Функции Бесселя (цилиндрические функции)

II. функции Бесселя цилиндрические функции] [c.294]

Здесь x — корни характеристического уравнения /о(ц)//) (ц) = ц/Bi /о и /i—функции Бесселя (цилиндрические функции) действительного аргумента нулевого и первого порядка, соответственно, численные значения которых подробно представлены в математических справочных данных. [c.55]

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения в частных производных может быть сведено к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение в декартовых координатах приводит к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которых выражается в виде показательных или тригонометрических функций. Цилиндрические координаты ведут к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых имеет вид бесконечных рядов, называемых функциями Бесселя. Метод решения дифференциального уравнения в частных производных может быть пояснен примером в декартовых координатах, поскольку свойства тригонометрических функций, возможно, лучше известны, чем свойства функций Бесселя. Ниже будут показаны как аналитическое, так и численное решения. [c.247]

К, Е — полные эллиптические интегралы первого и второго ряда — цилиндрические функции первого рода нулевого и перво-го порядков (функции Бесселя) [c.7]

Неравномерное, но симметричное начальное распределение концентрации в теле не приводит к принципиальным затруднениям при получении решения методом разделения переменных, при этом лишь приходится вычислять определенный интеграл от начального распределения, умноженного, как правило, на тригонометрическую функцию или функцию Бесселя для тел цилиндрической формы. Для сложных видов начального распределения интеграл может быть вычислен любым из имеющихся приближенных методов. [c.53]

Собственные числа задачи для цилиндрических частиц определяются из характеристического уравнения, содержащего функции Бесселя нулевого /о(м-) и первого /1(р,) порядка действительного аргумента [c.136]

Здесь Кк и /й —функции Бесселя мнимого аргумента —радиус сосуда (цилиндрического) Кв и /Сг, — температуропроводности (остальные обозначения прежние). [c.491]

Неправильно укоренившееся в литературе название цилиндрических функций по имени немецкого астронома Ф. Бесселя. Эти функции были введены за 50 лет до работ Ф. Бесселя членом Петербургской Академии Л. Эйлером.— Прим. ред. [c.230]

Оптическое волокно, имеющее световедущую жилу радиуса а из материала с диэлектрической постоянной еь окруженную оболочкой из материала с ег < б1 (магнитные проницаемости жилы и оболочки равны магнитной проницаемости вакуума), можно рассматривать как цилиндрический диэлектрический волновод. Решение уравнений Максвелла в цилиндрической системе координат (л 0,2) для такого волновода (ось 2 совпадает с осью волновода) представляет собой выражение продольных компонентов Ех электрического и Яг магнитного полей в жиле и оболочке через цилиндрические функции. Компоненты поля Ег, Е , Н"г, Нд могут-быть выражены через Ег и Н . Ввиду того, что поля на оси волокна должны быть конечными, для жилы цилиндрические функции представлены функциями Бесселя первого рода 1п и). Для оболочки цилиндрические функции представлены модифицированными функциями Ханкеля Кп гю), являющимися положительными и монотонно убывающими до нуля при росте аргумента. Аргументы функции Бесселя и Ханкеля ы и ш представляют собой волновые числа для жилы и оболочки, определяемые из характеристического уравнения, получаемого из граничных условий непрерывности тангенциальных составляющих электрических и магнитных полей на границе раздела жилы и оболочки. [c.157]

Выражение для поля в оболочке получают путем замены постоянных Л и Вп на С и Dn, а функции Бесселя J Xir) — на модифицированную функцию Ханкеля первого рода Кп )- Поле оболочки может быть описано только этой функцией, так как она является единственной цилиндрической функцией, которая быстро стремится к нулю по мере увеличения г только в этом случае решение волнового уравнения будет описывать поле, связанное главным образом с жилой. [c.179]

В системе цилиндрических координат г, в и z составляющие поля в жиле зависят от радиуса г через функцию Бесселя У (ыг/а), где и/а является параметром функции Бесселя. Зависимость от 0 выражается через тригонометрические функции sin п0 или os /г0, где п — целое число. [c.199]

Метод решения этой задачи не отличается от метода решения предыдущей задачи (падение электромагнитных волн на. наружную поверхность полого цилиндра), и общие решения дифференциального уравнения полей в металле и в воздухе поэтому также будут совпадать с решениями для предыдущих случаев решение для цилиндрических электромагнитных волн в воздухе, распространяющихся радиально в пространстве, возьмем, как и в предыдущем случае, в форме модифицированных функций Бесселя. Представив в уравнении для волн в воздухе (5-За) коэффициент [c.120]

Некоторые свойства функции Бесселя, необходимые при решении ряда задач в области индукционного нагрева цилиндрических тел, изложены ниже [c.438]

Аналогичным путем в цилиндрических координатах используются функции Бесселя -24 а в сферических — функции Лежандра, или сферические гармоники [c.19]

Для диффузионной области интегрирование уравнения (II, 20) представляет весьма элементарную операцию. Собственными функциями будут для плоского сосуда косинусы, для цилиндрического — функции Бесселя, а для сферического — функции В табл. 2 сведены основные результаты расчета. [c.75]

Это подтверждается и при другом способе обработки кривой экспериментальных значений интенсивности вдоль экватора. Ее можно рассчитать на рассеяние не на один атом, а на всю молекулу (рис. 52, Д). В этом случае по интегралу Фурье — Бесселя строится функция цилиндрического распределения проекций осей молекул на базисную плоскость. Пики функции (рис. 52, Е) указывают на межмолекулярные расстояния в образце. [c.80]

Рис. 48. Электрические свойства клеточных сетей (синцитиев а — некоторые типы изученных синцитиев и зависимость входного сопротивления синцитиев от удельного сопротивления их мембраны (ср. с рис. 43.) б спад потенциала с расстоянием в цилиндрическом кабеле (нервном волокне) и в синцитии (предсердии) в волокне потенциал спадает по экспоненте, а в предсердии по функции Бесселя

Сравним теперь, как меняется мембранный потенциал в геометрически разных объектах по мере удаления от точечного источника тока (микроэлектрода в случае реальных клеток и тканей). В сферической клетке сдвиг потенциала одинаков в любой точке ее мембраны — она эквипотенциальна. В цилиндрическом волокне потенциал спадает по экспоненте (рис. 48, б), а в синцитии потенциал спадает гораздо круче, чем по экспоненте например, спад потенциала в таком почти плоском тонком синцитии, как предсердие лягушки описывается функцией Бесселя (рис. 48 б). [c.199]

В установках тлеющего разряда (рис. 7.4) образуются несколько темных и полностью заполняющих сечение светящихся зон, размеры которых зависят от давления и расстояния между электродами. Пространственный заряд расположен в основном в прикатодной области, в ней и максимальная концентрация заряженных частиц. В зоне положительного столба распределение электронов по энергиям в молекулярных газах сильно отличается, от равновесного (максвелловского), концентрация электронов изменяется по радиусу цилиндрической диэлектрической трубки (по функции Бесселя нулевого порядка). [c.301]

Используя метод анализа, описанный выше, можно указать условия нестабильности для случая, когда длина волны в результате деформации расширения становится больше, чем периметр струи. Чтобы избежать ненужных осложнений, допустим, что на струю не действуют никакие посторонние силы. Потенциал скорости для тела цилиндрической формы описывается функцией Бесселя /о кг) (Лэмб, 1945) и должен быть взят в виде [c.35]

Свойства решения уравнения (38), которое описывает распространение звуковых волн, хорошо известны (см., например, работу [ Ч). Воспользовавшись, нанример, методом разделения переменных, можно показать, что решение, описывающее распространение волн в цилиндрической камере, представляет собой сумму членов, каждый из которых является произведением функции Бесселя радиальной координаты г, тригонометрической функции аксиальной координаты 2, тригонометрической функции азимутального угла ф и тригонометрической функции времени. Окончательный вид решения для колебаний зависит, конечно, от граничных условий на торцевых поверхностях камеры и на поверхности твердого топлива. Простейшим граничным условием является условие, соответствующее абсолютно жестким стенкам в этом случае нормальная составляющая скорости до-лжна быть равна нулю [и, [c.293]

Для техники ЭПР коаксиальные резонаторы не так важны, как волноводные. Поэтому за подробной информацией и деталями конструкции мы отсылаем читателя к другим источникам (например, к [145]). Смысл обозначений ТЕ пр и ТМ пр здесь тотже, что и в случае цилиндрических резонаторов. Резонансные частоты определяются функциями Бесселя первого и второго родов. Б коаксиальных резонаторах возможны и ТЕМ-шощл. Иногда в качестве коаксиальных резонаторов используются проходные резонаторы, которые применяются совместно с СБЧ-триодами (гл. 2). В [136] описан коаксиальный резонатор, который возбуждается с помощью зонда (образующего его центральный проводник) от круглого волновода с волной ТЕ в [134] описан коаксиальный проходной резонатор, резонансная частота которого может модулироваться. В [47] описан спектрометр метрового диапазона, в котором используется коаксиальный резонатор. [c.151]

Преобразование Ханкеля. Для осесимметричных сплошных п полых цилиндрических тел, когда в уравнении теплопроводности оператор Лапласа записан в цилиндрических координатах, применение интегральных преобразований по пространственным координатам к задачам нестационарной теплопроводности приводит к )штегральным преобразованиям, ядрами которых будут функции Бесселя различных порядков. [c.39]

Пусть 2, г и 0 — цилиндрические координаты. Компоненты поля Ег и Нг удовлетворяют уравнению Гельмгольца, если они пропорциональны функциям Бесселя, умноженным на е " , где п = О, 1,. .. Для жилы выбрана функция Бесселя / (ur/a), а для оболочки — модифицированная функция Ханкеля Кп vrla). Радиус цилиндра равен а. Функции выбраны так, чтобы поле было конечно на оси и уменьшалось с увеличением г. Подставляя решения в граничные условия, получим систему из четырех линейных уравнений для определения четырех констант. Приравнивая детерминант данной системы нулю, получим следующую зависимость [c.235]

Согласно решению (3.21), собственной функцией задачи о теле цилиндрической формы является функция Бесселя /о(ия- ) Действительного аргумента, свойства которой хорошо изучены, а численные значения табз лированы. [c.35]

В условиях цилиндрической разрядной трубки можно считать, что iieHTpbi зарождения возбужденных частиц распределены согласно функции Бесселя первого рода нулевого порядка. Тогда [c.23]

Распределение амплитуды акустического давления внутри цилиндрической полости излучателя без учета поглощенг1Я может быть записано в виде ( З.З), где /о — функция Бесселя нулевого порядка. Величину Ло можно найти из граннчныл условий при г — Го должно быть Ро — Ао, а отсюда следует Ло = = Ро/1о кго). Подставив значепие Ад в уравнение (3.3), получим уравнение (3.4) [c.62]

Рассмотрим некоторый слой в цилиндрическом излучателе который находится на расстоянии г от центра излучателя имеет толщину г с1г, и определим изменение акустического давления в этом слое, обусловленное фокусировкой волны внутри излучателя. Пользуясь формулой (3.4), мы можем напи сать уравнение (3.5), где А — функция Бесселя первого порядка Для учета кавитационных потерь будем считать, что рассматри ваемый нами слой плоскгп" , так как его кривизна, обусловлп вающая концентрацию энергии, уже учтена в выражении (3.5) [c.62]