быть взаимодействие внешних и внутренних молекулярных колебаний. Чтобы учесть этот эффект Поли и Си-вин [99] провели расчет динамики кристалла нафталина, рассматривая динамические коэффициенты как вторые производные потенциальной энергии по смещениям отдельных атомов. Таким образом, молекулы не считались жесткими и могли деформироваться при колебательных движениях. Для нахождения динамических коэффициентов использовались силовые постоянные внутримолекулярных смещений, полученные из частот колебаний в газовой фазе, а силовые постоянные смещений молекул были вычислены двойным дифференцированием потенциала 6—ехр , т. е. по отдельности для каждого атом-атомного контакта. Полученные частоты внутримолекулярных колебаний были заметно выше, чем для свободных молекул (особенно для низкочастотных мод). Напротив, частоты внешних молекулярных колебаний снизились на 5—10 см . [c.163]

Первое слагаемое в (16), подставленное в (14) вместо дает бесфононную полосу (15), в то время как функция — 1 обеспечивает фононное крыло. Для вычисления формы последнего примем во внимание, что в реальных системах благодаря наличию различных частот функция Ке С t) [см. уравнение (13)] имеет вид затухающей осциллирующей кривой, причем период основных осцилляций определяется средней частотой 2, а скорость общего затухания — разбросом частот (дисперсией) ДЙ (рис. 15). Например, если предположить, что функция распределения частот р (Й ) имеет вид прямоугольника шириной ДО [c.195]

Ф котором интегрирование производится по полному телесному углу. В соответствии со сказанным выше описываемая выражением 2.35) корневая особенность функции распределения частот у шерхней границы спектра есть следствие квадратичного закона дисперсии (2.32). [c.62]

Очень важно, что зависимость частоты <о от к, задаваемая соотношением (2.58), определяет монотонную функцию в интервале значений квазиволнового числа (О, ). Это означает, что во внутренних точках интервала, (0, со ) функция распределения частот (или плотность колебаний) одномерного кристалла с таким законом дисперсии не имеет никаких особенностей. Действительно, из определения плотности колебаний (е) и формулы (2.58) следует [c.70]

Таким образом, график функции распределения частот колебаний сложной решетки в двухкомпонентной модели имеет вид, схематически представленный на рис. 29, где и — соответственно минимальная и максимальная частоты оптических колебаний. [c.80]

На распределении частот вдали от критических точек, безусловно, сказывается обсужденное выше пересечение изочастотных поверхностей и разделение колебаний на поперечные и продольные. Но интересуясь суммарной функцией распределения частот, мы считаем, что последняя мало зависит от того, представлена ли она в виде V = -Ь Уа, или в виде V = т, если взаимодейст [c.109]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология