Чепмена—Энскога метод

Процесс диффузии может быть описан на основе решения кинетического уравнения Больцмана методом Чепмена — Энскога в предположении малости отклонения состояния смеси от локального равновесного. В этом приближении справедливо следующее уравнение для диффузионного потока молекул гексафторида урана во вспомогательном газе [c.236]

Кроме того, в методе Чепмена-Энскога нет критерия, позволяющего определить, насколько с его помощью можно отойти от равновесного состояния. Поэтому при решении каждой конкретной задачи необходим эксперимент, определяющий совпадение расчета с опытными данными, т.е. применимость теории. Это слабость метода. Неприменимыми в ряде случаев оказываются и методы линеаризации, поскольку взаимодействие частиц одного и того же "сорта" — эффект нелинейный. [c.44]

Если ЧИСЛО неупругих соударений, сопровождающихся реакцией, невелико по сравнению с общим числом соударений, то все эти коэффициенты могут быть вычислены обычными приемами современной кинетической теории газов, методом Чепмена — Энскога Л. 6-20]. В коэффициенте к учитываются поправки на теплопроводность внутренних степеней свободы, т. е. поправки того типа, которые вводились Эйкеном [Л. 6-20]. [c.282]

Решение модифицированного уравнения Энскога методом Струминского. Рассмотрим решение уравнения (2.9) методом Струминского [7]. Полученное решение будет существенно отличаться от решения этого уравнения методом Чепмена—Энскога, поскольку для описания процессов в газах вводится большее число средних параметров, чем в классическом случае. В данном методе предполагается, что процессы перемешивания в смеси газов еще не завершены и поэтому интегралы соударений имеют разный порядок [7] 1 [c.179]

Согласно методу Чепмена—Энскога, решение уравнения (1.1.32) ищется в виде функции [c.24]

Метод локального потенциала особенно интересен для разреженных газов и плазмы, где нельзя сделать предположения о локальном равновесии. Но даже в обычных задачах газокинетической теории этот метод можно использовать для вычисления высших приближений Чепмена — Энскога. Конечно, в этом случае пробные функции нужно выбирать, исходя из локальных равновесных распределений Максвелла. Читателя, интересующегося приложениями, отсылаем к оригинальным статьям, посвященным этому вопросу [27, 125]. [c.148]

Рис. 5.2. Метод Чепмена Энскога интегрирования уравнения Больцмана.

В кинетической теории газов подобная задача перехода от детального кинетического описания (на уровне функций распределения) явлений переноса в газах к гидродинамическому описанию решается с помощью метода Чепмена — Энскога. Настоящий раздел посвящен изложению модификации этого метода применительно к задаче решения кинетического уравнения, описывающего изменение функции распределения твердых частиц псевдоожиженного слоя по координатам и скоростям. Попытка обоснования применимости метода Чепмена — Энскога для решения кинетического уравнения, описывающего поведение совокупности твердых частиц в псевдоожиженном слое, сделана в работе [48]. [c.54]

К сожалению, ценность такой теории существенно ограничена следующими обстоятельствами. Вследствие целого ряда причин решение уравнения (2.20), не говоря уже о более сложных, сопряжено с громадными трудностями. Чаще всего оно ведется методами Чепмена-Энскога (см. [5, 193]) или Грэда (см. [193]), разработанными для уравнения (2.20). Первый из них применим в некоторой "малой" окрестности равновесного распределения (как мы видели, химическая реакция может сильно нарушать его), второй обладает возможно большей общностью, но ни тот, ни [c.43]

Перейдем к рассмотрению основных предположений, которые будут использованы при построении решения кинетического уравнения для псевдоожиженного слоя. Эти предположения определяют класс функций, в котором иш,ется решение уравнения для функции распределения. Одним из таких предположений, в соответствии г методом Чепмена Энскога, является то, что решение кинетического уравнения можно искать в виде разложения в ряд по степеням некоторого малого параметра а. Предварительно введем этот малый параметр в кинетическое уравнение. [c.54]

Идея метода Чепмена—Энскога заключается в следующем функция распределения разделяется на две аддитивные части первая — максвелловская у, г), дающая значения локальной концентрации, скорости и плотности энергии в газе вторая используется для определения потоков тепла и импульса. Указанные части функции распределения связаны друг с другом линеаризованным оператором соударения таким образам, что определение теплопроводности и трения сводится к решению линейного неоднородного интегрального уравнения втарого рода. [c.43]

В соответствий с методом Чепмена — Энскога будем искать решение кинетического уравнения в виде разложения в ряд по степеням малого параметра а [c.55]

Разложение (2.8) для (г Г ) отличается от используемого, например Торном [1], наличием члена кц, который, как будет показано далее, обеспечивает совпадение результатов кинетической теории и необратимой термодинамики. Следовательно, решение уравнения (2.9) методом Чепмена — Энскога будет отличаться от рассматриваемого в [Ц только видом вектора диффузионной силы d,-, который в нашем случае имеет вид [c.178]

Прежде чем переходить к обсуждению замыкающих соотношений для Ь, построим решение (3) по методу Чепмена—Энскога для плотных газов. [c.74]

Процедура решения (5) по методу Чепмена—Энскога требует выбора нулевого приближения в виде равновесной максвелловской функции распределения [c.75]

В соответствии с методом Чепмена—Энскога для плотных газов [8] будем искать решение (5) в виде [c.75]

Цепочка неравенств (57) позволяет использовать результаты, полученные в работе [18], а именно применить для решения исходного кинетического уравнения метод Чепмена—Энскога. [c.91]

В соответствии с методом Чепмена—Энскога для плотных [c.91]

Метод Чепмена— Энскога содержит два сильных предположения. Первое из них, о котором мы уже говорили, состоит в том, что гидродинамические переменные п, и, Т все являются величинами порядка единицы. Второе предположение, с которым мы вскоре столкнемся, заключается в том, что зависит от времени только через /г, и и Г. [c.274]

Таким образом, данный формализм позволил нам получить выражения для коэффициентов теплопроводности, и вязкости. Метод Чепмена — Энскога схематически представлен на рис. 5.2. При всех условиях мы не должны забывать, какой важный вклад в теорию дает уравнение (5.62). Оно представляет собой формальное разложение функции распределения до членов О г). Однако задача определения функций и остается нерешенной. Эти функции удовлетворяют линейным интегральным уравнениям (5.58). Кроме того, линейный оператор можно преобразовать к виду [c.284]

Метод Чепмена—Энскога позволяет определить соотношения для коэффициентов переноса в виде разложения в ряд по полиномам Сонина. Для коэффициентов диффузии, вязкости н теплопроводности эти ряды сходятся быстро, в случае коэффициента термодиффузии сходимость менее удовлетворительна и требуются более высокие аппроксимации. В работе Мэзона и Смита [265] приводятся более удовлетворительные аппроксимации для коэффициента термодиффузии. [c.292]

Итак, мы ознакомились со свойствами наиболее широко применяемых кинетических уравнений. В главе V дано решение уравнения Больцмана методом Чепмена — Энскога и методом Грэда. В заключение вновь исследуется проблема релаксации к равновесию макроскопических систем как в духе классической статистической механики, где мы опять сталкиваемся с ансамблями в Г-пространстве, так и методом эргодической гипотезы. Первый, априорный подход, опирается на постулат равных априорных вероятностей, тогда как при втором (апостериорном) подходе делаются попытки доказать эргодическую гипотезу. Оба метода исследуют необратимое приближение к равновесию макроскопических систем. Они представляют собой статистическо-механиче-ский эквивалент метода теории кинетических уравнений, в котором с помощью ( -теоремы изучается та же самая проблема. [c.257]

Теплопроводность плазмы. Выражение для парциальной теплопроводности /с-й компоненты замороженной плазмы (т. е. в отсутствие химической реакции ионизации) в тг-м приближении метода Чепмена—Энскога дает уравнение (1.1.44). При больших степенях ионизации основную роль в теплопроводности плазмы, равной [c.28]

Например, для теплопроводности аргона (рис. 22) имеются результаты работы [88] (1963 г.), рассчитанные в диапазоне температур 2-10 Г 3-10 ° К и давлений Ю Р 1 атм с учетом одно-, двух-, трехкратной термической ионизации по упрощенному методу Брокау [223], а также данные работы [90] (1967 г.), рассчитанные в диапазоне 5-10 Г 20-10 ° К при Р=-Л атм с учетом высших приближений теории Чепмена—Энскога. От 20-10 до 30-10 К нри 7 ==1 атм и в полном диапазоне температур при Р атм представляется разумным подправить- [c.51]

Для определения коэффициентов переноса часто применяется метод Чепмена—Энскога решения уравнения Больцмана (разложение функции распределения по малому параметру). Таким параметром в разреженном газе является отношение длины свободного пробега к характерной гидродинамической длине. Помимо этого имеется еще и временной критерий, а именно, требуется, чтобы время свободного пробега было мало по сравнению с характерным временем задачи. Последнее условие не выполняется, когда имеются быстро осциллирующие внешние поля. Мы наметим основные этапы применения этого метода на примере вычисления коэффициента [c.129]

Помимо работ, в которых существование внутренних степеней свободы учитывается модельным образом (ясно, что такие модели не могут описать, например, эффекты, связанные с наличием дискретных уровней), развивалась и формальная теория многоатомного газа (см., например, [69—73]). Она исходит из того факта, что каждый вид молекул в определенном квантовом состоянии можно трактовать как особый вид бесструктурных частиц. В большинстве из указанных работ кинетическая теория многоатомного газа (газ мо/кет быть, конечно, и одноатомным) строится на основе естественного обобщения метода Чепмена—Энскога. [c.139]

Идея метода Чепмена — Энскога заключается в следующем функцию распределения разделяют на две части первая — максвелловская [c.146]

Получена система кинетических уравнений для смеси плотных газов иа твердых сфер на основе метода усеченных функций, впервые предложенного Трэдом. Доказано, что получспизя система кинетических уравнений находится в соответствии с результатами термодинамики необратимых процессов (выполняется соотношение симметрии Онсагера). В рамках метода В. В. Струминского получена замкнутая система уравнений переноса в приближении Чепмена — Энскога и решена задача об установившемся движении плотной бинарной газовой смеси в канале. Библиогр. 8 назв. [c.246]

Для описания течений газа с малыми значениями числа Кнудсена (в так называемом режиме сплошной среды), когда макроскопические параметры газа мало меняются на длине свободного пробега и в интервалах времени порядка времени соударения молекул, в работах Гильберта, Чепмена, Энскога, Н. Н. Боголюбова, В. В. Струминского были предложены асимптотические методы решения кинетических уравнений [2 — 5]. В последние годы в работах [6 — 12, 17, 26] эти исследования были продолжены развиты соответствующие модифицированные асимптотические методы малого параметра, применимые к рассмотрению сильно неравновесных высокотемпературных течений газа за ударными волнами, в пограничных и энтропийных слоях и т. д. Эти методы позволяют определить единственный вид гидродинамических уравнений движения и соответствующих граничных условий, рассчитать необходимые параметры, содержащиеся в уравнениях и краевых условиях (такие, как диссипативные коэффициенты [c.108]

Своими основными успехами макрокинетпка каталитических процессов обязана исследованиям Дамкелера [5], Тиле [6], Зельдовича [7], Уилера [8] и других, которые в той или иной степени использовали решение уравпсшш Больцмана, полученное методом Чепмена — Энскога в основном для потребностей аэромеханики. [c.196]

Таким образом, метод [11] представляется более общим, чем метод Чепмена — Энскога, и предпочтительным при изучении движения газовых смесей вблизи каталитических поверхностей для ряда областей течений, нанример области максвелло — больц-манонекого течения. [c.198]

В 1949 году Грэд в своей докторской диссертации (1949) раз работал более общий метод решения уравнения Больцмана. Он известен сейчас как моментный метод Грэда. Причина такого названия вскоре станет ясна. Моментный метод отличается от метода Чепмена — Энскога, поскольку построенные решения не имеют функциональной формы (х, 1 р, и, Т). [c.294]

Все коэффициенты переноса в строгой теории Чепмена—Энскога выражаются через систему интегралов Допущения, принятые при их нахождении, накладывают определенные ограничения на теорию Чепмена— Энскога, которые в основном касаются свойств газов с высокой плотностью и весьма низкими температурами. Метод решения Чепмена—Энскога дает приближение в виде ряда. В условиях, когда градиенты скоростей и температур по средней длине свободного пробега молекул очень малы, справедливо первое приближение. В этом приближении потоки пропорциональны первой производной от плотности, скорости и температуры. Уравнения переноса, которые описывают изменение плотности, скорости и температуры по времени, называются уравнениями Навье—Стокса. Уравнения переноса, соответствующие второму приближению, это уравнения Барнетта. Уравнения Барнетта вводят в систему уравнений движения и теплового потока принципиально новые члены. В этом случае в какой-то степени уже учитывается изменение градиентов скоростей и температур на средней длине свободного пробега молекул. Решение уравнения Больцмана в третьем приближении обычно называется супербарнеттовским решением и вносит дополнительные поправки к уравнениям движения и потока тепла. [c.26]

Чепмена — Энскога и выводятся гидродинамические уравнения, вытекающие из приближений различного порядка. Получаются выражения для, коэффициентов вязкости и теплопроводности. Далее подробно рассматриваются свойства линеаризованного оператора Больцмана, а затем автор переходит к изложению метода моментов Грэда, дающего возможность получить одно из наиболее общих решений уравнения Больцмана путем использования разложений по полиномам Эрмита и вывести при определенных предположениях замкнутую систему гидродинамических уравнений. [c.7]

Кроме того и помимо возражений, выдвинутых Цермело и Лошмидтом, уравнение Больцмана благодаря работам Чепмена, Энскога и позднее Грэда явилось основой для последовательного получения коэффициентов переноса (см. классическую монографию Чепмена и Каулинга (1939)). Побочный продукт теории — разложение Чепмена —Энскога и моментный метод Грэда — позволит нам получить замкнутые системы гидродинамических уравнений (например, уравнений Эйлера, Навье — Стокса, Барнетта) и выделить области, где эти уравнения справедливы. Некоторые из этих методов будут подробно обсуждаться в гл. V. [c.173]

Электропроводность плазмы. Коэффициент при напряженности электрического поля Е в уравнении плотности электрического тока (I. 1. 41) определяет электропроводность плазмы. Числегг-ные расчеты показывают, что для вычисления при больших степенях ионизации достаточно ограничиться третьим приближением (п=3) в разложении функции распределения методом Чепмена—Энскога [66]. При малых степенях ионизации определяющ,ее влияние на сходимость выражения для оказывает вид зависимости эффективных сечений взаимодействия электрон—нейтрал от энергии электронов [67, 68]. Особенно неблагоприятным является рост эффективного сечения электрон—нейтрал с энергией электронов (например, в Аг, Ке, Кг вследствие эффекта Рам-зауера). Могут встретиться ситуации, когда устойчивое значение электропроводности не достигается даже в четвертом приближении [65]. Поэтому вопрос сходимости выражения для (I. 1. 44) приходится решать в каждом конкретном случае. Опыт расчета, однако, показывает, что в большинстве случаев (за исключением, быть может, инертных газов) третье приближение метода Чепмена—Энскога обеспечивает погрешность —5% в определении при малых степенях ионизации. Такая точность весьма удовлетворительна, так как она превосходит точность определения самих эффективных сечений электрон—нейтрал. [c.27]

Здесь Е, П—напряженности электрического и магнитного полей — совершенно антисимметрпчпый единичный псевдотензор 3-го ранга. В [43] проведен анализ систе мы (1.4.87) — (1.4.91) для полностью ионизованной плазмы использовался интеграл столкновений в форме Ландау. Исследованы случаи сильного и слабого магнитных полей, т. е. и 1 (и) — циклотронная частота электронов — время электрон-ионного столкновения). Выражеьшя для тт и довольно громоздки, поэтому мы не приводим их. Авторы отмечают, что полученное ими выражение для одного пз коэффициентов вязкости отличается численным коэффициентом от соответствующего результата, получаемого по методу Чепмена—Энскога с использованием двух полиномов Сонина. В случае частично ионизированной плазмы для учета столкновений электронов с нейтраладхи в [43] использовано приближение Лоренца [c.133]

Коэффициенты переноса плазмы вычислены (на основе методов Чеп-мана—Энскога или Грэда) в целом ряде работ. При этом использовалось не только первое приближение Чепмена—Энскога, но и высшие. Так, в [51, 52] показано, что для расчета теплопроводности и термодиффузии следует использовать но крайней мере третье приближение Чепмена, а для проводимости и вязкости — второе. Если вычислять теплопроводность и термодиффузию во втором приближении, ошибка составляет 57% в коэффициенте теплопроводности и 11% —в коэффициенте термодиффузии. Проведены расчеты для частично ионизованного аргона выяснено, что при любых степенях ионизации достаточно учесть третье приближение для теплопроводности и второе — для вязкости. Так же, как и в [44], в [51, 52] отмечается необходимость учета эффекта Рамзауэра. Аналогичные выводы получены и в [53], в которой использовался несколько иной подход. В [54] предлагается упрощенное теоретическое рассмотрение процессов переноса в рамках метода Чепмена—Энскога— Барнетта. Расчет, проведенный для частично ионизованного аргона, дал удовлетворительное согласие с результатами более точного метода. [c.136]

Поэтому, строго говоря, надо брать интегралы столкновений заряженных частиц друг с другом в форме Леннарда—Балеску, а не Ландау. Такой подход использовался в [57] применяя метод Чепмена—Энскога, автор получил формулы для коэффициентов переноса. При этом оказалось, что результаты обычной теории весьма точны (для типичных плазм поправки составляют около 5%), причем величины коэффициентов переноса, вычисленные с учетом коллективных эффектов, оказываются меньще, чем без учета. Это вполне естественно, поскольку различные шумы и колебания в плазме способствуют установлению равновесия. Влияние коллективных свойств плазмы на время выравнивания температур между тяжелой и легкой. компонентами оценено в [58], вклад далеких взаимодействий (т. е. волн) в этом случае оказывается лшлым, около 10—15%. Весьма существенно влияние волновых взаимодействий на скорость изотронизации анизотропной температуры электронного газа при T . Полученная величина скорости выравнивания про- [c.136]

В работе [74], которой мы будем следовать ниже, предлагается другой подход к теории переноса в многоатомном газе, который является по существу обобщением метода Грэда на многоатомные газы. Преимущество его состоит в том, что получаемые уравнения справедливы как при легком , так и при замедленном обмене энергией между трансляционными и внутренними степенями свободы, при условии, что отклонения соответствующих энергий от их равновесных значений невелики. Обобщение же метода Чепмена—Энскога возможно только в случае легкого обмена энергией. [c.139]

Из математической физики хорошо известно, что часто правильное ош сание газа дают уравнения гидродинамики. Уравнения Навье—Стокса, являющиеся дифференциальными уравнениями в частных произ-водцых, описывают изменение макроскопически наблюдаемых величин — плотности, гидродинамической скорости и температуры — в зависимости от координат и времени и с успехом применяются для изучения газовых потоков. Следовательно, необходимо потребовать, чтобы любое решение уравнений кинетической теории приводило к гидродинамическому описанию в тех случаях, когда есть основания полагать, что последнее справедливо. В соответствии с этим одна из наших задач состоит в выяснении того, при каких условиях уравнения гидродинамики можно рассматривать как аппроксимацию уравнения Больцмана таким образом мы установим область применимости уравнений гидродинамики. К счастью, метод Чепмена—Энскога дает нам не только решение уравнения Больцмана, но одновременно сводит конструктивным путем кинетическое описание к гидродинамическому. ПоэтомОГ исследование приближений, используемых при таком переходе, позволяет получить полное представление об условиях, при которых справедливо гидродинамическое описание газа. [c.16]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология