Нормальные решения уравнения Больцмана

Для уяснения положения дел укажем на следующее обстоятельство. В уравнении Больцмана носителем информации является функция распределения, а основной временной масштаб связан со средним временем свободного пробега (10 с в нормальных условиях). С другой стороны, в гидродинамике временной масштаб определяется временем распространения звуковой волны на макроскопически конечное расстояние (обычно 10 3 с), а вся существенная информация определяется небольшим числом макроскопических параметров плотностью, гидродинамической скоростью и температурой. Иными словами, переходу от кинетической теории к гидродинамике соответствует сокращение формального описания. Такая ситуация напоминает ситуацию, рассмотренную в гл. 3. Там сначала проводилось динамическое описание задачи N тел с помощью ТУ-частичной функции распределения, удовлетворяющей уравнению Лиувилля, которое затем сводилось к описанию с помощью сокращенного числа переменных путем перехода к одночастичной функции распределения, удовлетворяющей (обобщенному) уравнению Больцмана. Удовлетворительное решение проблемы рассматриваемого здесь сокращения описания было впервые получено Гильбертом в 1912 г. в работе [100], посвященной существованию и единственности решения уравнения Больцмана. Рассматривая ограниченный соответствующим образом класс функций, в котором ищется решение уравнения Больцмана, Гильберт доказал наличие для любого момента времени взаимооднозначного соответствия между решением для функции распределения / и первыми пятью моментами этой функции плотностью, тремя компонентами гидродинамической скорости и температурой. Необходимо отметить, что тем самым устанавливается связь единственности любого решения уравнения Больцмана с решением уравнений гидродинамики. Теория Гильберта будет рассмотрена в 5.1. [c.117]

Решение Энскога уравнения Ешгырана для модели упругих гладких шаров не зависит явно от времени зависимость от времени входит неявно через плотность, среднвзю скорость молекул и температуру, т.е. решение оказывается так называемым нормальным решением уравнения Больцмана. Т.к. в газах уже при атмосферном давлении время свободного пробега молекул имеет величину порядка 10 сек, то интерес представляет именно нормальные решения, [c.187]

В предыдущем параграфе мы доказали, что в классе нормальных решений уравнения Больцмана функция распределения однозначно определяется значениями своих первых пяти моментов, заданных в начальный момент времени t=tQ, (Это обстоятельство иногда называют па-радоксом Гильберта,) Следовательно, плотность, гидродинамическая скорость и температура в произвольный момент времени t определяются непосредственно их значениями в начальный момент Более того, так как взаимооднозначное соответствие между функцией распределения по скоростям и ее первыми пятью моментами сохраняется во времени, моменты выспшх порядков, в частности тензор напряжения и вектор теплового потока, могут быть выражены в любой момент времени непосредственно через плотность, гидродинамическую скорость и температуру. Следовательно, подстановка подобных выражений в общие уравнения сохранения, выведенные в 4.1, превращает их в замкнутую систему уравнений. [c.124]

В настоящем и предьщущем параграфах мы привели описание двух различных методов получения нормальных решений уравнения Больцмана. Формально они эквивалентны, однако при рассмотрении этого вопроса необходимо отметить несколько тонкостей, что мы сейчас и сделаем. В методе Гильберта последующие коэффициенты степенного разложения функции распределения/вычисляются с помощью алгоритма, включающего в себя решения некоторого интегрального уравнения (5.1.4) и системы дифференциальных уравнений (5.1.27). При этом, чтобы получить однозначное формальное решение, требуется задать начальные значения моментов функции /. В методе Чепмена—Энскога коэффициенты выражают через 8 (т. е. через макроскопические наблюдаемые n,v и Т), после чего с помощью вычисляют тензор напряжения и вектор теплового потока также через и пространственные градиенты от , что приводит к последовательности гидродинамических уравнений для /9 в нарастающем порядке приближения, содержащих параметр разложения е. Следовательно, различие между этими двумя методами решения состоит в том, что Гильберт разлагает в степенной ряд решение /, в то время как Чепмен и Энског разлагают не только решение, но и уравнения (см. работу Грэда [83]). Если гидродинамические уравнения метода Чепмена— Энскога решать в форме разложения по степеням е, мы придем к результату Гильберта. Однако при правильном использовании этих уравнений высшего порядка обычно прибегают к более ухищренным приемам, чем просто к поиску решения в виде степенного ряда по е. [c.130]

Однако следует отметить, что на данном этапе нет никакой гарантии, что разложение (5.1.2) сходится, и поэтому совсем не очевидно существование решений такого типа вообще. Единственно в чем мы уверены — это в том, что если решения существуют, то они однозначно определяются начальньп значениями своих первых пяти моментов относительно скоростей. Вопрос о сходамости разложений фактически остается открытым. Следуя Трэду [83], мы будем называть рассмотренный в данном параграфе класс решений уравнений Больцмана классом Гильберта, или классом нормальных решений. [c.123]

Нормальные решения Чепмена—Энскога для уравнения Больцмана основаны на предположении, что функция распределения зависит от времени через значения пяти моментов (плотности, скорости и температуры) лишь для того же момента времени. Последнее обстоятельство приводит к тому, что уравнения гидродинамики, полученные этим методом, содержат липп> первые производные по времени. Возможны обобщения метода в двух направлениях путем увеличения числа моментов, описывающих состояние газа и построения уравнений для высших моментов, например 13-моментных уравнений Грэда [82, 10, 11], или другим путем без увеличения числа моментов построением таких решений уравнения Больцмана, которые зависят от времени в виде запаздывающих функционалов по времени [246, 247 ], что означает учет эффектов памяти. Это приводит к появлению высших производных по времени в уравнениях гидродинамики. И тот, и другой подходы означают переход к более детальному описанию состояния газа. — Прим. ред. [c.167]

Поскольку большая часть задач о потоках газа при нормальных температурах и давлениях адекватно описывается уравнениями гидродинамики, важно понять связь между уравнением Больцмана и, скажем, уравнениями Эйлера или Навье—Стокса. Здесь следует упомянуть исследования Грэда, который в серии статей доказал, что уравнения гидродинамики эквивалентны асимптотической форме уравнения Больцмана. И в этом случае фундаментальную роль играет существование различных временных масштабов в гидродинамическом описании используется гораздо более грубый временной масштаб, чем в кинетической теории. В этой области еще многое предстоит сделать в частности, требуется тщательно изучить тесно связанные между собой вопросы о существовании и единственности решений начальных и граничных задач кинетической теории. [c.20]

Подобная интегральная форма уравнения Больцмана применялась М. Н. Коганом [248, 122] и С. В. Валландером [249 ] в теории разреженных газов. Другая интегральная форма уравнения Больцмана, в которой с помощью граничного условия отобраны лишь нормальные решения запаздывающего типа, применялась в работах [246, 247 ] для построения уравнений переноса с памятью. — Прим. ред. [c.160]