Пространство и первая зона Бриллюэна

Связь структурного фактора с электронными свойствами металлов. Одним из физических свойств металлов, непосредственно связанных с ближним порядком и энергией взаимодействия частиц, является электропроводность. Развитие квантовой теории твердого тела привело к выводу, что электропроводность жидких металлов можно вычислить теоретически по экспериментальным данным для структурного фактора а(5), задавая Фурье-образ потенциальной энергии взаимодействия электронов с атомами расплава. Основная идея, на которой базируются расчеты электропроводности, состоит в том, что рассеяние электронов проводимости жидкого металла описывается структурным фактором, аналогичным для рентгеновского излучения или нейтронов. Заметим, что структурный фактор рассеяния электронов проводимости ограничен значениями 5, которые для одновалентных металлов находятся слева от первого максимума а 8), а для двух (и более) валентных металлов —справа от него. В то же время, по данным рассеяния медленных нейтронов и рентгеновских лучей длиной волны X = 0,5—0,7 А, структурный фактор определяется до 5 = 15—20 А"1. Выясним, чем же обусловлено такое различие а(5). По современным представлениям, электроны проводимости металла нельзя рассматривать как свободные. Их движение в кристалле модулировано периодическим силовым полем решетки. Непрерывный энергетический спектр свободных электронов в -пространстве распадается на зоны разрешенных энергий — зоны Бриллюэна, разделенные интервалами энергий, запрещенными для электронов. На шкале энергий Е к) зоны Бриллюэна изображают графически в виде полос разрешенных значений энергии и разрывов между ними (рис. 2,13). В трехмерном/г-пространстве они имеют вид многогранников, форма которых определяется симметрией кристаллических решеток, а размеры — параметрами решетки. Для гранецентрированной кубической решетки первая зона Бриллюэна представляет собой октаэдр, а для объемно-центрированной решетки — кубический додекаэдр. [c.52]

Наряду с элементарной ячейкой обратной решетки часто бывает удобным построение аналога ячейки Вигнера — Зейтца в обратной решетке. Такая ячейка носит название зоны Бриллюэна (или первой зоны Бриллюэна). Рассмотрим для примера зону Бриллюэна для ГЦК кристалла. Очевидно, в обратном пространстве она ограничена многогранником, изображенным на рис. 8, б. [c.17]

Разрешенные уровни энергии как функции к схематически проведены на рис. 10.13. Для некоторых значений к, определяемых величиной постоянной решетки, по только что объясненным причинам имеются разрывы в спектре энергий. Эти щели делят к пространство на зоны, называемые зонами Бриллюэна. Область от 1 1=0 до первого разрыва называют первой зоной Бриллюэна от этого места до второго разрыва — второй зоной Бриллюэна и т. д.... Эти зоны измеряют в обратных длинах, поскольку именно такова размерность к. [c.233]

Такое потенциальное поле характеризуется тем, что для него возможными являются только те решения уравнения Шредингера [1, 2], при которых энергия Е имеет значения, заполняющие ряд дискретных полос или зон. Это обусловлено тем, что для других значений Е, не лежащих в этих зонах, волновое число к электрона становится мнимым и, следовательно, эти значения Е запрещены. Типичная кривая, изображающая зависимость энергии Е к) в функции от к, показана на рис. 1. Значения к, при которых имеют место разрывы непрерывности Е, лежат в -пространстве [2] на поверхности многогранника, называемого зоной Бриллюэна. Электрон с энергией, меньшей Е , будет находиться в первой зоне Бриллюэна. У щелочных металлов первая зона содержит 2Л/ -состояний, где N — число валентных электронов в кристалле, так что первая зона заполнена лишь наполовину. Это наглядно показано на рис. 2, где приведены кривые, изображающие зависимость плотности электронных состояний М Е) от энергии Е. Величина Ы Е) — плотность состояний — определяется тем, что М Е)йЕ есть число энергетических состояний, энергия которых лежит между Е и ( +с1 ). Если в первой зоне имеются незаполненные энергетические состояния, то соответствующие вещества должны быть хорошими электронными проводниками. [c.81]

При различных построениях в обратной решетке помимо первой зоны Бриллюэна часто используют представления о второй, третьей и т. д. зонах Бриллюэна. Эти понятия связаны со следующими построениями. Повторим применительно к обратной решетке определение зоны Бриллюэна. Выделим некоторый узел обратной решетки, приняв его за начало, и проведем из выбранного центра всевозможные векторы обратной решетки В, соединяющие начало со всеми узлами обратной решетки затем построим плоскости, перпендикулярные этим векторам и проходящие через их середину. Если ц играет роль радиус-вектора в обратном пространстве, то уравнения этих плоскостей имеют вид [c.17]

Более наглядное представление о симметрии можно получить путем следующего построения, которое представляет собой распространение одномерного-варианта фиг. 3.2 на трехмерное пространство нужно провести нормальные плоскости через середины отрезков прямых, соединяющих узел в начале координат О обратной решетки с ближайшими соседними узлами. Построенный таким образом наименьший замкнутый полиэдр образует первую зону Бриллюэна. Можно показать, что ее объем равен объему примитивной ячейки обратной решетки. Рассмотрим на трех примерах форму первой зоны Бриллюэна. [c.78]

Плоскости (4) разделяют все обратное пространство на много областей разной формы (рис. И, а). Как мы уже знаем, область, включающая избранный центр, называется первой зоной Бриллюэна. Примыкающие непосредственно к ее внешним плоским поверхностям участки обратного пространства составляют вторую зону граничащие с ней области обратного пространства образуют третью зону и т. д. Зоны разделяются плоскостями (4), поэтому последние определяют границы зон Бриллюэна. [c.18]

Рассмотрим теперь свойства векторов к, что приведет к понятиям к-пространства и первой зоны Бриллюэна. [c.53]

Таким образом, любые векторы, отличающиеся друг от друга на целое число периодов обратной решетки, соответствуют одной и той я е БФ, так что для описания всех БФ цепочки достаточно ограничиться к-векторами из любого отрезка обратной решетки длиной Ъ. В качестве такового удобно выбрать отрезок, расположенный симметрично по обе стороны начала координат обратной решетки. Такой отрезок, содержащий N векторов к-пространства, называется первой зоной Бриллюэна. [c.54]

Подчеркнем, что описанная выше конструкция имеет очень ясный смысл с теоретико-групповой точки зрения. Поскольку группа Сд-трансляций цепочки из Л атомов имеет N неприводимых (одномерных) представлений, для нумерации БФ (2.5) достаточно взять N к-векторов из всего к-пространства. Эти векторы удобно выбрать так, чтобы они заполнили отрезок, который и представляет собой первую зону Бриллюэна. [c.54]

Разложение (19.46) показывает, что звездой представления Ги является приводимая звезда Щ, неприводимые составляющие которой представлены всеми неприводимыми звездами первой зоны Бриллюэна. Из (19.46) можно заключить также, что механическое пространство м можно разложить на N подпространств каждое из которых инвариантно относительно группы Оь вектора к ( малой группы), но неинвариантно относительно всех элементов группы О. [c.389]

Рассеяние 2-го порядка в точке X обратного пространства может быть обусловлено рассеянием от любой пары упругих волн с волновыми векторами ХО = дх и QH =q2 такими, что 41+42= ХН, а ХН =0Х—ОН (рис. 1,а). Точки Q лежат в общем объеме ДК первых зон Бриллюэна, построенных вокруг точек X и Н. Интенсивность рассеяния равна сумме интенсивностей рассеяния от всех пар (ХО+ОН ). Сумму по Q можно заменить интегралом по указанному выше объему, ибо [c.162]

В теории представлений пространственных групп применяются элементарные ячейки не в виде элементарных параллелепипедов, а в виде многогранников, отображающих симметрию точечной группы кристалла. Симметризованную центральную ячейку в пространстве волнового вектора принято называть первой зоной Бриллюэна. [c.17]

В элементарной ячейке у-структуры содержится 52 атома. Первая зона Бриллюэна у-структуры имеет 90 электронных состояний, т. е. может содержать 90/52 = 1,72 электрона на атом. Поскольку медь содержит один электрон на атом, то на один атом меди может приходиться 0,7 избыточных электрона. При замещении меди (с одним валентным электроном) на алюминий (с тремя валентными электронами) два избыточных электрона размещаются на свободных низколежащих уровнях. Как только эти уровни заполнятся, что происходит при замещении на алюминий 35% меди, для дальнейшего введения алюминия необходимо либо размещать электроны в следующей зоне Бриллюэна (уровни которой приблизительно на 1 эв выше), либо создать свободное пространство в зоне Бриллюэна в результате удаления атомов меди, т. е. за счет образования вакансий. Так как одна вакансия предоставляет место для 1,7 электрона, то для размещения двух дополнительных электронов каждого атома алюминия необходимо возникновение 2/1,7 = 1,1 вакансии на атом алюминия, что приблизительно соответствует экспериментальным данным. [c.302]

Первая зона Бриллюэна представляет собой многогранник минимального объема, образованный плоскостями, проведенными через середины отрезков, соединяющих узлы обратной решетки с нулевым узлом, перпендикулярно к ним. Таким образом, первая зона Бриллюэна по определению является минимальной центросимметричноп частью обратного простран-ства, Которая, будучи периодически продолженной, полностью заполняет все обратное пространство. [c.27]

Рис. 1.46. Элементарная ячейка квадратной решетки и ее образ в обратном пространстве (Г, М, X, Y — особые точки первой зоны Бриллюэна)

Как показано в главе 4, неравенства (9.24) определяют объем в /г-пространстве, называемый первой зоной Бриллюэна. [c.225]

Форма зоны Бриллюэна очень существенна для выяснения характера симметрии изоэнергетических поверхностей. Часто, одпако, используя периодичность энергии е(р), вообще ограничиваются первой зоной Бриллюэна. При этом очень трудно рассматривать движение электронов во внешних (по отношению к кристаллу) полях, когда квазиимпульс не сохраняется. Действительно, сразу возникает вопрос, что произойдет с электроном, если он достигнет границы зоны Бриллюэна Конечно, эту трудность можно обойти, однако в большинстве случаев удобнее считать квазиимпульс электрона определенным во всем пространстве обратной решетки, а его энергию и другие характеристики (скорость, например)—периодическими функциями р. [c.39]

Нечто совершенно отличное наблюдается для алюминия, на контуре Кр -линии которого (рис. 6) можно обнаружить характерный перевал. Его появление объясняется существованием в алюминии двух полос энергии одной заполненной (и проявляющейся), и второй, относительно слабо заполненной, наличие которой обусловливает хорошую электропроводность этого металла и проявляется, в частности, в удовлетворительном совпадении наблюдаемой ширины КРх-линии (12—13 еУ) с шириной, подсчитанной по теории полусвободных электронов (11,6 еУ). Это согласие рассчитанной теоретически и экспериментально наблюдаемой формы Кр -полосы распространяется даже на некоторые детали в строении последней. Как было указано (стр. 26), возрастание М Е) в решетке металла продолжается до тех пор, пока радиус-вектор в пространстве импульсов, исходящий из центра зоны Бриллюэна, не достигнет впервые пределов зоны. Для алюминия это соответствует энергии электронов, равной 7,2 еУ. После этого должен обнаруживаться постепенный спад кривой интенсивности и вторичное ее возрастание за счет электронов, заполняющих вторую зону Бриллюэна. В соответствии с этими выводами теории, кривая интенсивности Кр -полосы алюминия обнаруживает первый максимум на расстоянии около 7 еУ и второй горб, удаленный от начала полосы на расстояние около 12 еУ. Резкий обрыв коротковолнового края полосы объясняется теми же причинами, что и у магния, и типичен для металлов. [c.42]

Области, ограниченные целочисленными значениями я/а (для одномерного случая), называют зонами Бриллюэна. На границах зон наблюдаются разрывы значений энергии. Первая зона включает отрезок —я/а< <+я/а, вторая зона включает два отрезка —2п1а<.к<.—п1а и я/а< <2я/а и т. д. Аналогично рассматривается реальный трехмерный кристалл. Зоны Бриллюэна в к-пространстве для различных кристаллических решеток можно найти исходя из структуры решетки на рис. 16 показаны первые зоны Бриллюэна для объемно- и гранецентрированных кубических решеток кристаллов. [c.39]

Из приведенного выражения видно, что все блоховские функции (1.8) отличаются друг от друга фазовыми множителями Qxp ikaam), представляющими собой комплексные числа. Исключение составляют только две точки / -пространства, обычно обозначаемые буквами Г ка = 0) — центр и Z (А = п/а) — край первой зоны Бриллюэна. Поскольку представление волновых функций в вещественной форме допускает ясную физическую интерпретацию, рассмотрим более подробно блоховские орбитали ф/О) в точке Г и 9i(n/a) в точке Z [c.15]

Если в пространстве волнового вектора к построить обратную решетку с базисом 2пЬ1, 2пЪ , 2лйз, то все пространство к можно разбить на области, совокупность точек которых представляет собой физически эквивалентные состояния. Такие области называются зонами Бриллюэна. Первой, или основной, зоной называется минимальный по объему многогранник, построенный вокруг начала координат в [c.18]

Во избежание недоразумений напомним, что зона Бриллюэна и энергетическая зона — понятия, в которых слово зона используется в разных смыслах в первом случае как область в пространстве обратной решетки, во втором как совокупность энергий бп(к), соответствующих различчым к из зоны Бриллюэна и при каждом фиксированном к отвечающих состоянию с номером п при нумерации состояний в порядке возрастания соответствующих им одиоэлектронных энергий. [c.81]

Сначала строится в / -пространстве новая (суженная) зона Бриллюэна таким образом, чтобы ее центр к =0 (Г ) был эквивалентен всем точкам обычной зоны Бриллюэна, для которых необходимо рассчитать одноэлектронные энергии. Например, для оценки положения обусловленных дефектом локальных уровней в зонной схеме идеального кристалла, на первом этапе целесообразно прежде всего воспроизвести границы энергетических зон II критические точкп зонной структуры (точки экстремумов), в которых чаще всего отщепляются локальные уровни. [c.111]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология