Неявные функции

Из уравнения (IV,77) по правилу дифференцирования неявной функции получим [c.152]

Уравнение (П.2) справедливо и для неявных зависимостей поэтому расчет Sy требует определения производной неявной функции. Известно, что для неявной функции <р(у, х)=0 справедливо [c.69]

Последнее описывает / в виде неявной функции соответствующих параметров. Уравнение (6.21) может быть решено графически. Для расчета / используют графическую интерпретацию уравнения (6.21), представленную на рис. 14. [c.71]

Входящие в формулы (IX.70) —(IX.72) производные можно получить непосредственно из системы алгебраических уравнений материального баланса реактора (IX.62) с помощью правила дифференцирования неявных функций. Если обозначить через левую часть г-го уравнения системы (IX.62), выражение для частной производной любого у-го вещества на выходе из и-го реактора по времени контакта Sfi может быть записано в виде [c.386]

Дифференцируя (16.8) как неявную функцию, найдем, что йТ Т Пт [c.200]

Дифференцируя неявную функцию (7.259) по Xj, получим [c.359]

В общем случае уравнения функциональных связей представляют собой неявные функции многих переменных вида [c.41]

Система уравнений материальных или тепловых балансов для элемента, подсистемы или ХТС в целом представляет собой систему неявных функций т ф п) [c.43]

Переменные и параметры ХТС, входящие в математическую модель системы, называют информационными переменными. Функциональные соотношения математической модели ХТС, или информационные связи, представляют собой систему п независимых неявных функций т информационных переменных [c.59]

Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование неявных функций. Повторное дифференцирование. Теорема о равенстве смешанных производных. [c.149]

Каждая неявная функция Ft, входящая в вектор-функцию /, зависит от к-размерного вектора информационных переменных (ИП) г/ = (2 , 2,. . ., 2J, а именно [c.59]

Число информационных иеременных, характеризующих функционирование некоторого одного элемента или подсистемы, всегда меньше числа ИП, входящих в математическую модель ХТС, поэтому для неявной функции fi справедливо соотношение к < т. Вследствие того, что число основных физических и химических законов природы, определяющих процесс функционирования ХТС, меньше числа переменных и параметров системы, а число элементов сложных ХТС всегда меньше числа технологических связей, для любой системы справедливо соотношение п т. [c.60]

Выразить функциональные связи между переменными и параметрами ХТС в виде уравнений материальных и тепловых балансов (или уравнений балансов обобщенных потоков) и уравнений фз нк-циональных связей. Каждая функциональная взаимосвязь представляет собой в общем случае неявную функцию билинейных форм переменных (х , х ,. . ., х , г/ , у ,. . ., г/,) и параметров (а , 2,. . ., а р,,. . ., р,) ХТС [c.79]

Установить независимость неявных функций билинейных форм переменных и параметров ХТС [c.79]

Дифференцируя ф/ по правилу дифференцирования неявных функций с учетом (4.107), определим значение производной [c.350]

Из свойств 2°, 3° и теоремы о неявной функции следует, что уравнение и (0, х) =0 однозначно разрешимо относительно х при любом 0 и если X = /(0) — решение этого уравнения, то / (0) = [c.29]

Производная неявной функции [c.99]

Заметим, что уравнения (11,339), (11,340) определяют выходную переменную а,-, как неявную функцию входной переменной + Отсюда вычисление выходной переменной по известной входной требует проведения итерационной процедуры. Обратный же расчет (но известной переменной Xi найти переменную a , +i) не требует итерационной процедуры — это непосредственно видно иа соотношений (11,339), (11,340). [c.126]

Предположим, что в допустимой области изменения выполняются известные из математического анализа условия [123, с. 4551, которые позволяют считать переменные неявными функциями и Заменим блок к эквивалентной ему системой двух блоков — к- (рис. 42). [c.216]

Поскольку выполняется условие (IV, 148), предположим, что уравнение (IV,147) определяет управляющую переменную как неявную функцию остальных переменных х п и у) [c.134]

Действительный вид функции (IV, 149) не понадобится, а нужны будут только выражения для производных, которые можно найти по правилу дифференцирования неявных функций [c.134]

Рассмотрим случай СП-блока с математическим описанием в неявной форме (УП,5). По правилам дифференцирования неявных функций имеем откуда [см. формулу [c.144]

При фиксированном и соотношения (IV, 140) могут рассматриваться как система р нелинейных уравнений с р неизвестными компонентами вектора у. Будем исходить из предположения, что матрица Якоби системы (IV, 140) по переменным у не равна нулю. Отсюда равенства (IV, 140) определяют переменные у как неявные функции переменных и у = у (и). Будем теперь искать минимум / как сложной функции переменных и [c.157]

Таким образом, сформулированы условия равновесия для рассматриваемой системы на основе чисто статистического подхода. Совокупность функций распределения (1.78) с дополнительным условием (1.79) действительно является не зависящим от времени решением системы уравнений Больцмана, т.е. решением, обращающим в нуль все интегралы столкновений (и упругие, и неупругие). Принципиально новым является то, что входящие в функции распределения fj(p) величины л,- не являются более постоянными интегрирования [75], постоянными плотностями [119], абсолютными постоянными [163] и т.п.. а представляют собой сложные неявные функции температуры и сечений неупругих процессов. Условие [c.27]

Уравнения (175) удобнее всего использовать при неявном дифференцировании функций с одной независимой переменной, т. е. в том случае, когда неявную функцию х, у)=0 нельзя преобразовать в явную y=f x), так как при дифференцировании явной функции y = f(x) необходимо проделать значительно более сложные вычисления. Применив соотношение (175) к уравнению состояния (171), получим следующее выражение для температурной зависимости объема ((ди/дТ)р — термический коэффициент расширения) [c.212]

Производная dx /dv может быть найдена из выражения (IV, 53) как производная неявной функции [1], для чего следует продифференцировать это выражение по гЛ >. В результате получим уравнение [c.158]

Модель (И, 1) относительно выходных переменных записана в неявном виде, поскольку для ряда аппаратов (реактор идеального смешения, абсорбер и др.) выходные переменные действительно являются неявными функциями входных переменных. Выражение (И, 1) представляет собой систему из т уравнений с 2т неизвестными. Еслн задать любые т чисел или или часть переменных к ) и часть то, вообш,е говоря, система (И, 1) позволяет найти остальные т чисел. В дальнейшем, в отличие от физических входных и выходных переменных блока введем расчетные переменные входные (при расчете блока считаются известными) и выходные (получаются в результате расчета блока). Это связано с тем, что при расчете схемы направление расчета блока не всегда совпадает с направлением физических потоков, входящих и выходящих из блока. Иногда выбор того или иного направления расчета блока может существенно упростить его расчет [3, с. 24]. [c.26]

Из уравнения (IV, 77) по правилам дифференцирования неявных функций получим [c.162]

Уравнение (3.24) является неявной функцией Я. Численные оценки показывают, что падение давления за счет трения пренебрежимо малая величина ( на 5 порядков) по сравнению с остальными членами уравнения. Поэтому уравнение (3.24) можно переписать в виде [c.353]

Соотношение (VII,517) совместно с уравнениями (VI 1,502) определяет зависимость между оптимальными значениями ц и для соседних реакторов каскада. Чтобы найти эту зависимость, необходимо знать выражения для производных, входящих в oothohi -ние (VII,517). Указанные производные могут быть вычислены из уравнений (VI 1,502) по правилу дифференцирования неявных функций, согласно которому производная dyidxk от функции у, заданной в неявном виде [c.404]

Выделить из множества неизвестных, входящих в систему уравнений балансов, в соответствии с технологическими условиями и фпзико-химической сущностью технологических процессов подмножества независимых (свободных) и зависимых (базисных) переменных. Математически указанная операция выделения свободных и базисных переменных совпадает с операцией установления независимых неявных функций. Неизвестные, для которых функциональный определитель Якоби [Л порядка Гу отличен от нуля, образует один из возможных наборов базисных переменных. Однако этот набор прежде всего должен отражать заданные режимы и сущность процессов, а пе только обеспечивать возможность формального математического решения системы уравнений балансов. [c.79]

Для определения можно использовать прием линеаризации [92, с. 49]. Применяя правила дифференцирования сложных и неявных функций, легко получить формулы для определения производных функции (IV, 143) по переменным и [92, с. 49]. Для решения задачи (IV, 144), (IV, 145) используется метод сопряженных градиентов, модифицированный для учета ограничений (IV, 145) (МОПГ) он был предложен в 1968 г. и является обобщением метода приведенного градиента, разработанного Вольфом [93] для решения задачи (IV, 1), (IV, 3), (IV, 141) с линейными ограничениями (IV. 3), на случай нелинейных ограничений (IV, 3). Вместе с тем следует отметить, что при решении задач оптимизации в химической технологии этот подход введения зависимых и независимых переменных для исключения ограничений типа равенства фактически использовался уже в начале 60-х годов. Причем в качестве зависимых переменных обычно выбирались переменные состояния, в качестве независимых — управления [94], а в качестве ограничений типа равенств выступали математические модели блоков и уравнения связи. На основе этого подхода был дан способ вычисления градиента функции (IV, 143) для ряда типовых схем [95, 96]. Имеется также более удобный способ вычисления производных функций (IV, 143) для общего случая [97]. В чистом виде МОПГ эквивалентен задаче 2 оптимизации ХТС [см. соотношение (1.71), (1.72)]. либо задаче 1 [см. соотношения (1, 64)—(I, 66)], когда ограничения (I. 10) отсутствуют, [c.157]

Уравнение теплопередачи можно преобразовать к разностной форме, используя неявную функцию [26], и решить его методом Кранка—Никольсона или методом О Брайена [27] (см. разд. 9.4). Размер ячеек используемой сетки может логарифмически уменьшаться с увеличением г, поэтому можно подробно проследить за быстро изменяющимися температурой и скоростью. [c.529]

Пример П1-2. В этом примере составляется MIDAS-программа решения совместных алгебраических уравнений. Для их решения используется подпрограмма неявной функции, которая, по существу, заставляет машину производить итерации до тех пор, пока относительная ошибка между двумя последовательными итерациями не станет меньше заранее выбранной величины, обычно принимаемой равной 5 10 -Вообще говоря, вычислительная машина может производить расчет любой величины, если все входы заданы или применена специальная итерационная подпрограмма. Машина не может решать системы совместных алгебраических уравнений без этой подпрограммы и подбор других стандартных подпрограмм в этом не поможет. В качестве примера рассмотрим следующие уравнения [c.54]

Но несмотря на линеаризацию, уравнение (3.138) все же будет нелинейным из-за влияния кулонова трения И о, которое является неявной функцией скорости Ау. Уравнение такого вида обычно применимо к гидравлическим приводам с одним, двумя или четырьмя регулирующими зазорами при этом в уравнение можно подставлять только постоянные Ло, Сл и Со. Величина Со представляет собой полную жесткость слоя масла до поршня и за ним Сл — гидравлическая жесткость для сервомеханизма с обратной связью, так как когда дЪ11дх = —с , то Ах = Ау — Ау, а отсюда д ,2/дАу = Сл. [c.94]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология