Область асимптотической

Определение области асимптотической [c.164]

Чтобы найти границы области асимптотической устойчивости положения равновесия, соответствующие найденной функции Ляпунова, определим условия смены знака V. Для этого приравняем (V, 11) нулю и найдем пересечение кривой У = О с осью I, т. е. с прямой т] = О [c.166]

Предположим, что устойчивая чаша имеет ограниченные размеры, как и должно быть в практической задаче. Тогда поверхность становится подобной кратеру вулкана (рис. И1-За). При этом одна из траекторий определит на плоскости к , х, ограниченную область асимптотической устойчивости, внутри которой все траектории сходятся к устойчивому стационарному состоянию (рис. П1-36). Внешние траектории на этом рисунке отклоняются от границы области асимптотической устойчивости. [c.56]

Рис. П1-3. Вулкан в трех измерениях (а) проекция траектории на плоскость и область асимптотической устойчивости (б),

Возвращаясь к разделу Функция Ляпунова (гл. IV), заметим, что доказательства устойчивости в малом основывались на том, что ни одна траектория не может пересечь и-контур во внешнем направлении (см. рис. 1У-2). Если это так, то можно предположить, что площадь на фазовой плоскости, ограниченная и-контуром, будет областью устойчивости, за пределы которой ни одна траектория не может выйти. Далее, поскольку функция Ляпунова устанавливает асимптотическую устойчивость в малом, таким способом можно получить область асимптотической устойчивости. Различие между областью устойчивости и областью асимптотической устойчивости можно установить только в том случае, когда существует траектория, вдоль которой и = 0. Если с целью такого разграничения вместо неравенства (IV, 11 в) используется (IV, Пд), то полученный ряд условий будет достаточным для установления области устойчивости (но не асимптотической устойчивости). Область асимптотической устойчивости иногда называют областью притяжения. Когда такая область распространена на весь диапазон возможных траекторий, то систему называют устойчивой в целом (или полностью устойчивой). [c.91]

Поскольку функция Ляпунова дает ряд концентрических и-кон-туров, очень просто в зависимости от целесообразности выбрать как наименьшую, так и наибольшую области асимптотической устойчивости. Хотя с первого взгляда и кажется, что лучшими будут наименьшая или наибольшая области асимптотической устойчивости, в действительности это не обязательно так. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим два крайних случая. Если область асимптотической [c.91]

Из четырех условий (IV. П), которые подтверждают, что выбранная V является функцией Ляпунова, точность третьего условия (IV, Пв) обычно очень трудно доказать. Для некоторых задач V (х) будет отрицательно-определенной в некотором диапазоне х, но не для всех значений х. Это является доказательством устойчивости в малом, если стационарное состояние находится внутри приемлемой области, определенной условием и (х) < О, но не на границе этой области. Указанное ограничение, накладываемое на V, может служить также для определения области асимптотической устойчивости, но достаточно ли велика будет эта область для инженерных целей, зависит исключительно от физической сущности задачи и численных значений используемых при этом величин. [c.92]

Пример V- . Найдите наибольшую возможную область асимптотической устойчивости для системы [c.92]

Любая и-окружность, полностью помещающаяся в области у < О, будет областью асимптотической устойчивости, а наибольшая область асимптотической устойчивости находится как окружность, расположенная касательно к кривой у = 0. Точки касания имеют координаты х, = 1,86 и Ха = +0,95 для окружности радиусом 2,09. Важно отметить, что любая область за пределами этой окружности не может быть определенно частью области асимптотической устойчивости, хотя траектории в подобной области могут двигаться в направлении уменьшающейся у. Пока еще нет уверенности в том, что ни одна из траекторий не попадет в запрещенную область у>0. Читатель должен убедиться, что траектория, начинающаяся в точке А на рис. У-2, например, могла бы двигаться к меньшим у-окружностям и даже войти в область у> 0. Если бы это произошло, то траектория начала бы двигаться от начала координат, удаляясь от него как угодно далеко. [c.93]

Однако нельзя сказать, что под действием таких возмущений система обязательно будет неустойчивой. Просто, раз нет способа убедиться в этом, область вне окружности, касающейся кривой у = О, имеет характер неопределенной устойчивости. Может ли иной выбор у-функции дать наибольшую область асимптотической устойчивости Ответ положителен, например, когда [c.93]

Пример V-2. Может ли быть установлена область асимптотической устойчивости приемлемых размеров для (П1,6) путем использования круговой у-функции [c.93]

Рис. У-З. Круговая область асимптотической устойчивости проточного реактора с перевешиванием (пример У-2).

Рис. У-4. Эллиптическая область асимптотической устойчивости проточного реактора с перемешиванием (пример У-З).

Область асимптотической устойчивости является областью в (хх, х ), в которой в соответствии с уравнениями (У.15) и (У.16) [c.97]

Рис. У-8. Области асимптотической устойчивости при различных значениях параметров функции Ляпунова,

Как и прежде, наибольшая область асимптотической устойчивости будет ограничена окружностью, касающейся кривой V — 0. Результат такого вычисления по Бергеру (1964 г.) дан на рис. У-7, где, как и ожидалось, замкнутые контуры, соответствующие окружностям в / 2), не являются окружностями в (х , х ). [c.99]

Некоторые результаты Бергера показаны на рис. У-8, где даны очертания наибольшей области асимптотической устойчивости, найденной при любом выборе Р. [c.100]

Ряд причин приводит инженера к необходимости поиска наибольшей области асимптотической устойчивости для данного выбора V. Во-первых, при этом получается предельный результат, и, если наибольшая область асимптотической устойчивости слишком мала, то дальнейшая работа с выбранной функцией Ляпунова будет нецелесообразна. Во-вторых, поскольку семейство у-контуров расположено вокруг общего центра, нетрудно найти, если это необходимо, меньшую область асимптотической устойчивости, концентричную наибольшей области. В-третьих, наибольшая область асимптотической устойчивости определяет ту часть диапазона начальных условий, в которой система асимптотически устойчива если этот диапазон уже известен (например, после численного интегрирования уравнений системы), то относительный размер наибольшей области асимптотической устойчивости может рассматриваться как мера степени надежности, связанная с выбранной функцией Ляпунова. [c.100]

Для отыскания наибольшей области асимптотической устойчивости необходимо использовать теорию оптимизации. Это становится ясным при формализации процедуры поиска и-контура, который касается кривой и = 0. Такой и-контур может быть установлен двумя способами 1) нахождением минимума при условии, что и = О, и 2) нахождением максимума при условии, что V = К и К увеличивается до тех пор, пока не будет достигнут максимум V = 0. Оба указанных способа можно выразить в формулах классического исследования экстремума с помощью множителей Лагранжа. [c.100]

В первом разделе этой главы со ссылкой на рис. -1 отмечалось, что установление единственности и устойчивости в малом стационарного состояния еще не обеспечивает необходимой формы траектории. То же можно сказать об области асимптотической устойчивости, поскольку установление ее существования еще не обеспечивает возможности численного расчета. Действительно, система с областью асимптотической устойчивости может быть практически бесполезной, если ее траектории выходят за допустимые пределы, в то время как неустойчивая в малом система может удовлетворять инженерным требованиям, если ее траектории остаются внутри допустимой области. С этой точки зрения требуется новое определение устойчивости, которое полностью отвечало бы практическим целям расчета. [c.102]

Решение. Области асимптотической устойчивости данной системы уже были найдены. Внутри любой такой области находится семейство концентрических контуров. Если соответствующая функция Ляпунова считается нормой, любая пара этих концентрических контуров может быть связана с определением (V, 33). Остается только рещить вопрос о практических размерах области. Например, по рис. У-З, У-4 или У-7—У-10 система практически устойчива, если никакие возмущения не приводят к превышению границы области асимптотической устойчивости и любая траектория в такой области приемлема. [c.103]

Это уравнение допускает использование различных характеристик систем с сосредоточенными параметрами. В частности, можно использовать функции Ляпунова, которые были применены к нелинейным системам средней размерности для получения областей асимптотической устойчивости. [c.204]

Можно сделать вывод, что область асимптотической устойчивости в пространстве х (z) отображается в соответствующую область в пространстве с распределенными параметрами. Для того чтобы понять, почему это происходит, рассмотрим сначала все точки на радиальной линии от начала координат до границы области асимптотической устойчивости. Вдоль этой линии отношения [c.206]

Назовем полученную область объединением устойчивости или, когда это необходимо, объединением асимптотической устойчивости. Можно ожидать, что объединение асимптотической устойчивости будет строго определено, если соответствующая область асимптотической устойчивости основана на анализе Ляпунова. Однако для определения ограниченной области в пространстве х (г) могут быть использованы и другие методы. Характерные особенности отображения, связывающего область асимптотической устойчивости и объединение асимптотической устойчивости, не зависят от метода, который используется при нахождении объединения асимптотической устойчивости. Необходимо, однако, соблюдать осторожность, так как неявно предполагалось, что исследуемое возмущение адекватно аппроксимируется приближенным рещением но оказывается, что это предположение включает относительно широкий класс возмущений, особенно, если степень аппроксимации п достаточна. [c.207]

Любое положительное сначала отклонение будет развиваться в высокотемпературное стационарное устойчивое состояние, тогда как любое отрицательное отклонение будет развиваться в сторону низкотемпературного стационарного состояния. Это является основой для нахождения областей асимптотической устойчивости I и II, показанных на рис. УШ-гЗ для того же случая, что и на рис. У1П-21. [c.212]

В результате этих рассуждений определяем еще две области асимптотической устойчивости (III и IV), где траектории проходят между устойчивыми стационарными состояниями и физическими ограничениями Го и ад- [c.212]

Следует заметить, что используемое понятие подобласти области асимптотической устойчивости связано с любым начальным условием линейного вида, но не с произвольным профилем, как было в случае любой из четырех областей на рис. VIП-23. В этом смысле сделанный вывод похож на вывод объединения асимптотической устойчивости. [c.214]

Область асимптотических расстояний, на которых действуют дисперсионные силы, дает, таким образом, уникальную возможность строгого решения задачи в рамках теории систем с бесконечным числом взаимодействующих степеней свободы. [c.168]

Пластическая зона как бы сдвигает область асимптотического распределения напряжений на расстояние Поэтому, если длину трещины фиктивно увеличить на г,,, появляется возможность [c.181]

Как и в предыдущем примере, полезно использовать у = О, чтобы разделить фазовую плоскость на области положительной и отрицательной и. Необходимо сделать конкретный выбор выражения для скорости реакции г (х,, х ) и других параметров. Используем кинетическое уравнение (1.66). Числовые значения, предложенные Бергером и Перлмуттером (см. пример П-З), соответствуют системе с единственным стационарным состоянием при s = 0,165 фунт-моль/фут , = 550 R. Приравнивая к нулю правую часть (V.6), получим квадратное урявнение, определяющее кривую V = О, которая показана на рис. V-3. Таким образом, область асимптотической устойчивости существует внутри любой окружности, которая не попадает в затемненную область и > 0. Наибольшая из таких окружностей приведена на рис. V-3. Из этого рисунка следует, что с точки зрения устойчивости вполне допустимо мгновенное увеличение температуры приблизительно на 20° F. Является ли такое отклонение приемлемым и следует ли анализировать влияние других факторов, которые здесь не рассматривались, должен решать инженер. [c.94]

Вследствие того, что модифицированный метод коллокации сохраняет переменные состояния исходной постановки задачи с распределенными параметрами, любая область устойчивости, найденная для уравнений (VIII, 23), будет выражаться в обозначениях отклонения концентрации и температуры в точках коллокации. Например, если /г = 2, то область асимптотической устойчивости для (VIII, 23) будет областью в четырехмерном пространстве [c.204]

Читателю важно понять, что каждая точка пространства х (z) дает единственные профили х- (г) и (г). Эту операцию называют иногда отображением. Для случая п = 2, разобранного выше, z-, и являются корнями полинома (г ) = О и необходимы только четыре компонента вектора (VIII, 25), чтобы фиксировать Ьгидва профиля. С течением времени изменения х (z) дают траекторию, как и для любой модели с сосредоточенными параметрами. Следовательно, профили изменяют вид и положение. Поскольку любая траектория в области асимптотической устойчивости должна обязательно идти к началу координат х (z) = О, то соответствующие профили возмущений должны стремиться к стационарному состоянию системы с распределенными параметрами [c.206]

Решение. Для уравнения (VII, 21) модифицированный метод коллокации дает ряд обыкновенных дифференциальных уравнений (VIII, 23а). Индексы при х могут быть упущены, поскольку температурное отклонение является единственной переменной состояния. Для того чтобы определить область асимптотической устойчивости, можно использовать простейшую функцию Ляпунова [c.208]

Для нахождения наибольшей области v < К, внутри которой v < О, необходимо проделать определенные вычисления. Такие вычисления были проведены Макговином (1971 г.), который использовал методику Бергера и Лапидуса, описанную в гл. V. При /1=2 наибольшая область асимптотической устойчивости для низкотемпературного стационарного состояния может быть найдена внутри круга [c.208]

Проведенный анализ является более общим в том плане, что возмущение не ограничено, как это было сделано в гл. VII. Следовательно, рис. VIII-22, а в координатах температура — положение необходимо дополнить рис. VIП-22, б в координатах концентрация — положение. Эти области асимптотической устойчивости, как и на рис. VIИ-21, применимы только к концентрационным и температурным возмущениям противоположных знаков, которые целиком находятся между соответствующими профилями областей асимптотической устойчивости и профилями стационарных состояний. Области, определенные для температурных и концентрационных воз- [c.210]

Рис. VIII-23. Профили стационарных состояний рис. VI-IO с областями асимптотической устойчивости, полученными с помощью принципа максимума [Ласс и Ли (1968 г.)].

При больших I электрон почти все время находится в области асимптотического поля, т.е. уровни сталовятся водородоподобшл ш. [c.21]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология