Дифференциальные уравнения и общее решение

Н. Е. Жуковский (1847-1921 гг.) в 1889 г. опубликовал первую работу по теории фильтрации Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод . Им впервые выведены общие дифференциальные уравнения теории фильтрации, показано, что напор как функция координат удовлетворяет уравнению Лапласа, указано на математическую аналогию теплопроводности и фильтрации. Им исследованы также вопросы капиллярного поднятия воды в пористой среде, решен ряд задач о притоке воды к скважинам. [c.4]

Это часто встречающееся линейное дифференциальное уравнение, общее решение которого будет [c.419]

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение его равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения, полученного из исходного уравнения без учета свободного члена. Согласно теории линейных дифференциальных уравнений, это решение имеет вцд [c.338]

Как и R случае линейных дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного линейного уравнения в конечных разностях есть сумма общего решения соответствующего неоднородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения. [c.176]

Исследовать внутреннюю диффузию нри конечной скорости адсорбции гораздо труднее, поскольку мы сразу же сталкиваемся с нелинейными дифференциальными уравнениями. Общий метод, описанный в конце предыдущего раздела, можно применить к решению уравнений с кинетическими зависимостями типа (VI.20). Получить какие-либо общие результаты здесь, однако, трудно, вследствие большого числа параметров, входящих в кинетическую зависимость, и необходимости численного интегрирования. [c.141]

Уравнения, описывающие химический процесс в реакторе, учитывают только наиболее принципиальные особенности, присущие множеству родственных, но отличающихся одно от другого явлений. При этом независимо от вида дифференциального уравнения его решение (при условии, если оно существует) в общем случае должно удовлетворять всем явлениям данного класса. Другими словами, уравнение имеет бесчисленное множество различных решений. Но лишь одно из них отражает именно ту связь между переменными, которая отвечает данному конкретному явлению. Это решение и будет представлять собой не только решение данного уравнения, но и решение данной задачи, связанной с конкретным процессом. Математически отыскание указанного однозначного решения сводится к нахождению решения уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, которые в большинстве случаев определяются физико-химической сущностью задачи. Дополнительные условия обычно принято называть граничными (краевыми) и начальными условиями. [c.8]

Перейдем к интегрированию дифференциального уравнения (116). Решение уравнения представим в виде суммы общего решения однородного уравнения [c.89]

Уравнение (84) - дифференциально-интегральное, общее решение которого в квадратурах неизвестно. Однако заданы все начальные условия и можно вычислить износ плунжера методом итерации, используя уравнение (82). [c.69]

В приложении к линейным стационарным системам условие устойчивости сводится к тому, что все корни Xi, Xj, 7 характеристического уравнения, полученного по дифференциальному уравнению этой системы, имели отрицательные вещественные части или, что одно и то же, располагались на комплексной плоскости слева от мнимой оси. При выполнении условия устойчивости линейная система будет устойчива асимптотически, что непосредственно следует из решения ее дифференциального уравнения. Это решение у (t), определяющее значение регулируемой величины в зависимости от времени, является суммой частного решения у, (t) неоднородного дифференциального уравнения и общего решения у , (t) однородного Дифференциального уравнения [c.108]

При описании орбитали обычно указывается главное квантовое число п и затем даются сокращенные обозначения орбитального квантового числа I в виде 5, р, й или /, например 2>р. Имеются три такие Зр-орбитали, соответствующие /П(=-Ы, О и — 1. Орбитали Зрж, Зру и >Рг, расположенные вдоль осей х, у ц 2 (рис. 1-10), — действительные орбитали, связанные с этими квантовыми числами. Дифференциальные уравнения обладают общим свойством различные линейные комбинации решений также являются решениями этих дифференциальных уравнений. Истинные решения для фгр, отвечающие состоят из [c.25]

Дифференциальное уравнение считается решенным, если найдены все функции, удовлетворяющие этому уравнению. Каждому дифференциальному уравнению удовлетворяет целое семейство функций, и часто бывает не легко выяснить, что это за функции. Далее, во многих практических приложениях мы интересуемся определенным членом этого семейства, удовлетворяющим некоторым специальным условиям. Поэтому решение дифференциальных уравнений требует большого математического мастерства и настойчивости. Тем не менее важно усвоить, что в тех явлениях, для описания которых мы пользуемся дифференциальными уравнениями, нет ничего непонятного. Действительно, часто можно получить представление об общем виде решений дифференциального уравнения при помощи сравнительно простых методов. [c.27]

Ниже мы рассмотрим три способа улучшения точности решения, полученного интегральным методом. Эти способы применимы, когда источником нелинейностей является или уравнение поля, или граничные условия, или и то и другое одновременно. Так как детальное рассмотрение этих способов привело бы к увеличению объема статьи, то мы рассмотрим их только в общих чертах. В-каждом из названных способов улучшение точности достигается решением начальной задачи, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для решения такого рода задач легко приспособить быстродействующие цифровые машины. [c.77]

Общее решение этого дифференциального уравнения второго порядка записывается в виде [c.86]

Следует отметить, что уравнение (1.5) переходит в уравнение (10) при г = 0. Даже в упрошенной форме уравнение (1.5) далеко не всегда может быть решено. В общем случае г является -функцией концентраций более чем одного реагента и, следовательно, математическая проблема состоит в интегрировании системы дифференциальных уравнений вида (1.5). Эта общая проблема не может быть решена. Даже система дифференциальных уравнений вида (1.6) требует для своего решения ряда аппроксимаций. Тем не менее, если рассматривать очень простые выражения для г, то может быть предложен ряд асимптотических решений. [c.23]

Известны и другие примеры равновесий, включающие конкурирующие реакции более высокого порядка, чем второй, но их трудно обрабатывать в общем виде, так как получаемые кубические дифференциальные уравнения не имеют простого решения. [c.35]

Для систем последовательных реакций более высокого порядка, чем первый, в общем не имеется точного решения. Причина здесь состоит в том, что подобные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые не имеют точных решений за исключением некоторых частных случаев. [c.45]

Это — линейное дифференциальное уравнение ге-го порядка, общее решение которого получается приравниванием нулю правой части уравнения (см. [c.50]

Любое уравнение типа (XIV.6.9) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (XIV.6.5) независимо от того, какое значение имеет т. Так как исходное уравнение было линейным дифференциальным уравнением, то любая линейная комбинация решений также будет решением. Если т ограничено дискретными значениями, то наиболее общим решением является решение [c.388]

Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет общее решение [c.190]

Обыкновенные дифференциальные уравнения представляют собой соотношение между несколькими переменными и их производными по одной из этих переменных. Дифференциальные уравнения в частных производных содержат производные по нескольким переменным. Порядком дифференциального уравнения называют порядок наивысшей производной. Степенью называется наивысшая степень, в которую возводится производная после рационализации уравнения и освобождения от дробей. Общее решение дифференциального уравнения п-го порядка содержит п. произвольных постоянных. Частное решение получается при фиксированных значениях этих произвольных постоянных. [c.386]

Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка равно сумме общего решения = А sin (a ot -Ь ф) однородного уравнения и какого-либо частного решения х неоднородного уравнения. Последнее следует искать в форме Хг = А sin (со . [c.54]

В общем случае решение этого нелинейного дифференциального уравнения может быть получено только численными методами. Его удается линеаризовать, используя упрощенную форму записи изотермы расклинивающего давления [c.214]

Решение полученного дифференциального уравнения, в результате чего получают выражение общего вида для амплитуды. Для колебаний струны с закрепленными концами таким решением является синусоидальная стоячая волна. Пока что не накладывается никаких ограничений на длину волны или на частоту колебаний. [c.361]

У+ относительно уравнений (3.6). Множество в фазовом пространстве называется со-инвариантным относительно системы дифференциальных уравнений, если любое решение системы, попав в это множество в момент времени 0, не выйдет из него при i > о. Из со-инвариантности У+ и суш ествования закона сохранения следует, что любое решение (3.6) (i) с начальными условиями с(0) е + лежит в (Ж — 1)-мерном симплексе 0(1), задаваемом условиями С О, 1 = 1,. . ., Л , т е ) т с). В общем случае, если число независимых законов сохранения больше, чем один, то область фазового пространства, содержащая все незапрещенные фазовые траектории, представляет собой уже не симплекс, а некоторый многогранник, размерность которого с очевидностью равна (М — I) (по-прежнему N — число компонентов, I — число независимых законов сохранения). [c.116]

Этот переход вызван особым квантово-механическим эффектом, который определяется линейностью уравнения Шредингера. Известно, что для линейного дифференциального уравнения общие решения гр представляют линейную комбинацию частных решений г) , г1з2, и т. д. [c.596]

Заметим дополнительно, что если не накладывать упрощающих условий, то, как известно из теории линейных дифференциальных уравнений, общее решение системы урэвне- [c.56]

Такое уравненпе можно наппсать для каждого вещества Aj Прп этом получается система S дифференциальных уравнений, для решения которой надо знать S начальных условий — значения j при i = 0. в наиболее общем случае, когда все величины j изменяются независимо, необходимы все S уравнений. Их можно проинтегрировать, если температура Т и давление Р либо постоянны, либо являются известными функциями времени. Во многих важных случаях, однако, эти уравнения не независимы, так что достаточно решить меньшее чпсло уравнений. [c.152]

Так как ядро интегрального преобразования зависит от дифференциального уравнения (общего характера физического процесса в самой системе) и от вида граничных условий (формы тела, характера внешнего Боздействия на поверхности тела), то и само усреднение исследуемой физической величины будет зависеть от этих же факторов. В этом случае решение исходной краевой задачи в области изображений гфедставляет самостоятельный интерес, так как выполненное преобразование в физическом отношении соответствует переходу от анализа. локальных значений исследуемых функций к анализу усредненных значений с учетом конкретных особенностей физической задачи. [c.27]

Система уравнений (9) представляет собой систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными (по ср) коэффициентами. Общее рещение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения саответств-ующего однороддого уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородных уравнений будем искать в виде [c.141]

Уравнение (8.7) необходимо использовать дважды один раз — для молекул А и другой раз — для молекул В. Аналитическое решение указанного уравнения пока не найдено, исключая особые случаи, которые, по счастливой случайности, представляют большой практический интерес. В общем с пользой могут быть применены цифровые вычислительные машины, дающие численные решения [12, 72]. Поскольку дифференциальные уравнения нелинейны, решение для модели Данквертса непосредственно не получено и по существу к нему обычно и не стремятся. Приближенные аналитические решения были найдены Ван-Кревеленом и Хофтицером [98] при использовании пленочной модели. [c.355]

На основании общих законов динамики эти уравнения могут быть преобразованы в систему Зга совместных дифференциальных уравнений, являющихся общими уравнениями движения системы. Решения этих уравнений дают координаты каждого атома в виде функции времени. Для нахождения этих решений необходимо решить алгебраическое уравнение сте-пери Зга, являющееся функцией частот колебаний системы. Это алгебраическое уравнение обычно захшсывается в виде детерминанта, называемого вековым уравнением, который состоит из Зга строк и Зга колонок. Такое уравнение степени Зга имеет Зга корней. [c.297]

Для реакции первого порядка решение уравнения (IX, 5) дано Уилером . Рис. 1Х-3 иллюстрирует доступность внутренней поверхности для различных реакций первого порядка, в зависимости от скорости диффузии и общей скорости реакции —время диффузии в порах средней длины —время контакта, требующееся для достижения степени конверсии 63% ф—степень использования внутренней поверхности). Значения абсциссы находят из решений дифференциального уравнения. Ординату часто называют коэффициентом использования поверхности, который представляет собой отношение работающей поверхности катализатора к поверхности, которая была бы доступна, при отсутствии диффузионного сопротивления. В качестве другого примера отметим изучение алюмосиликатного катализатора крекинга с размерами частиц от 4 до 5 мм. Исследование показало, что коэффициент использовация поверхности изменяется в пределах от 0,55 до [c.310]

Общее решение есть сумма решения соответствующего однородного уравнения [при /(0=0] и какого-нибудь частного решения. Последнее находится в виде линейной сомбинации различных выражений, входящих в f t) и их первых й вторых производных. Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение и сравнивая подобные члены слева и справа, находят соответствующие коэффициенты. Так, если [c.388]

Рассмотренный вывод кинетики процесса является приближенным не только потому, что мы упростили схему процесса, но и потому, что пользовались методом квазистационарных концентраций, который для данного случая недостаточно обоснован. Более строгое решение задачи можно получить, рассматривая решение системы дифференциальных уравнений (VIII, 36), (VIII, 37) и (VIII, 38) в общем виде. Такое решение возможно, но расчет получается очень громоздким. [c.220]

Сопремемпая теория цепных реакций позволяет получить уравнения таких цепных процессов, для которых изменениями концентраций исходных продуктов можио пренебречь. Эти уравнения характеризуют условия начала реакции. Именно на начальных стадиях реакции проявляются рассмотренные выше явления пределов самовоспламенения. В общем случае, учитывая роль выгорания или расходования в результате реакции исходных продуктов, можно получить систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, решить которые довольно сложно, поэтому такие общие решения рассматривать не будем. Если же одна реакция протекает медленно, а другие — быстро, то система заменяется одним уравнением, которое легко решается. [c.221]

Дифференциальные уравнения, приведенные в предыдущем разделе и относящиеся к инертному веществу, представляют собой частный случай более общих уравнений, которые должны г.ключать члены, характеризующие скорость образования или распада реагирующего вещества. Примерами таких уравнений для реакций второго порядка являются приведенные выше уравнения (3.1), (3.2), (3.5) и (3.6), решенные лишь для стационарных условий. [c.95]

В 1926 г. Эрвин Шрёдингер (1887-1961) предложил описывать движение микрочастиц при помощи выведенного им волнового уравнения. Нас не столько интересует математический вид уравнения Шрёдингера, сколько способ нахождения его рещений и извлечения из них необходимой информации. Поняв, как поступают при решении уравнения Шрёдингера, можно, даже не проводя самого решения, составить представление о причинах квантования и о смысле квантовых чисел. В данном разделе мы попытаемся объяснить общий метод решения дифференциальных уравнений движения, с которыми приходится встречаться в квантовой механике. Этот метод будет пояснен путем рассмотрения более простой аналогии-уравнения колебаний струны. [c.360]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология