Уравнения краевые задачи свойства решений

Наряду с прямой задачей теплопроводности — отысканию температурного поля (2.1) путем решения уравнения (2.3) с известными краевыми условиями — возможна постановка и обратной задачи, где по заданному в пространстве и во времени распределению температур требуется определить соответствующие краевые условия (либо начальное распределение температур, либо граничные условия) или коэффициенты уравнения (физические свойства вещества). Подробно об обратных задачах теплопроводности см. [114]. [c.128]

Уравнения краевые задачи свойства решений [c.57]

Изложенный подход к описанию процессов в полидисперсной ФХС требует в дополнение к описанию детерминированного характера в форме краевых задач (3.12)—(3.18) или (3.19)—(3.21) наличия информации о стохастических свойствах системы в форме функций плотностей вероятностей (т, ) (а=1, 2) и р (I)- Эти функции могут быть получены либо экспериментально, либо в результате решения уравнения БСА (см. 1.5), отражаюш его стохастические стороны поведения ФХС. Для дисперсной фазы (а=2) это уравнение имеет вид [c.146]

Решения общих краевых задач для уравнения (XV,87) обладают свойством стабилизации ограниченное решение 1/ X, I) каждой такой задачи при tоо имеет предел, являющийся стационарным решением Физически это означает, что всякий нестационарный процесс [математическая модель которого описывается уравнением (XV,87) с соответствующими граничными условиями и учитывающая конкретный закон сохранения (ограниченность решения) устанавливается, т. е. для больших значений времени весьма близок к стационарному режиму. Скорость выхода на стационарный режим, как правило, экспоненциальна, что оправдывает метод вычисления стационарного решения с использованием нестационарной задачи. [c.514]

Тип системы уравнений определяет особенности постановки задачи, методы и свойства решения. В случае эллиптической задачи на решение в некоторой точке области оказывают влияние краевые условия, заданные на всей границе области. Прп решении гиперболической задачи возмущения сносятся только вниз по потоку. [c.176]

Схема циклов нагружения (рис. 4.6) может быть построена и на основе численного решения линейных и нелинейных краевых задач — методами конечных элементов, конечных разностей, интегральных уравнений. В этом случае по результатам численного анализа для заданного режима эксплуатационного нагружения получают непосредственно распределения и значения местных упругих или упругопластических напряжений или деформаций. По этим распределениям могут быть определены номинальные напряжения или деформации, которые в дальнейшем используют при оценках прочности и ресурса. Вместе с тем следует признать, что для многих режимов и вариантов геометрических форм элементов конструкций такие расчеты чрезвычайно трудоемки, а их точность определяется заданием исходных краевых условий — по усилиям, температурам, физико-механическим свойствам материалов. [c.136]

Переход в сороковых годах авиации на большие дозвуковые скорости полета привел к усиленным исследованиям обтекания крыла с учетом сжимаемости воздуха. Техническая задача состояла в разработке методов профилирования крыла с заданными аэродинамическими свойствами — подъемной силой, моментными характеристиками и т. д. (Эта задача, рассматриваемая в более широкой постановке, актуальна и по сей день как задача профилирования оптимального крыла, причем оптимизация проводится по большому числу технических параметров.) Отсутствие в то время быстродействующей вычислительной техники, а следовательно, и эффективных возможностей численного решения краевых задач для нелинейных уравнений газовой динамики, определило преимущественное развитие аналитических методов, развивающих, в основном, метод С. А. Чаплыгина. [c.141]

Установим ряд свойств М-области, вытекающих из факта существования решения краевой задачи, сформулированной в плоскости годографа, и из общих свойств отображения в эту плоскость. Описываемые свойства справедливы при некоторых дополнительных ограничениях и для плоских вихревых течений, описываемых точными уравнениями идеального газа (см. 10), однако использование модели безвихревого трансзвукового течения позволяет достичь максимальной простоты и лаконичности доказательств. [c.242]

Исходные уравнения. Установившиеся движения естественно рассматривать безотносительно к времени, только на пространстве течения Д (х). Оказывается, что при этом их уравнения приобретают особые свойства, которые необходимо учитывать при постановке и решении краевых задач. Описанию и анализу специфики уравнений установившихся течений и посвящено последующее изложение. При записи различных соотношений в декартовых координатах будут, как всегда, использоваться представления х = х, у, г) к и = [и, V, го). [c.90]

Решение линейных уравнений диффузии. В настояш ее время только с помош ью ЭВМ можно найти решение краевых задач для системы нелинейных уравнений (IV.2.1). Мы рассмотрим основные свойства аналитических решений, которые разработаны для линейных уравнений [c.89]

Граничные и начальные условия, которые в совокупности образуют условия единственности решения для рассматриваемой задачи, объединяют в понятие краевых условий, имея в виду края той пространственно-временной области, в пределах которой происходит исследуемый процесс. Поэтому задачи рассматриваемого типа принято называть краевыми. Таким образом, краевые задачи ставятся в следующей специфической форме по заданным условиям на границах пространственно-временной области определить с помощью основных дифференциальных уравнений условия во всем объеме этой области. Заметим еще, что для краевой задачи важное значение имеют величины, которыми характеризуются геометрические и физические свойства системы (размеры области и физические константы среды). Эти величины существенны для процесса, так как ими определяется [c.58]

Прежде всего следует учесть, что элементы, расположенные на границах системы, взаимодействуют с окружающей средой. Это взаимодействие никак не отражено в основных уравнениях задачи, поэтому необходимо дополнительно задать граничные условия. В основных уравнениях не отражена и предыстория процесса, поэтому аналогично предыдущему вводится понятие о начальных условиях. Граничные и начальные условия вместе составляют краевые условия (условия на пространственно-временных краях системы). Кроме того, для решения задачи существенны физические характеристики (свойства) системы, которые образуют совокупность ее постоянных параметров. Вводя в условие задачи фиксированные значения этих параметров, можно однозначно определить каждое конкретное единичное явление. [c.32]

Понятие о численном методе характеристик. Теория характеристик играет исключительно важную роль при формулировке краевых условий задач газовой динамики. Кроме того, свойства характеристик широко используются при численном решении уравнений. В дальнейшем при рассмотрении конкретных задач [c.31]

Т. И. Зеленяком предложен метод функционалов Ляпунова для доказательства стабилизации равномерно ограниченных в + (Q) решений краевых задач для квазилинейного параболического уравнения с одной пространственной переменной [51. Однако существование функционалов Ляпунова для систем параболических уравнений еще не обеспечивает, вообще говоря, свойство стабилизации нестационарных решений [19], и структура предельного множества решения может быть весьма сложной. В силу специфики задачи (7) —(9) и знания структуры множества п. т. д. р. (теорема 2) в рассматриваемом случае удается построить функционал Ляпунова явно и доказать стабилизацию решений. Отметим, что требование равномерной ограниченности решения в (Q) можно ослабить, заменив ограниченностью в (Q), Требование существования п. т. д. р. а можно также ослабить, заменив существованием положительной точки комплексного балансирования, как это сделано в работе [15] в случае ц,(и) = 1пм.. Однако нельзя полностью отказаться от требований, гарантирующих существование функционалов Ляпунова, так как известные уравнешш Лотка — Вольтерра и их модификации [4, 10] входят в класс уравнений (7) и обладают периодическими по t решениями. Поэтому для этих систем нет стабилизации решений. В качестве иллюстрации сказанного приведем модель из работ [4, 10, 20]. [c.111]

Аналитические (формульные) решения краевых задач механики полимеров и композитов, примеры которых были приведены в гл. 3, удается получить только при очень жестких предполо-н<епиях относительно свойств матерпала и геометрии конструкции эти решения, как правило, дают только качественное описание исследуемого явления пли процесса. Ужесточение требованпй к уменьшенпю материалоемкости конструкцип при сохранении ее прочностных и жесткостных характеристик приводит на этапе проектирования к необходимости привлекать численные методы и ЭВМ, позволяющие получить подробную численную ппфо1 ыа цию. В настояш ей главе будут затронуты три вопроса, относящиеся к группам численных методов и их реализации иа ЭВМ. Отметим, прен- де всего, что наиболее широко распространенные в настоящее время численные методы по их внутренней структуре, определяющей характер их реализации на ЭВМ, условно можно разделить на две группы. Методы первой группы (методы конечных элементов (МКЭ) и некоторые варианты метода конечных разностей (МКР)) характеризуются тем, что в процессе пх использования формируются матрицы систем уравнений, как правило, большой размерности с применением специальных способов упаковки и хранения, с последующим обращением. Методы второй группы — шаговые, с преобразованием массивов искомых параметров в определенной иоследовательности, без формирования матриц систем, а по существу, с вычислением заново элементов этих матриц на каждом шаге — переходе с одного временного слоя иа другой или от одной итерации к следующей. [c.157]

Поэтому концентрация q принимает постоянные значения на линиях тока. Однако этой информации оказывается недостаточно для определения q. Выписывая уравнение для следующего члена разложения и интегрируя его далее по замкнутым линиям тока (см. 7 гл. 3), можно вывести уравнение эллиптического типа для функции q. в общем трехмерном случае решение соответствующей краевой задачи для определения главного члена разложения концентрации q нельзя представить в явном аналитическом виде (при необходимости следует использовать численные методы). Тем не менее с учетом структуры разложения концентрации с и отмеченных выше свойств функции Со можно сделать очспь ганшый качественный вывод в тех случаях, когда частица (капля) окружена областью течения с замкнутыми линиями тока, среднее число Шервуда при Ре —> оо стремится к некоторому конечному постоянному значению, т. е. выполняется равенство [c.150]

В данной главе рассматривается уравнение для плотности вероятностей концентрации динамически пассивной примеси. Как ив 1.3, ддя обозначения этой концентрации используется буква г. Здесь подробно обсуждаются гипотезы, используемые для замыкания этого уравнения. Анализируются решения замкнутого уравнения в случае статистически однородного поля концентрации и в свободных турбулентных течениях. В главе преследуются три основные цели. Первая является чисто практической и заключается в том, чтобы дать простой приближенный метод определения распределения вероятностей концентрации и коэффициента перемежаемости в струях. Эта задача решается по возможности без сложных математических выкладок. Вторая цель - исследовать математические свойства уравнения для плотности вероятностей концентрации, сформулировать краевую задачу и показать, что из условия разрешимости этой краевой задачи вытекают дополнительные связи между заранее не известными функциями, входящими в замыкающие соотношения. Этот результат имеет принципиальное значение, так как из него следует, что развиваемый подход позволяет сократить количество произвольных функций по сравнению с обычными полуэмпирическими теориями для одноточечных моментов. Не исключено, что новые пути построения замкнутой теории турбулентности будут связаны с совершенствованием этого подхода. Третья цель -изучить структуру изоскалярных поверхностей в турбулентных потоках. Такое исследование позволяет, во-первых, предложить дополнительный способ получения граничных условий для плотности вероятностей концентрации и выявить их физический смысл и, во-вторых, проследить взаимосвязь между перемежаемостью и структурой изоскалярных поверхностей. [c.70]

Данный параграф посвящен более строгому (чем это было сделано в 3.5) математическому исследованию уравнения для плотности вероятностей концентрации в свободных турбулентных течениях. При анализе используется уточненная аппроксимация условно осредненной скорости (и>2 в области больших амплитуд пульсаций концентрации (3.18). Обсуждаются такие общие качественные свойства уравнения, как особые точки, существование автомодельного решения, постановка краевой задачи. Отмечаются имеющиеся аналогии со случаем статистически однородного поля концентрации, рассмотренного в 3.4. Важную роль в проведенном анализе играют существенно нелокальные свойства уравнения. Показано, что условие разрешимости краевой задачи позволяет найти две неизвестные функции, входящие в замыкающие соотношения. В данном, а также в следующем параграфе (в нем приведено численное решение сформулированной краевой задачи) преследуются две главные цели. Первая — дать обоснование приближенного метода исследования уравнения, описанного в 3.5. Вторая цель - показать на примере уравнения для плотности вероятностей концентрации, что с развитием направления, предложенного в книге, могут быть связаны вполне определенные перспективы построения замкнутой теории турбулентности. По крайней мере в настоящее время удается уменьшить количество произвольных функций по сравнению с полуэмпирическими теориями для одноточечных моментов. Заметим, что проведенное исследование сопряжено с большим количеством достаточно громоздких выкладок, а также с использованием ряда неформальных качественных соображений. Материал этого параграфа рассчитан в nepByiQ очередь на такого читателя, которого заинтересует весьма нестандартная математическая структура уравнений для плотностей вероятностей, полученных с помощью теории локально однородной и изотропной турбулентности Колмогорова -Обухова, и те возможности, которые предоставляют такие уравнения (или уравнения с похожими свойствами) в решении проблемы замьжания в теории турбулентности. Остальные читатели могут этот параграф пропустить и сразу перейти к 3.7, в котором приведено численное решение автомодельной задачи и в краткой форме перечислены основные результаты исследования уравнения. [c.104]

Введение. Работа посвящена построению и обоснованию эффективного численного метода решения ряда нелинейных одномерных щ>аевых задач теплопроводности и диффузии. Тлеются в виду краевые задачи для одномерных параболических уравнений в областях с подвижными границами, на которых заданы условия энергетического или материального баланса. Подобные задачи возникают, например, при математическом моделировании процесса теплопередачи в конденсированном веществе в условиях интенсивного нагрева, когда фронты различных фазовых превращений (плавление, испарение, резкое изменение электромагнитных свойств) перемещаются по неподвижноь1у веществу [1-3]. Аналогичная ситуация имеет место при изучении распределения концентраций в некоторых химических реакциях, процессы массопереноса в которых можно трактовать как задачи типа Стефана с исчезающе малой теплотой фазового перехода [4 ]. Наличие подвижных 11)аниц с неизвестным законом изменения во времени и нелинейных условий на заданных подвижных границах приводит к необходимости развития приближенных методов. Предлагаемые ва- [c.79]

Для теоретического исследования дуги постоянного тока, горящей в канале в продольном потоке газа, требуется решение краевой задачи, описываемой системой дифференциальных уравнений электромагнитной газодинамики с учетом нелинейно зависящих от температуры и давления электро- II теплофизнческих свойств движущейся плазмы. Основные трудности решения подобного рода системы заключаются во взаимном влиянии различных по физической природе процессов — тепловых, газодинамических и электродинамических, т. е. во взаимосвязи уравнений. Математически задача осложняется еще и тем, что даже при предположениях о линейных зависимостях свойств плазмы уравнения остаются существенно нелинейными. Особые трудности возникают, как отмечалось, при постановке граничных условий в начальном сечении ствола дуги. [c.121]

Волков Е, А, О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике,— Труды Мате.м. ин-та -нм. Отеклова, 77, 1905, с. 89—112. [c.344]

Проведенное рассмотрение показывает, что неравновесная термодинамика является мощным инструментом исследования транспортных свойств ионообменных мембран. Основным достоинством этой науки является то, что она позволяет обозреть все явления переноса через мембрану с единых теоретических позиций и стать, таким образом, фундаментом, отталкиваясь от которого, можно проводить более детальное изучение свойств мембраны и мембранных систем. Важным преимуществом является простой математический аппарат, приводящий к линейным уравнениям со сравнительно небольшим числом феноменологических коэффициентов. Не совсем четкий смысл этих коэффициентов, особенно перекрестных, вполне компенсируется параллельным рассмотрением фрикционной модели, приводящей к идентичным уравнениям переноса. Анализ концентрационных зависимостей коэффициентов проводимостиу, сопротивления / ,у и фрикционных коэффициентов А2,ухарактере взаимодействий компонентов мембраны. Что касается количественных оценок с помощью данной модели, то здесь в последние годы достигнут заметный прогресс. Благодаря усилиям многих исследователей, в первую очередь Мирса и Наребской с сотрудниками, решена задача идентификации уравнений переноса ТНП определен набор экспериментов и разработаны методы их обработки, позволяющие численно определять феноменологические коэффициенты переноса в зависимости от концентрации внешнего раствора. Использование этих данных для расчета потоков частиц через мембрану при современном развитии вычислительной техники представляется уже несложной задачей, особенно если воспользоваться концепцией виртуального раствора. Использование этой концепции позволяет заменить при решении дифференциальных уравнений переноса зависимость феноменологических коэффициентов от координаты на их зависимость от концентрации. Необходимо обратить внимание на то, что использование концепции виртуального раствора позволяет существенно упростить постановку и решение сопряженных краевых задач, учитывающих одновременно транспорт ионов в мембране и омывающем ее растворе. Традиционным в такого рода задачах является запись уравнений Нернста-Планка в мембране и окружающих ее диффузионных слоях и в использовании в качестве условий сопряжений на границах мемфана/раствор соотношений Доннана отдельно для скачка потенциала и для скачка концентрации. Применение же уравнений переноса типа (2.123) или (2.151) и выражения (2.129) для градиента потенциала подразумевает использование в качестве условий сопряжения условия непрерывности концентрации и потенциала. Условие непрерывности электрохимического потенциала, лежащее в основе соотношений Доннана, выполняется при этом автоматически. [c.130]

Укажем между прочим на то, что сравнение метода Ритца с нижеразбираемым приближенным методом выявило следующее интересное обстоятельство при решении краевых задач математической физики оказывается выгоднее (в смысле большей точности решения) брать как решения функции, удовлетворяющие точно граничным условиям и приближенно соответственным дифференциальным уравнениям задачи, чем наоборот. Следует еще отметить, что и нижеразбираемый приближенный метод имеет ряд дефектов, но, принимая во внимание сложность самой задачи и, по-видимому, отсутствие иного приближенного метода, лучше удовлетворяющего трем выставленным требованиям, приходится признать, что этот метод безусловно ценен и дает ряд интересных результатов. Этот метод основывается на ряде свойств преобразования с помощью инверсии. [c.35]

Как известно, такая задача обычно сводится к краевой, и ее постановка состоит из системы диффер(щциальных уравнений изменения свойств в данной среде, граничных и временных условий. При этом аналитические решения таких задач, как правило, содержат свойства только одно нз сред, а граничное услови< задается функцией, вид которой часто не соответствует действительному балансу в реальном процессе [ ]. Имеющиеся в литературе [ ] экспериментальные данные показывают недостаточность граничных условий третьего рода в нестационарном обмене моукду двумя средами. По этой причине нестационарные задачи необходимо формулировать как краевые сопряженные [ > которые, очевидно, наилучшим образом отвечают реальному процессу взаимодействия сред. [c.140]