Зоны Бриллюэна и след

Джонс объяснил эти закономерности особенностями образования зон Бриллюэна. Сфера Ферми (т. е. значение максимальной энергии) приходит в соприкосновение с границей зоны Бриллюэна при определенном значении электронной концентрации. Дальнейшее изменение концентрации компонента с большей валентностью должно вызвать заполнение следующей зоны, поэтому решетка делается термодинамически менее выгодной, чем другая с незаполненной зоной. [c.511]

Нелишне подчеркнуть здесь, что зона Бриллюэна однозначно определяется структурой кристаллической решетки (точнее, ее решеткой Бравэ). Из определения зоны Бриллюэна следует, в частности, что все обратное пространство может быть плотно заполнено зонами Бриллюэна данного кристалла. Поскольку мы уже имеем рецепт построений ячейки Вигнера—Зейтца и знаем, как построить обратную решетку, то определение зоны Бриллюэна любого кристалла сводится к известным и уже решенным задачам. Так, зоной Бриллюэна г. ц. к. решетки является ячейка Вигнера—Зейтца о. ц. к. решетки, причем если ребро элементарного куба г. ц. к. решетки равно а, то ребро элементарного куба в обратной (о. ц. к.) решетке равно 2яа 1 следовательно, чтобы построить зону Бриллюэна в этом случае, нужно взять о. ц. к. решетку с ребром элементарного куба 2яа 1 и построить в ней ячейку Вигнера—Зейтца. Она и даст нам искомую зону Бриллюэна. Понятие зоны Бриллюэна, как увидим ниже, является чрезвычайно важным в физике кристаллов. [c.81]

Уровни квазимолекулы, не содержащей дефекта, соответствуют вполне определенным одноэлектронным состояниям кристалла [18]. В качестве примера на рис. П1.2, б изображена квазимолекула графита, состоящая из 18 атомов, и показано, с какими блоховскими состояниями (кружочки в зоне Бриллюэна) следует сопоставлять ее МО. [c.54]

Если состояние всех электронов в кристалле описывать с помощью/Зон Бриллюэна, то удобно считать электроны 1-оболочки заполняющими первые зоны, электроны /С-оболочки заполняющими следующие зоны (см. рис. 37, б). Тогда валентные электроны будут занимать зоны у внешнего края заполненной области. Так как многие процессы в кристаллах объясняются состоянием валентных электронов, удобно состояния электронов внутренних оболочек не учитывать и на энергетической схеме изображать только две разрешенные энергетические зоны (см. рис. 55) валентную (е ), соответствующую нормальным (невозбужденным) состояниям валентных электронов, и ближайшую к ней зону возбужденных состояний этих электронов — возбужденную зону или зону проводимости (8 ). [c.127]

Представление (10.8) решения уравнения (10.4) в виде суперпозиции плоских волн осуществляет переход от описания распределения атомов с помощью N вероятностей п (R) к описанию этого же распределения с помощью N амплитуд Q (kj) (из циклических краевых условий для функции п (R) следует, что первая зона Бриллюэна содержит N волновых векторов к ). Аналогичный переход от совокупности смещений атомов из узлов кристаллической решетки к совокупности амплитуд нормальных колебаний используется в теории колебаний кристаллической решетки. [c.105]

При различных построениях в обратной решетке помимо первой зоны Бриллюэна часто используют представления о второй, третьей и т. д. зонах Бриллюэна. Эти понятия связаны со следующими построениями. Повторим применительно к обратной решетке определение зоны Бриллюэна. Выделим некоторый узел обратной решетки, приняв его за начало, и проведем из выбранного центра всевозможные векторы обратной решетки В, соединяющие начало со всеми узлами обратной решетки затем построим плоскости, перпендикулярные этим векторам и проходящие через их середину. Если ц играет роль радиус-вектора в обратном пространстве, то уравнения этих плоскостей имеют вид [c.17]

При этом значения f находятся в пределах первой зоны Бриллюэна, т. е. ограничены следующими значениями [c.87]

Механизм проводимости закиси меди является результатом общего дефицита электронов, имеет полупроводниковую природу (электрическая проводимость возрастает е ростом температуры) и относится к р-типу, т. е. зависит от положительных Последние не следует смешивать с незанятыми катионными вакансиями, которые являются дырами в смысле вакансий в решетке, тогда как положительные дыры относятся к незаполненным зонам проводимости в самой наружной зоне Бриллюэна окисла. Схематическое расположение ионов в структуре закиси меди представлено на фиг. 9. [c.31]

На рис. 117 показана первая зона Бриллюэна и поверхность Ферми [26, 27]. Из рисунка следует, что основные носители [c.235]

Довольно значительное количество исследований энергетических спектров электронов в тугоплавких соединениях было выполнено методом сильной связи (ЛКАО), основанным на предположении о сильной локализации всех валентных электронов вблизи ядер. Не касаясь существа этого метода, детально описанного во многих специальных руководствах (см., например, [19—21]), отметим лишь, что он не может обеспечить точного решения уравнения Шредингера, поскольку волновые функции, соответствующие связующим электронным состояниям, не образуют полного набора. Кроме того, следует иметь в виду, что в пространстве между атомами форма потенциала довольно гладкая, поэтому здесь состояние электронов должно описываться почти плоскими волнами. Суперпозиция же атомных функций с учетом их перекрывания в обсуждаемых областях может приводить к всплескам электронных плотностей. В связи с этим подобный подход к исследованию полосной структуры менее корректен, чем используемый в методах ППВ и ОПВ. Тем не менее метод сильной связи, являясь технически более простым, может быть успешно использован для изучения электронных состояний в произвольных точках зоны Бриллюэна. Он интересен и тем, что описание волновой функции электрона в виде суперпозиции волновых функций атомов позволяет [c.268]

Согласно зонной теории, это можно объяснить тем, что в точках определенного состава поверхность Ферми касается границы зоны Бриллюэна. При этом образуется новая фаза, для которой поверхность Ферми оказывается внутри границы зоны Бриллюэна, поскольку введение дополнительных электронов за пределы зоны требует сравнительно большой затраты энергии. Процесс повторяется при других составах, соответствующих следующему фазовому переходу [c.47]

Более наглядное представление о симметрии можно получить путем следующего построения, которое представляет собой распространение одномерного-варианта фиг. 3.2 на трехмерное пространство нужно провести нормальные плоскости через середины отрезков прямых, соединяющих узел в начале координат О обратной решетки с ближайшими соседними узлами. Построенный таким образом наименьший замкнутый полиэдр образует первую зону Бриллюэна. Можно показать, что ее объем равен объему примитивной ячейки обратной решетки. Рассмотрим на трех примерах форму первой зоны Бриллюэна. [c.78]

Все возможные значения бесконечного кристалла находятся в первой зоне Бриллюэна, т. е. имеется бесконечное множество значений 1. Из этого, согласно секулярному уравнению, следует, что в соответствии с числом степеней свободы имеется Зп бесконечных множеств собственных частот. Кроме этого, бесконечный кристалл имеет бесконечно большую теплоемкость, и для него отсутствуют граничные условия. Поэтому на первый взгляд такая модель не представляет [c.73]

На краях зоны Бриллюэна частоты принимают следующие значения [c.365]

Как нетрудно видеть, обратная решетка также оказывается простой кубической. Первая зона Бриллюэна в соответствии с нашим построением представляет собой куб (фиг. 3.6, а). Приняв 1/(1 за единицу длины, получим следующие координаты характерных точек этой фигуры [c.79]

Когда вектор q находится внутри зоны Бриллюэна, получаем, взяв след выражения (4.7), [c.114]

Функция распределения частот имеет очень важное значение для исследования термодинамических и оптических свойств кристаллов. Но точно рассчитать (со) можно лишь для некоторых простых моделей кристаллов, так как решения секу-лярных уравнений (2.17) из гл. 3 имеют очень сложный вид. Впервые расчет спектра частот упругих колебаний был выполнен численным методом [26] для простой кубической решетки с учетом лишь взаимодействия данного атома с 6 ближайшими соседними и 12 следующими за ними атомами, причем силы взаимодействия считались центральными. Из секулярного уравнения (4.13) из гл. 3 находят 3 частоты для множества значений я, равномерно распределенных в первой зоне Бриллюэна. Затем рассчитывают частоты, содержащиеся в частотных интервалах Дсо. В результате получают график, представленный на фиг. 10.7. В то же время были попытки выразить ((0) с помощью аналитических функций, например с помощью суммы полиномов Лежандра. Кривая, полученная при этом для простой кубической решетки, имеет два максимума и похожа на кривую распределения, представленную на фиг. 10.7. Детали расчета можно найти в работе [113]. [c.269]

Исходя из этих данных, можно рассчитать кривые дисперсии комбинационных состояний, которые приведены на фиг. 11.18. При анализе инфракрасного спектра следует учитывать также правила отбора, которые для симметричных точек зоны Бриллюэна таковы [88] [c.316]

Из теоретико-групповых соображений следует, что, поскольку связанные состояния квазичастиц (фононов), как и другие возбужденные состояния кристалла, преобразуются по неприводимым представлениям его пространственной группы, область разрешенных значений волнового вектора, характеризующего состояния связанных квазичастиц, как и для отдельной квазичастицы (фонона), определяется первой зоной Бриллюэна. При этом их энергии образуют зоны вида = (К), где К — волновой вектор состояния связанных квазичастиц. В процессах КРС, как и в спектрах поглощения, должны прежде всего проявляться состояния связанных квазичастиц с К = 0. Это [c.409]

Так как абсолютная величина волновых векторов фотонов мала по сравнению с линейными размерами первой зоны Бриллюэна, то из (21.33) — (21.35) следует, что для волновых векторов фононов, участвующих в процессе рассеяния, приближенно выполняются соотнощения [c.453]

И, следовательно, первая зона Бриллюэна, как и следовало ожидать (см. 2), будет иметь вид куба с ребром 2п1а (см. рис. 42, б). [c.107]

Из (21.36) следует, что в процессе комбинационного рассеяния второго порядка могут принимать участие фононы не только начала первой зоны Бриллюэна, но и любой ее точки, в частности лежащей на границе зоны. Таким образом, изучение спектров второго порядка позволяет получить информацию о фононном спектре всей первой зоны Бриллюэна. [c.453]

Бриллюэна. Затем происходит быстрое уменьшение Л ( ) ввиду того, что в некоторых направлениях волнового вектора к разрешенных значений энергии не существует. Если первая и вторая зоны Бриллюэна не перекрываются, то по заполнении первой энергетической зоны следующий уровень будет соответствовать возрастанию энергии на величину — Ез. Если же первая и вторая зоны перекрываются, то добавляемые электроны будут заполнять первую зону до тех пор, пока высшие заполненные уровни ее не сравняются с низшими заполненными уровнями второй зоны. Таким образом, на уровнях обеих зон будет находиться [c.10]

В неоднородных сплавах типа Юм-Розери образуются другие интерметаллические фазы. Для этих сплавов Шваб [51—53] нашел аналогичное увеличение энергии активации с ростом к. э. в пределах одной фазы. На границе фаз энергия активации достигает максимума для данной фазы. Насыщенным а-, р-, е- 1Г т1-фазам соответствуют примерно одинаковые энергии активации, в то время как для у-фазы наблюдается резкий максимум [52, 53] (см. рис. 16). Отсюда следует, что как в однородных, так и в неоднородных сплавах каталитическая активность зависит от степени заполнения зон Бриллюэна. В пределах одной фазы добавление растворяемого металла вызывает повышение уровня Ферми, что приводит к соответствующему росту энергии активации. Переход от насыщенной к ненасыщенной фазе, согласно Мотту и Джонсу, сопровождается понижением уровня Ферми, что приводит к уменьшению энергии активации. Необычно высокий подъем энергии активации в случае у-фазы, очевидно, обусловлен формой зоны Бриллюэна. Именно вследствие сложности решетки этих сплавов зоны Бриллюэна в у-фазе почти сферические и в точке насыщения поверхность Ферми может почти совпасть с границей зоны. Высокая степень заполнения зоны приводит к максимальной энергии активации. [c.36]

Из определения неприводимой части зоны Бриллюэна следует, что объем ее будет разным для кристаллов с одинаковой решеткой Браве, но относящихся к разным кристаллическим классам для кристаллов типа МаС1 или алмаза, например, он равен (1/48) Уь(в группе Он — 48 элементов), а для кристалла типа 2п5— (1 24) V (в группе Та — 24 элемента). [c.61]

Следует отметить, что переход к континуальному приближению отнюдь не означает, что величина Q должна вычисляться в аппроксимации малых значений к (41.1). Это связано с тем обстоятельством, что суммирование в выражении (38.23) для Q производится по всем точкам первой зоны Бриллюэна (в том числе и по тем, которЕле отвечают большим значениям к). Переход к континуальному приближению при вычислении по существу представляет собой еще одну дополнительную аппроксимацию, эквивалентную дебаевскому приближению в теории колебаний кристаллические решеток. Используя (41.1) в (38.21), получим [c.344]

Заметим, что первая зона Бриллюэна кристалла представляет собой симметричный многогранник — она обладает всеми зломен-тами симметрии точечной группы. Это обстоятельство хорошо видно па примере зоны Бриллюэна для решетки алмаза или цинковой обманки (см. рис. 2.6). Отсюда следует, что каждому вектору к — в первой зоне отвечает несколько других векторов 2, кд,. . ., эквивалентных ему по симметрии. Все такие векторы вместе с исходным составляют так называемую звезду вектора к, и закон дисперсии е (к) имеет одинаковый вид для всех направлеиш , отвечаюш, 1Х векторам одной и той же звезды. Это связано с те.м обстоятельством, что БФ для векторов из одной и той же звезды переходят друг в друга при операциях точечной группы. Таким образом, исследование законов дисперсий во всей первой зоне разбивается па две задачи, первой из которых является нахождение различных типов звезд из к-векторов. Этот вопрос решается тривиально суш ествуют звезды обптего тина , для которых к-векторы не лежат на каком- либо элементе симметрии первой зоны, и звезды частных типов, для которых к-векторы лежат на оси пли плоскости симметрии первой зоны. Очевидно, что для зоны Бриллюэна (см. рис. 2.6) звезда [c.78]

Из сказанного также следует возможность факторизации векового уравнения (2.18) для сп, гмегричньгх гтаправлений и точек зоны Бриллюэна. Так, в точке Г для кристал.лов типа 2пЗ уравнение (2.18) восьмого поряд а можно заменить лпуия уравнениями второго порядка — для одномерных и д.ля трех герных представлений, а для [c.80]

Интересно заметить, что для согласования теории с экспериментом совсем нет необходимости в предположении о том, что константа скорости зависит от степени покрытия поверхности. Это означает, что при увеличении количества поверхностных комплексов энергия активаиии реакции меняется очень незначительно. Однако при увеличении концентрации поверхностных комплексов должна была бы увеличиваться энергия, необходимая для образования этих поверхностных комплексов, так как в процессе хемосорбции кислорода происходит захват носителей заряда из зоны проводимости. Затем, поскольку уровень Ферми удаляется от границы зоны Бриллюэна, должна увеличиваться энергия, необходимая для перехода электрона из зоны проводимости на поверхностный уровень. Следовательно, если энергия активированного комплекса в реакции удтеньшается меньше, чем энергия Ферми, можно было бы ожидать увеличения количества образующихся поверхностных комплексов в результате повышения энергии активации. Несмотря на то что этот механизм прямо следует из приведенных рассуждений и может иметь большое значение с точки зрения общей проблемы изменения энергии активации в процессе хемосорбции, в рассматриваемом случае он играет лишь второстепенную роль. Даже если каждый хемосорбированный атом кислорода действительно захватывает электрон из зоны проводимости, из величины следует, что лишь 10 носителей на единицу объема могут быть локализованы на поверхностных уровнях. Кроме того, из уравнения (У1-42) следует, что снижение уровня Ферми должно быть ограничено величиной порядка 0,01. эв (т. е. 200 кал) при условии, если для эффективной массы взята средняя величина 0,05 то [50]. Соответствующие изменения энергии активации при этом будут настолько малы, что их нельзя наблюдать на эксперименте. Эти рассуждения предлагают возможные способы для контроля вероятности предложенного механизма изменения энергии активации в процессе сорбции. В том случае, если площадь активной поверхности на единицу объема увеличится в несколько сот раз, достаточно большое количество образующихся по- [c.354]

Представление кристалла с помощью ячеек Вигнера—Зейтца весьма плодотворно в кристаллофизике, а особенности в тех случаях, когда следует описать анизотропию векторных свойств кристаллов, показать связь между их структурой и тензорными свойствами. Особо важное значение имеет представление волнового обратного пространства кристалла с помощью обратных ячеек Вигнера—Зейтца (зон Бриллюэна). Поскольку такая ячейка описывается около одного узла, то она ограничивает энергетическое пространство с единствснньш незэвисймьВД значением волнового вектора-основ- [c.85]

Нестационарный теплоперенос. П. Клеменс [189] обратил внимание на то, что в изотонически чистом кремнии, несмотря на то, что теплопроводность, обусловленная тепловыми фононами, растёт слабо, свободный пробег высокочастотных, надтепловых фононов может значительно увеличиться при Т < Тт 22 К. Этот эффект обусловлен следующими обстоятельствами. Скорость рассеяния на изотопах согласно формуле (12.1.17) пропорциональна 4-й степени частоты фонона. В обычном теплопереносе доминируют фононы с частотами, соответствующими энергии в температурном эквиваленте АТ, т.е. при 20 К тепло переносят в основном фононы с энергией около 80 К. Если в результате энергетического воздействия на кристалл кремния (например, при освещении лучом лазера) рождаются высокочастотные фононы на границе зоны Бриллюэна с энергией 220 К, то изотопы могут уменьшить длину их пробега в 60 раз ( ) по сравнению с пробегом тепловых фононов. Подобную задачу распространения высокочастотных фононов в кристаллах 51 и Ое рассматривал X. Марис [199]. Влияние упругого рассеяния на изотопах на распространение акустических фононов в кремнии было предметом теоретического анализа в работе [200. [c.88]

В работах [24, 32, 36] рассмотрены структуры зон слоистых соединений — GaS и GaSe. В основу расчета структуры зон положена двухмерная модель зон одного четырехкратного слоя типа S—Ga—Ga—S. При этом использованы известные экспериментальные данные оптических, фотоэлектрических, магнетоонтических и других свойств рассматриваемых кристаллов. Валентная зона, а также минимум зоны проводимости носят двухмерный характер. Первая зона Бриллюэна этих кристаллов имеет вид тонкой гексагональной пластинки (рис. 7). В GaS минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны не совпадают. Минимальное значение энергии соответствует непрямому переходу. Энергии междузонных переходов Е GaS имеют следующие значения [36] (в зв) [c.41]

Обратимся к кривым Иа(ч) фиг. 3.2. Волновой вектор о волны видимого сеета (со = 4-10 с ) в кристалле с показателем преломления =1,5 равен пы/сх2-10 см он 1 амного меньше максимальной величины я на границе зоны Бриллюэна Я = л/а 10 СМ". Если наблюдение рассеянного излучения производится под не очень малым углом 9 (как чаще всего и бывает на самом деле), то из соотношения (4.11) следует, что д и а — величины одного порядка. [c.154]

В работе [451] исследовался спектр второго порядка в кристалле СзВг. В элементарной ячейке этого кристалла содержатся два неэквивалентных атома. Группой симметрии является пространственная группа 0 н. Зона Бриллюэна для рассматриваемой группы изображена на рис. 81, в. Классификация колебательных уровней осуществляется с помощью соотношений совместности для неприводимых представлений группы Ок. В соответствии с поляризацией колебаний производится их разделение на поперечные и продольные. Согласно правилам отбора спектр комбинационного рассеяния второго порядка этого кристалла оказывается разрешенным как для обертонов, так и для составных тонов в точках Г, А, Т, X, Л, Я, Е, 5, М. Из расчета дисперсионных кривых [451] следует, что точки Г, М, X, А, / , 5, 2 и Г являются [c.467]

В работе [456] был изучен спектр комбинационного рассеяния второго порядка кристалла ОаР. Кристаллическая решетка этого кристалла точно такая же, как и у кубической модификации кристалла 2п5 (рис. 71). Точки Г, I, X, W являются критическими точками зоны Бриллюэна. Согласно [451] все обертонные и составные переходы оказывались разрешенными в комбинационном рассеянии в каждой из этих точек. На рис. 81, а представлен спектр этого кристалла при 20° К. Согласно расчетам дисперсионных кривых кристалла ОаАз оказывается, что продольная оптическая ветвь ЬО) и поперечная оптическая ветвь ТО) пересекаются, так что ЬО>ТО в начале зоны Бриллюэна и ТО>ЬО на краю зоны Бриллюэна кроме того, продольная акустическая ветвь ЬА значительно удалена от поперечной акустической ветви ТА) и почти достигает оптической ветви на краю зоны 13риллюэна. В [456] предполагается, что для СаР дисперсионные кривые колебательных ветвей имеют приблизительно такой же вид. При этом условии можно следующим образом объяснить наблюдаемый спектр комбинационного рассеяния этого кристалла (см. рис. 81, а). Наблюдаемый спектр можно подразделить на три области. Интервал 670—800 см соответствует суммарным переходам пар оптических фононов вторая область простирается от 293 до 613 r , соответствующие линии возникают за счет суммарных комбинаций пар оптических и акустических фононов в интервале 150—289 см , по-видимому, проявляются фононы поперечной акустической ветви. Разностные процессы не приводят к появлению комбинационного рассеяния вследствие достаточно низкой температуры кристалла. Линии с частотами 366 и 422 см- возникают вследствие комбинационного рассеяния первого порядка на поперечных и продольных длинноволновых оптических колебаниях. Пик интенсивности при 289 см- -, вероятно, соответствует суммарному процессу пар фононов края поперечной акустической ветви. Пик интенсивности при 804 сл< соответствует обертонному переходу на продольном длинноволновом оптическом колебании. Наличие нескольких максимумов в области 786 см свидетельствует о том, что поперечная оптическая ветвь сильно смещается при [c.469]

В 1931 г. вышла книга Бриллюэна [17], в которой была предложена теория зон Бриллюэна. Эти взгляды нашли развитие в работах С. Т. Ко-нобеевского [18], Ф. Зейца [3], Джонса 120] и других авторов и за прошедшие 30 лет превратились в широко разработанное учение (см. также [2], [51), некоторых положений которого мы касаемся в этом и следующих параграфах. [c.321]

Объем AF, общий для двух зон Бриллюэна вокруг X и Нп, определялся в сферической системе координат с началом в узле Нп (рис. 1, б). Для удобства были введены следующие обозначения X = Рп = ХЯ /<7 , XQ/q = Yx + f — 2p x ost, ф —угол между ХНп и H Q, ф —угол вращения треугольника XQHn вокруг ХН п. Тогда объем [c.165]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология