Вольфа метод решения уравнений

Таким образом, решение краевой задачи формально свелось к решению некоторой системы нелинейных конечных уравнений. Для решения этой задачи могут быть использованы стандартные методы решения систем нелинейных уравнений, рассмотренные в главе III метод простой итерации, метод Ньютона, метод Вольфа и другие методы с памятью . [c.109]

Формально описываемый метод сводится к решению системы нелинейных уравнений, поэтому для решения последней можно, вообще говоря, применять обычные методы решения систем нелинейных уравнений. Правда, следует иметь в виду, что поскольку порядок системы может быть велик (М может достигать нескольких десятков), целесообразно использовать не все методы. Вряд ли желателен, например, метод Ньютона, применение которого потребовало бы в данном случае на каждой итерации вычислять матрицу частных производных порядка М. По той же причине нецелесообразно использовать метод Вольфа, требующий предварительного построения [М + 1)-го приближения. С другой стороны, может оказаться полезным применение методов с памятью , у которых т М. [c.111]

В настоящее время наиболее часто применяются локальные методы решения систем нелинейных уравнений — метод простой итерации, метод Ньютона и метод Вольфа. [c.91]

Эта система может иметь, вообще говоря, несколько решений. Мы остановимся здесь на двух часто применяемых методах решений систем нелинейных уравнений —методе Ньютона и методе Вольфа . [c.83]

При применении метода Вольфа для решения систем нелинейных уравнений чем меньше п, тем меньше требуется начальных приближений, меньше требования к памяти. [c.366]

Разработка эффективной стратегии итерационной процедуры. Известно, что задача расчета замкнутой ХТС эквивалентна решению системы нелинейных конечных уравнений. Поэтому стратегия итерационной процедуры расчета замкнутой системы может строиться на основе методов решения системы нелинейных уравнений простой итерации, метода Ньютона, метода Вольфа и др. Таким образом, конечная цель данной проблемы — разработка такой стратегии расчета ХТС, которая обеспечивала бы быструю сходимость итерационного процесса. [c.443]

Существуют также методы, специально разработанные для решения систем нелинейных уравнений, такие, как метод Ньютона, метод Вольфа и др. [124, с. 168]. Однако было бы неправильно противопоставлять упомянутые две группы методов. Например, метод Ньютона можно рассматривать как МНО для функции отклонений (VII,53). Чтобы показать это, продифференцируем [c.190]

Метод Вольфа решения систем нелинейных уравнений. В методе Вольфа (п + 2)-ое приближение строится по (п 4- 1)-му предыдущему. Пусть имеется в пространстве у ,. . . , г/ ( г- -1)-ая точка Yi,. ... [У = (у1,. . . , г/ )] и вычислены значения [c.84]

Для решения системы нелинейных уравнений (111.62), (111,106) и (111,2) могут быть применены методы Ньютона и Вольфа, описанные выше (см. стр. 83). [c.87]

Выше (см. стр. 143) в этой главе было показано, что решение системы дифференциальных уравнений (VI,2) с краевыми условиями (VI,5) и (VI,6) сводится к решению системы п конечных нелинейных уравнений (VI,8) с га неизвестными (0),. . ., (0)]. В главе III был описан метод Вольфа решения систем нелинейных конечных уравнений. Без каких-либо изменений он может применяться для решения системы нелинейных уравнений (VI,8) Надо, конечно, только помнить, что при фактическом определении правых частей для некоторых значений (0),. . z (0) придется численно проинтегрировать систему (VI,2) с начальными условиями (VI,5) и [c.168]

Соотношения (XII,3) и (XII,4) могут трактоваться как система уравнений для определения неизвестных промежуточных цен и 0 . Легко проверить, что число уравнений в этой системе равно числу неизвестных. Решение данной системы обеспечит выполнение соотношений (1,11), т. е. задача согласования входных и выходных переменных блоков схемы будет решена. Система уравнений (XII,3) и (XII,4) является системой конечных уравнений, для решения которых могут быть использованы метод Ньютона, метод Вольфа (см. стр. 83) и другие методы. Отметим еще раз, что для того чтобы подсчитать левые части этих уравнений, необходимо при фиксированных и найти оптимальные режимы всех блоков. [c.300]

К итерационным методам решения систем нелинейных уравнений относятся метод простой итерации и такие его разновидности с улучшенной сходимостью, как метод модифицированной итерации метод доминирующего собственного значения (DEM) [21 ] и обобщенный метод доминирующи.х собственных значений (GDEM) [22] метод Ньютона и его модификации различные разновидности метода секущих, в частности, методы Вольфа, Барнза, Бройдена, методы с памятью и др. [c.67]

Методы решения систем нелинейных уравнений можно р азбить на три группы. К первой относятся метод простой итерации и его модификации, а также методы, ускоряющие сходимость простой итерации (методы DEM [22], GDEM [23]) ко второй — метод Вольфа и его модификации [3, с. 35 1, с. 84] к третьей — квази-ньютоновские методы. Здесь мы рассмотрим только метод Ньютона и квазиньютоновские методы решения систем нелинейных уравнений, идейно очень близкие к методу Ньютона и квазиньютоновским методам оптимизации. В дальнейшем будем говорить, что метод обладает р-шаговым свойством линейного окончания, если он обеспечивает решение системы линейных уравнений при числе шагов, не превышающем р. [c.29]

Методы решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассмотрены в ряде монографий (см. например 12, 13, 99 Однако уравнения принципа максимума имеют определенную специфику, связанную с определением управлений при помощи соотношения ( .18). Это требует существенной модификации известных методов. Здесь изложены модификации наиболее часто употребляемых методов — метода Ньютопа и метода квазилинеаризации 2, а также метод Вольфа [c.142]

Пусть для к го блока функция (и) имеет вид, представленный на рис. 65. Слабому принципу максимума удовлетворяют следующие точки uW, u k) (координаты стационарных точек, являющихся локальными максимумами), (координата точки перегиба), (координата локального максимума, лежащего на границе допустимой области), Ц >, (координаты стационарных точек, являющихся локальными минимумами, лежащими внутри допустимой области). Если бы для каждого к функция (и) имела бы только одну подозрительную точку (т. е. точку, удовлетворяющую условиям слабого принципа максимума), то единственным осложняющим моментом для дискретной системы была бы необходимость одновременного решения условий слабого принципа максимума и уравнений преобразования для блоков сопряженного процесса [(VIII,103) и (VIII,104)]. В обоих случаях можно было бы воспользоваться методом Вольфа, методом квазилинеаризации или методом Ньютона. Однако если функция (и) имеет при некоторых к несколько подозрительных точек, то процедура значительно затрудняется. Действительно, пусть мы с помощью какого-нибудь метода, например метода Ньютопа, решаем краевую задачу и у нас при каждом к функция Я (и) имеет т подозрительных точек. Тогда для JV блоков будем иметь m " вариантов выбора управлений и для каждого из вариантов должна быть решена краевая задача. Если числа т ж N невелики, то можно воспользоваться простым пере-бором. Однако для больших т ш. N простой перебор всех вариантов может привести к катастрофически большому количеству операций. [c.250]

Поскольку, как уже упоминалось, задача расчета статических режимов замкнутых схем сводится к решению системы нелинейных уравнений (Д. 1), мы остановимся на методах решения систем нелинейных уравнений. Различают методы двух групплокальные и глобальные. Задача локального метода состоит в нахождении решения системы уравнений (Д. 1) по приближению, лежащему в окрестности этого решения. Задачей глобального метода является определение всех решений системы уравнений (Д. 1). Рассмотрим только локальные методы решения систем нелинейных уравнений. Наиболее часто применяемые методы — это метод простой итерации [4 ], метод Ньютона [4] и метод Вольфа [8 ]. [c.369]

Для обеспечения устойчивой сходимости решения систем нелинейных 3 равнений используют метод Вольфа [127], сснованный на линейной аппроксима1дии уравнений с истемы по вычислен1шм значениям функций (невязок) для конечного числа точек. Для системы /(X) -О, (1.3) [c.19]

Замкнутая схема производства стирола была приведена к разомкнутой путем разрыва связи мел ду аппаратами 6 ш 7. Для согласования условно-входных и условно-выходных переменных необходимо решать систему нелинейных уравнений третьего порядка. Сравнительный анализ результатов решения методами простой итерации, Эйткена, Ньютона и Вольфа показал [12, с. 304] [c.170]

Для определения можно использовать прием линеаризации [92, с. 49]. Применяя правила дифференцирования сложных и неявных функций, легко получить формулы для определения производных функции (IV, 143) по переменным и [92, с. 49]. Для решения задачи (IV, 144), (IV, 145) используется метод сопряженных градиентов, модифицированный для учета ограничений (IV, 145) (МОПГ) он был предложен в 1968 г. и является обобщением метода приведенного градиента, разработанного Вольфом [93] для решения задачи (IV, 1), (IV, 3), (IV, 141) с линейными ограничениями (IV. 3), на случай нелинейных ограничений (IV, 3). Вместе с тем следует отметить, что при решении задач оптимизации в химической технологии этот подход введения зависимых и независимых переменных для исключения ограничений типа равенства фактически использовался уже в начале 60-х годов. Причем в качестве зависимых переменных обычно выбирались переменные состояния, в качестве независимых — управления [94], а в качестве ограничений типа равенств выступали математические модели блоков и уравнения связи. На основе этого подхода был дан способ вычисления градиента функции (IV, 143) для ряда типовых схем [95, 96]. Имеется также более удобный способ вычисления производных функций (IV, 143) для общего случая [97]. В чистом виде МОПГ эквивалентен задаче 2 оптимизации ХТС [см. соотношение (1.71), (1.72)]. либо задаче 1 [см. соотношения (1, 64)—(I, 66)], когда ограничения (I. 10) отсутствуют, [c.157]

Таким образом, ддя решения системы нелинейных и трансцендентных уравнений типа (I) рекомендуется использовать метод Барнеса, если якобиан системы легко определяется, и метод Вольфа с предложенной модифакацией, если вычисление якобиана системы затруднительно. [c.83]

Сравним теперь метод Вольфа с рассмотренными здесь методами Ньютона и квазилинеаризации. С одной стороны, хметод Вольфа обладает тем преимуществом, что не использует систему уравнений в вариациях, соответствующую системе (VI,2). В методах Ньютона и квазилинеаризации приходится применять дополнительные системы уравнений (VI,36) и (VI,77). Метод же Вольфа не использует никаких дополнительных систем уравнений. Эго существенно облегчает подготовку задачи для решения на вычислительной машине, поскольку не требуется определять аналитический вид и программировать производные от правых частей систе.мы (VI,2) до первдмен-НЫМ Z(- и Wj. [c.168]