Уравнение Больцмана решение

Процесс диффузии может быть описан на основе решения кинетического уравнения Больцмана методом Чепмена — Энскога в предположении малости отклонения состояния смеси от локального равновесного. В этом приближении справедливо следующее уравнение для диффузионного потока молекул гексафторида урана во вспомогательном газе [c.236]

Интеграл столкновений в уравнении Больцмана имеет сложную нелинейную структуру. Поэтому для решения этого уравнения используют два подхода линеаризованное и модельное уравнение Больцмана. [c.44]

Метод Монте-Карло получил широкое применение для решения разнообразных задач кинетической теории газов. Одним из перспективных подходов к решению уравнения Больцмана лля многокомпонентного химически реагирующего газа является метод нестационарного статистического моделирования. Этот подход основан на результатах Каца [296] о существовании статистических моделей, асимптотически эквивалентных уравнению Больцмана. Суть методики состоит в построении случайного процесса, моделирующего решение кинетического уравнения. Вместо непосредственного решения уравнения Больцмана построенный случайный процесс многократно моделируется на ЭВМ, и по полученной статистике определяется искомая функция распределения. В работа) [70, 71] с помощью метода нестационарного статистического моделирования рассматривались процессы максвеллизации смеси газов, электронное возбуждение атомов, установление ионизационно-рекомбинационного равновесия. Метод предъявляет не слишком высокие требования к памяти и быстродействию ЭВМ, однако с его помощью, по-видимому, невозможно описывать кинетические процессы с существенно различными характерными временами и системы с большим числом уровней. В монографии Г. Берда [18], посвященной моделированию кинетических процессов методом Монте-Карло, приведен ряд полезных программ для ЭВМ. [c.204]

Решением уравнения (III, 33) является уравнение Больцмана [c.107]

Более точную оценку распределения нейтронов можно получить иод-гонкой функции Максвелла — Больцмана к результатам детальных расчетов, подобных методу Монте-Карло, ил 1 решением уравнения Больцмана. [c.96]

Таким образом, сформулированы условия равновесия для рассматриваемой системы на основе чисто статистического подхода. Совокупность функций распределения (1.78) с дополнительным условием (1.79) действительно является не зависящим от времени решением системы уравнений Больцмана, т.е. решением, обращающим в нуль все интегралы столкновений (и упругие, и неупругие). Принципиально новым является то, что входящие в функции распределения fj(p) величины л,- не являются более постоянными интегрирования [75], постоянными плотностями [119], абсолютными постоянными [163] и т.п.. а представляют собой сложные неявные функции температуры и сечений неупругих процессов. Условие [c.27]

Как и в случае смеси нереагирующих газов, функции распределения, определяемые из условия минимума /У-функции, представляют собой решение системы уравнений Больцмана (1.57). В этом легко убедиться непосредственно подстановкой в (1.57) максвелловских функций (1.69) с коэффициентами л,, удовлетворяющими соотношению (1.83). Физический смысл полученного решения становится нагляднее при рассмотрении кинетических уравнений, описывающих увеличение или уменьшение числа частиц определенного типа. Для определения изменения концентрации /-Й компоненты (например, компоненты а ) необходимо проинтегрировать по импульсам р, соответствующее уравнение Больцмана из системы (1.57) [c.29]

Решение уравнения Больцмана, которое является нелинейным интегро-дифференциальным уравнением, до настоящего времени осуществлено только в некоторых частных случаях. Однако, если отклонение от равновесия невелико,то, предположив [c.42]

Установлено, что использование приближений более высокого порядка не является плодотворным. В тех случаях, когда уравнения Навье — Стокса оказываются несправедливыми, наиболее удовлетворительной процедурой является решение уравнения Больцмана методами, не опирающимися на допущение о квазиравновесном течении. [c.553]

Первое свойство состоит в том, что этот частный вид можно использовать для доказательства приближения к равновесию в разреженном газе, описываемом кинетическим уравнением Больцмана. Уравнение Больцмана нелинейно, и для доказательства того, что его решения стремятся к равновесным, нужна иная техника. Эта техника основана на выборе Н в виде (5.5.6) другие выпуклые функции в этом случае использовать нельзя . Между прочим, фав-нение Больцмана не является основным кинетическим уравнением для плотности вероятности, а является уравнением эволюции для функции распределения частицы в одночастичном шестимерном фа.зовом пространстве ( и-пространстве ). Однако линеаризованное уравнение Больцмана имеет ту же структуру, что и основное кинетическое уравнение (ср. с. П.5). [c.118]

Теперь мы приближенно решим уравнение Крамерса (8.7.4) для больших Y с помощью систематического разложения по степеням Непосредственное применение теории возмущений в этом случае невозможно, потому что производная по времени оказывается в числе малых членов. Это обстоятельство приводит нашу задачу к проблеме сингулярной теории возмущений, но в этом случае можно получить решение способом, предложенным Гильбертом, а также Чепменом и Энскогом для уравнения Больцмана . [c.217]

Это уравнение определяет (в приближении линейного шума) флуктуации относительно решения уравнения Больцмана <и(г, р)>. [c.328]

Дальнейшее решение задачи можно вести различными методами. Простейший состоит в использовании линеаризованного уравнения Больцмана, что может быть сделано при низкой энергии адсорбции и кТ. В этом случае для распределения концентрации по толщине прослойки получим [c.121]

Значительно больший интерес представляет случай энергий адсорбции, соизмеримых с кГ. При этом должно использоваться не-линеаризованное уравнение (У.16). Решение в аналитическом виде удается получить только приближенное при условии А. б [20]. Перепишем для этого уравнение (У.9), подставив в него выражение для концентрации из уравнения Больцмана [c.123]

Уравнение Клаузинга может быть получено из кинетического уравнения Больцмана [3.53]. Значения Q l/a) были точно определены решением уравнения (3.32) вариационным методом [3.62, 3.63], а недавно также методом оценок сверху и снизу, сводящихся к решению уравнения [3.64]. Оба эти метода приводят к согласию с экспериментальными данными [3.23, 3.30, 3.64—3.67]. В случае коротких капилляров круглого сечения 3к = 0,71, 0,58 и 0,25 для //а=10, 5 и 2 соответственно. Множитель 3к вычислен также для случая коротких параллельных пластин [3.68] и хаотической сети каналов [3.69]. [c.63]

Решение кинетического уравнения Больцмана, полученное Бретоном, приводит к более детальному расс.мотрению разделения при диффузии через слой шариков, учитывающему структуру пористой среды [3.37, 3.85]. [c.81]

Совместное решение уравнений Больцмана и Пуассона позволяет получить зависимость потенциала от расстояния до поверхности. Для сравнительно мало заряженной поверхности, т. е. для низких потенциалов, получается следующее выражение для потенциала на данном расстоянии х от поверхности [c.73]

РАВНОВЕСНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 29 [c.29]

В работе [11] предложен новый метод решения уравнения Больцмана. [c.197]

Упомянутые модели представляют собой приближения различной сте-нени точности к фундаментальному уравнению Больцмана. Выбор модели для решения каждой конкретной задачи определяется требуемой точностью и природой рассматриваемого явления. [c.23]

В общем случае это означает, что если какой-либо набор функции не удовлетворяющих условиям (1.66), (1.67), и являетЪя решением системы уравнений Больцмана, то из dH/dt < О следует, что хотя бы некоторые из функций явно зависят от времени, т.е. такое решение является нестационарным. Стационарным решениям соответствует только dH/dt = О, и, следовательно, получаемое из условия минимума /У-функции решение является единственным, однозначно определенным и стационарным решением системы уравнения Больцмана. [c.27]

Помимо разработки методов решения кинетического уравнения Больцмана и приложения теории, базирующейся на таком уравнении (а для плазмы и на максвелловских уравнениях электромагнитного ноля), к широкому кругу весьма различных задач поведения неравновесных газов, перед кинетической теорией стояла другая общая проблема, которая может быть названа проблемой обоснования кинетической теории. Эта проблема фагстически возникла сразу же после того, как Больцман предложил свое кинетическое уравнение. Дело в том, что хотя с помощью кинетического уравнения Больцмана оказывалось возмолсным дать определенное истолкование второго начала термодинамики и перепости вопрос о причине необратимости неравновесных явлений теплоты на атомно-мЬлекулярный уровень, вслед за этил сразу встал вопрос о том, почему динамические (механические) вполне [c.17]

Обычное уравнение Больцмана описывает эволюцию функции распределения в фазовом пространстве одной частицы. Уравнение содержит два члена потоковый, описывающий движение молекул по траекториям в фазовом пространстве и представленный дифференциальным оператором, и столкновительный, описывающий изменения скорости, обусловленные столкновениями последний представлен интегральным оператором. Уравнение Больцмана, следовательно, интегродифференциапьное уравнение, причем столкновительный член является нелинейным. В этой нелинейности главное препятствие при построении методов его решения, тем более что интеграл столкновений тесно связан с законом межмолекулярного взаимодействия, относительно которого имеется весьма неполная и зачастую противоречивая информация. [c.43]

Можно предположить, что в постоянном ноле система находится в тепловом равновесии, и тогда нахождение функции распределения сводится к решению уразнений Блоха. В случае зависимости напряженности поля от времени для вычисления функции распределения необходимо введение соответствующих уравнений Больцмана. Рассмотренные процессы являются основой методов, используемых в химии для получения информации о строении и реакционной способности веществ методы статической магнитной восприимчивости, электронного парамагнитного резонанса. кдерного магнитного резонанса и др. [c.707]

Уравнения сохранения массы, количества движения и энергии для однокомпонентной сплошной среды хорошо известны и выводятся в обычных учебниках по гидромеханике. Что касается уравнений сохранения для реагирующих многокомпонентных газовых смесей, то их, как правило, получают в виде уравнений для сумматорных инвариантов, появляющихся при решении уравнения Больцмана (см. Дополнение Г, а также работы и [ ]). Одним из исключений из этого правила является исследование Кармана [ ], результаты которого приводятся в работе [ ], а в более поздней работе [ ] эти результаты обобщены таким образом, что эквивалентность выводов кинетической теории и механики континуума становится очевидной. Настоящее дополнение, по существу, посвящено изложению содержания работы [ ]. [c.521]

Это уравнение Больцмана (12.5.3), линеаризованное вблизи макроскопического решения ф. Отсюда видно, что среднее <Ла> = Афд4- [c.326]

Если система находится в статистич. равновесии, интефал столкновений 81ф равен нулю и решением кинетич. ур-ния Больцмана будет распределение Максвелла. Для неравновесных состояний решения кннетич. уравнения Больцмана обычно ищут в виде разложения в ряд ф-ции ф1(в, г, т) по малым параметрам относительно ф-ции распределения Максвелла ф . В простейшем (релаксационном) приближении интеграл столкновений аппроксимируется как 81ф = = -(ф1 — Ф )/ С. где X -среднее время релаксации. Зная решение ур-ния Больцмана, можно определить плотность числа частиц газа в точке г в момент времени т п = [c.419]

Проницаемость фильтров типа спрессованных порошков оказывается меньше, чем проницаемость пучка длинных капилляров круглого сечения, при одинаковых значениях пористости и гидравлического радиуса. В первом случае траектории молекул в среднем будут длиннее, чем во втором, в полтора или два раза в зависимости от коэффициента извилистости [3.29, 3.30, 3.70] кроме того, частота столкновений молекул со стенками в первом случае будет значительно выше, и, как было отмечено раньше для капилляров, это также приводит к уменьшению вероятности проникновения молекул [3.66]. Из экспериментальных данных для фильтров в виде слоя шариков [3.30] получены значения 3к = 0,35 0,50. Модель извилистых капилляров, предложенная Хиби и Па-лем [3.32], также дает Рк==0,35. Теоретическая модель в виде слоя шариков приводит большей частью к более высоким значениям 3к модель броуновского движения Дерягина [3.34], решения уравнения Больцмана [3.39, 3.71—3.73] дают (3к=9/13, а решения уравнения Клаузинга (3.32)—еще большие значения [3.62, 3.74]. Бретон, решив обобщенное уравнение Клаузинга для v(x, 0), где 6 — угол между нормалью к поверхности шара и направлением потока газа, показал, что эти высокие значения для [c.64]

Как было сказано выше, с=1,20 в теории Крамерса [3.91] и с = 4/3 в теории Презента [3.36] и в других кинетических теориях [3.92—3.94]. С помощью решения кинетического уравнения Больцмана методом БГК (Бхатнагара — Гросса — Крука) [3.95] MOJKHO получить значение с= 1,147 [3.96]. Его следует сравнить с. экспериментальными данными, полученными в работах [3.30, 3.45, 3.66, 3.97] из опытов Лунда и Бермана [3.66] с=1,26. В соответствии с (3.41) толщина пограничного слоя в потоке со скольжением равна по порядку величины средней длине свобод-ного пробега в неограниченном пространстве X (кнудсеповский слой). [c.67]

Формула (3.5.5) получена, исходя из обших законов электростатики, и не связана с какими-либо конкретными представлениями о строении ДЭС и о пространственном распределении заряда. Она также справедлива и в отношении любой неполной части внешнего слоя заряд любой его части, простирающейся от некоторого расстояния X до бесконечности, равен с обратным знаком произведению напряженности поля Е х) на расстоянии X и абсолютной диэлектрической проницаемости ЕЕо- В противоположность этому формула (3.5.5а) не является универсальной — она описывает только те случаи, которые соответствуют частному условию (3.5.3) элекгронейтральности ДЭС. Более общее условие будет сформулировано позднее, а пока следует выяснить все возможные детали строения двойного слоя в рамках этого простейшего условия. Для этого необходимо решить уравнение Пуассона. Поскольку оно содержит две неизвестные функции — пространственное распределение заряда и потенциала, то для решения задачи требуется еще одно уравнение для тех же функций. Таковым является уравнение Больцмана. [c.596]

Основная задача заключается в определении величин п, которые должны быть иропорциональны градиенту температуры. В этом случае можно получить выражения для коэффициента теплопроводности. Для решения этой задачи используется кинетическое уравнение Больцмана. [c.141]

Отметим, что это выражение получается также в результате гтриближенного решения уравнения Больцмана из кинетической теории газов. [c.54]

При разложении решения кинетического уравнения в ряд нулевое приближение является основным для всего разложения, вид которого определяется физическими предпосылками. Поэтому для описания течення смеси вблизи каталитической поверхности необходимо построить новое асимптотическое разложение решения уравнения Больцмана. [c.197]