Методы решения систем нелинейных уравнений

Все существующие методы решения систем нелинейных уравнений сводятся к итерационным процессам, их можно подразделить на три фуппы. Первая фуппа методов - это метод простых итераций и его модификации. Вторая фу ппа методов - это метод релаксации и его модификации. [c.18]

Матричные методы решения систем нелинейных уравнений можно разделить на две группы по способу линеаризации. К первым относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность, с предыдущих итераций. Являясь методами нулевого порядка, они в ряде случаев обладают слишком медленной сходимостью или вообще не обеспечивают решения. [c.134]

Известно, что расчет критерия оптимизации сводится к расчету статического режима схемы [12, с. 131. Повышение эффективности алгоритмов расчета статических режимов схем достигается применением эффективных методов решения систем нелинейных уравнений, а также использованием методов структурного анализа. Эти вопросы были подробно изложены в монографиях [И, 12]. [c.29]

Математически задача определения подбираемых параметров сводится к решению систем нелинейных уравнений. Некоторые методы их решения освещены в главе III. Здесь отметим только, что все методы решения систем нелинейных уравнений являются итерационными. Таким образом, учет ограничений (11,2) на этапе расчета схемы приводит к необходимости выполнения итерационных процедур на каждой итерации минимизационного процесса. [c.17]

Определение в схеме комплексов , определение внутри комплекса оптимальной совокупности разрывных потоков — эти задачи решаются с помощью алгоритмов структурного анализа, рассмотренных в главе IV. Здесь же мы остановимся на собственно методах решения систем нелинейных уравнений, предполагая, что структурный анализ в схеме проведен и системы нелинейных уравнений, которые необходимо решать, получены. [c.33]

Отсюда возникает такая процедура решения указанных систем уравнений. Систему (V,17) решаем как систему т уравнений с т неизвестными, применяя стандартные методы решения систем нелинейных уравнений (некоторые из них были изложены в главе III). Особенность решения этой системы состоит в том, что для вычисления левых частей ее уравнений при фиксированных значениях надо, в свою очередь, решить систему уравнений (V,13). Поскольку при решении системы (V,17), какой бы метод мы ни использовали, на каждой итерации приходится вычислять левые части уравнений, нам придется на каждой итерации решать систему уравнений (V,13). [c.93]

Таким образом, решение краевой задачи формально свелось к решению некоторой системы нелинейных конечных уравнений. Для решения этой задачи могут быть использованы стандартные методы решения систем нелинейных уравнений, рассмотренные в главе III метод простой итерации, метод Ньютона, метод Вольфа и другие методы с памятью . [c.109]

Формально описываемый метод сводится к решению системы нелинейных уравнений, поэтому для решения последней можно, вообще говоря, применять обычные методы решения систем нелинейных уравнений. Правда, следует иметь в виду, что поскольку порядок системы может быть велик (М может достигать нескольких десятков), целесообразно использовать не все методы. Вряд ли желателен, например, метод Ньютона, применение которого потребовало бы в данном случае на каждой итерации вычислять матрицу частных производных порядка М. По той же причине нецелесообразно использовать метод Вольфа, требующий предварительного построения [М + 1)-го приближения. С другой стороны, может оказаться полезным применение методов с памятью , у которых т М. [c.111]

Итак, расчет стационарного режима ХТС сводится к решению некоторой системы нелинейных уравнений. Поэтому все дальнейшее изложение будет посвящено методам решения систем нелинейных уравнений. Заметим, что имеется определенная специфика решения систем нелинейных уравнений при использовании последовательного подхода. Действительно, при заданном х мы не можем рассчитать отдельно левую часть одного или нескольких уравнений системы (11,7), рассчитать их можно только вместе. Это не позволяет использовать методы, в которых предусмотрена обработка каждого уравнения системы (II, 7) в отдельности (например, метод Гаусса—Зейделя [20, с. 345] в случае линейных систем, метод Брауна [21 ] в случае нелинейных систем). [c.29]

Можно предположить, что и для нелинейных систем число итераций будет расти с увеличением размерности задачи. Поэтому решение системы (П, 1), (II, 3) может потребовать много времени. Особенно это касается случая, когда при оптимизации ХТС приходится многократно рассчитывать ее стационарные режимы для различных значений управляющих переменных. В связи с этим большое значение приобретает разработка эффективных методов решения систем нелинейных уравнений большой размерности. [c.60]

Таблица 7. Сравнение методов решения систем нелинейных уравнений

Аналогично тому, как было сделано при разработке квазиньютоновских методов решения систем нелинейных уравнений, рассмотрим квазиньютоновские методы 1-го рода, в которых матрицы В , Я будут удовлетворять соотношениям (II, 25,) (II, 31) соответственно, и квазиньютоновские методы 2-го рода, в которых матрицы В , Я будут удовлетворять соотношениям (II, 29), (И, 32) соответственно. Так же, как и в главе II воспользуемся соотношениями (II, 38), (II, 56). [c.88]

Резюмируя приведенное рассмотрение, отметим, что в гессиане могут быть элементы двух видов. Элементы первого вида — постоянные числа (в частном случае равные нулю), второго вида —легко вычисляемые [например, с помощью формул (V, 7)] выражения. Относительно построения квазиньютоновских методов минимизации функций с разреженными гессианами можно сказать то же, что было сказано о построении методов решения систем нелинейных уравнений с разреженными матрицами Якоби. Ясно, что мы должны аппроксимировать сам гессиан, а не обратную ему матрицу, поскольку гессиан может иметь большое число нулей, а его обратная матрица — быть плотно заполненной. При построении матриц Б , аппроксимирующих гессиан О, желательно сохранить структуру самого гессиана, т. е. обеспечить равенство постоянных (в частности нулевых) и легко вычисляемых элементов матрицы О соответствующим элементам матрицы В. [c.174]

Глава V посвящена итеративным методам решения систем нелинейных уравнений с N неизвестными. [c.11]

Алгоритмы расчета равновесия жидкость — жидкость — пар и многофазных систем рассмотрены в работах [21, 22]. В них показано, что расчет равновесия жидкость — жидкость как одноступенчатой экстракции является предпочтительным по сравнению с методами решения систем нелинейных уравнений относительно составов фаз. [c.7]

В настоящее время наиболее часто применяются локальные методы решения систем нелинейных уравнений — метод простой итерации, метод Ньютона и метод Вольфа. [c.91]

Эта система может иметь, вообще говоря, несколько решений. Мы остановимся здесь на двух часто применяемых методах решений систем нелинейных уравнений —методе Ньютона и методе Вольфа . [c.83]

Чтобы найти у, требуется решить систему из N уравнений (III-4), т уравнений (III-6) совместно с п уравнениями связей (III-2) и 2т неравенствами (III-3) и (III-5). Таким образом, система содержит [N т п) уравнений и столько же неизвестных N составляющих вектора г/ п множителей Я и иг множителей S. Решить подобную систему аналитически удается лишь для простейших задач. В реальных задачах ее решают численно. Методы решения систем нелинейных уравнений подробно изложены, например, в работе [9]. Остановимся здесь только на одном подходе, который нашел широкое применение в бесконечномерных задачах. [c.132]

Классификация методов решения систем нелинейных уравнений, описьшающих процесс ректификации нефтяных смесей [c.18]

Алгоритмически задача выбора технологической схемы состоит в разработке или выборе методов ее анализа, оценки, оптимизации и синтеза. На этапе анализа составляются уравнения математического описания, задаются переменные процесса и схемы, и в результате решения получается информация о потоках, температурах, давлении, составах, размерах и т. д. Оценка состоит в совмест-ном использовании информации с предыдущего этапа и экономических данных для определения целевой функции. Оптимизация состоит в поиске наилучшего набора переменных процессов. Традиционно разработка технологических схем проводится на основании итерационного выполнения указанных этапов, и лишь в последнее время стало уделяться внимание этапу синтеза, который призван объединить в себе все предыдущие этапы на основе некоторого метода. Известно большое число методов синтеза [4, 52], основанных на различных подходах, и многим из них присуща необходимость использования некоторого метода решения систем нелинейных уравнений или метода оптимизации. Последние используются для сведения материального и теплового баланса схем. Задачи решения систем уравнений и минимизации некоторого функционала взаимосвязаны и могут быть сведены одна к другой. Например, условием минимума функции Р х) является равенство нулю частных производных дР1дх1 = О, 1 = 1, 2,. . ., п, а система уравнений f х) = О, I = 1, 2,. . ., п, может быть решена путем минимизации соответствующим образом подобранного функциона- [c.142]

В результате из необходимых условий экстремума при условиях (56) получено недостававшее нам ранее уравнение. Теперь можно решать систему уравнений (56), (8) относительно неизвестных 1п любым методом решения систем нелинейных уравнений. Мы воспользуемся методом Ньютона. Производйьхе от (56) но 1п Ь суть элементы / = 1, 2,. . ., т—2), а [c.178]

К итерационным методам решения систем нелинейных уравнений относятся метод простой итерации и такие его разновидности с улучшенной сходимостью, как метод модифицированной итерации метод доминирующего собственного значения (DEM) [21 ] и обобщенный метод доминирующи.х собственных значений (GDEM) [22] метод Ньютона и его модификации различные разновидности метода секущих, в частности, методы Вольфа, Барнза, Бройдена, методы с памятью и др. [c.67]

Методы решения систем нелинейных уравнений. Рассмотрим систелму (1П,6). Для отыскания решения системы поступим следующим образом. Разложим функцию / (х) в ряд Тейлора в точке ограничимся линейными членами разложения [c.140]

Методы решения систем нелинейных уравнений можно р азбить на три группы. К первой относятся метод простой итерации и его модификации, а также методы, ускоряющие сходимость простой итерации (методы DEM [22], GDEM [23]) ко второй — метод Вольфа и его модификации [3, с. 35 1, с. 84] к третьей — квази-ньютоновские методы. Здесь мы рассмотрим только метод Ньютона и квазиньютоновские методы решения систем нелинейных уравнений, идейно очень близкие к методу Ньютона и квазиньютоновским методам оптимизации. В дальнейшем будем говорить, что метод обладает р-шаговым свойством линейного окончания, если он обеспечивает решение системы линейных уравнений при числе шагов, не превышающем р. [c.29]

В этом и следующих разделах приведены результаты численных расчетов на ЭВМ стационарных режимов ряда химико-технологических процессов. При проведении расчетов использовались, в основном, квазиньютоновские методы решения систем нелинейных уравнений ( ЫМ, определяемый преобразованием (II, 101) и Вгоу-кеп [см. преобразование (11,49)1. В соответствующих алгоритмах каждая следующая итерационная точка в пространстве независимых [c.46]

Пусть требуется минимизировать функцию / (х), где л — /г-вектор с разреженным гессианом. Построениё алгоритма минимизации таких функций будет основываться на подходах, развитых при выводе квазиньютоновских методов метода 1-го рода для минимизации произвольных функций и метода решения систем нелинейных уравнений с разреженной матрицей Якоби. Так же, как и в последнем методе введем множества М , Ма, М, М следующим образом — множества пар целых чисел ( , /) таких, что соответствующие элементы G гессиана являются постоянными, не зависящими от точки (номера итерации), т. е. выполняются равенства [c.174]

Ниже будет описан только один метод решения систем нелинейных уравнений — метод Ньютона — Рафсона. Он имеет достаточно широкую область применения, достаточно прост по своей сути и вполне приемлем для решения задач, рассматриваемых в данной книге. На практике иногда может возникнуть необходимость в использовании более сложных методов, для которых в библиотеках имеются машинные программы. Некоторые из этих методов однованы на решении системы уравнений [c.561]

Поскольку, как уже упоминалось, задача расчета статических режимов замкнутых схем сводится к решению системы нелинейных уравнений (Д. 1), мы остановимся на методах решения систем нелинейных уравнений. Различают методы двух групплокальные и глобальные. Задача локального метода состоит в нахождении решения системы уравнений (Д. 1) по приближению, лежащему в окрестности этого решения. Задачей глобального метода является определение всех решений системы уравнений (Д. 1). Рассмотрим только локальные методы решения систем нелинейных уравнений. Наиболее часто применяемые методы — это метод простой итерации [4 ], метод Ньютона [4] и метод Вольфа [8 ]. [c.369]

Как показали последние исследования (см., например, [436,437]), уравнения химической кинетики, отвечающие уже достаточно простым нелинейным механизмам реакций, могут иметь несколько стационарных решений. Среди них могут быть как устойчивые, так и неустойчивые. Последние также важно узнать при анализе кинетических уравнений. Условия возникновения критических эффектов, связанные с особенностями структуры схемы химических превращений, анализировались выше, а также в работах [225, 226]. Однако наряду с этими условиями важно уметь находить и сами решения, причем все. Стандартные численные методы решения систем нелинейных уравнений, основанные на различного рода интерационных процедурах, как правило, хорошо работают лишь в том случае, когда начальное приближение выбрано уже достаточно близко к корню системы. Дополнительные трудности возникают при поиске решений, характеристика устойчивости которых имеет тип седло . Большие возможности дают методы, основанные на движении по параметру [39,408,510]. Однако и они не гарантируют отыскание всех стационарных решений в заданной области, если соответствующая система уравнений при варьировании параметров допускает изолы . Многочисленные примеры таких ситуаций в моделях автоматического управления даны в [485]. Впервые на возможность существования изолов в уравнениях химической кинетики в неизотермических условиях указал Я. Б. Зельдович [213. [c.83]