Интегралы неприводимые

Согласно предыдущему, этот интеграл отличен от нуля только тогда, когда в разложении прямого произведения X Г . X Гу на неприводимые представления содержится полносимметричное представление Л,. [c.33]

Однако в результате интегрирования по объему функция [и/зз/з дает второй неприводимый интеграл. Рг [c.255]

С — постоянная уравнения БЭТ, общее обозначение константы с — скорость света с — молярная концентрация Су — теплоемкость при постоянном объеме Ср — теплоемкость прн постоянном давлении Р — коэффициент изотермической сжимаемости р. — 1-й неприводимый интеграл теории Майера (в статистике) [c.304]

В квантовомеханическом описании свойств молекул часто приходится вычислять интегралы от произведения функций, и оказывается полезным знать их отношение к преобразованиям симметрии. Почему так Причина состоит в том, что интеграл будет обращаться в нуль, если только подынтегральное выражение, состоящее из произведения двух или более функций, не будет инвариантно ко всем операциям симметрии данной точечной группы. Это означает, что интеграл не равен нулю, только если подынтегральное выражение принадлежит к полностью симметричному неприводимому представлению точечной группы данной молекулы. [c.221]

Вышеприведенный интеграл содержит оператор Я, который всегда принадлежит к полностью симметричному неприводимому представлению. Следовательно, симметрия всего подынтегрального выражения будет определяться симметрией прямого произведения /,- и 1 / . Как было показано в гл. 4, прямое произведение представлений и v /j принадлежит к полносимметричному неприводимому представлению, только если и (/у относятся к тому же неприводимому представлению. Итак, подводя итог, можно утверждать, что интеграл энергии будет отличаться от нуля, только если ч , и ч/j принадлежат к тому же самому неприводимому представлению точечной группы изучаемой молекулы. [c.247]

Т. е. если прямое произведение представлений двух одинаковых функций о (функция с одинаковой симметрией) содержит представление Q . Нам известно, что прямое произведение двух функций с одинаковой симметрией всегда содержит полносимметричное представление. Следовательно, интеграл будет отличаться от нуля, если только принадлежит к полносимметричному неприводимому представлению точечной группы молекулы. Отсюда мы можем сделать вывод, что координата реакции, за исключением точек максимума и минимума, принадлежит к полносимметричному неприводимому представлению точечной группы данной молекулы. [c.318]

В расчетах, основанных на использовании теории возмущений, большую помощь оказывает применение теории групп. На основе теоретико-группового рассмотрения, или учета симметрии, удается показать, что многие интегралы оказываются тождественно равными нулю. Всякое наблюдаемое свойство системы должно быть инвариантным при любом преобразовании симметрии системы. Другими словами, наблюдаемые величины должны быть скалярными, а не векторными, операторными и т. д. С теоретико-групповой точки зрения это означает, что любой интеграл (или любая другая функция, представляющая наблюдаемую величину) должен преобразовываться по полносимметричному неприводимому представлению группы, к которой относится данная система. (Полносимметричное представление является единственным скалярным представлением группы и таким, в котором каждый элемент группы отображается на скаляр, равный + ) Поскольку каждую функцию или оператор, входящие в интеграл, можно отнести к некоторому неприводимому представлению (или к комбинации неприводимых представлений) группы и поскольку известны правила умножения для представлений, нетрудно определить представление, по которому преобразуется любая подынтегральная функция. Если это представление не совпадает с полносимметричным представлением или не содержит его в себе, то нет никакой необходимости проводить вычисление интеграла, так как заведомо известно, что он должен быть равен нулю. В расчетах по теории возмущений на основании такого анализа можно, например, установить, равна ли нулю поправка первого приближения к энергии и какие коэффициенты в разложении первого порядка для волновой функции или в разложении второго порядка для энергии оказываются равными нулю. [c.115]

Интеграл <ст/]стг> отличается от нуля лишь при условии, что для каждого состояния / и i представления, описывающие спин, одинаковы, поскольку полносимметричное неприводимое представление входит только в произведение двух одинаковых представлений. Полное спиновое квантовое число S является индексом неприводимого представления, описывающего спин в группе [c.177]

На каждый из одноэлектронных интегралов налагаются обычные ограничения по симметрии. Другими словами, (0/ f (0) О только в том случае, если п ФЧ принадлежат к одному и тому же неприводимому представлению точечной группы симметрии системы. Следовательно, интеграл перекрывания Srp не равен нулю только тогда, когда одноэлектронные орбитали реагентов и продуктов принадлежат к одним и тем же неприводимым представлениям. Энергетическая последовательность орбиталей несущественна лишь до тех пор, пока они входят в число занятых орбиталей. Если неприводимые представления орбиталей продуктов и реагентов одинаковы, то одна из перестановок выражения (18.6) окажется отличной от нуля. [c.386]

Интеграл наложения волновых функций (136,8) отличен от нуля только в том случае, когда функции Ф и Ф имеют одинаковую симметрию (относятся, к одинаковому неприводимому представлению группы). Если Ф соответствует основному состоянию молекулы (о = 0), то для полностью симметричных колебаний ядер в верхнем электронном состоянии возможны у = О, 1, 2,. .. Для колебаний, антисимметричных по отношению к некоторым элементам симметрии группы, воз.можны четные значения и = О, 2, 4,. .. [c.667]

Для того чтобы Mg q) было отлично от нуля, должны быть отличны от нуля некоторые q) и M s- Величины Mgs не равны нулю для чисто электронного перехода, разрешенного правилами отбора по спину и по соображениям симметрии. Для того, чтобы ( ) было отлично от нуля, интеграл в выражении (48) должен образовывать базис представления, которое содержит по крайней мере одно полностью симметричное неприводимое иредставление группы симметрии, к которой принадлежит молекула. Это последнее требование можно использовать для того, чтобы определить, какие колебания могут приводить к смешиванию двух электронных состояний известной симметрии. [c.47]

Используя определение (2.5.4) неприводимых корреляторов, получим разложение Р в интегро-степенной ряд [c.209]

Интегрирование второго и третьего членов в уравнении (71.9), очевидно, приведет к тому же ре льтату таким образом, первые три члена дадут в сумме 3 % Последний член в уравнении (71.9) не может быть упрощен, и поэтому сокращенно обозначается символом и называется вторым неприводимым интегралом (первых неприводимый интеграл —3,). Таким образом. [c.585]

Из приведенных выше рассуждений очевидно, что каждый интеграл по ансамблю bi может быть представлен суммой членов, каждый из которых содержит один или более неприводимых интегралов. Таким образом, первыми четырьмя интегралами по ансамблям будут [c.587]

Как видно из (3.55), семейство А = (Л/) ,, где Лу = ВЦ состоит из самосопряженных коммутирующих операторов. Будем по нему строить разложение Я в прямой интеграл (3.4), беря в качестве т множество X 5 X. .. (для фиксированного неприводимого представления) благодаря ограниченности операторов, фигурирующих в (3.55), трудностей с построением оснащения не будет. Первые два равенства в (3.55) имеют вид (3.11) с должным выбором отображения Р ( ) пространства точек А. = (Яу) в себя. Третье равенство в (3.55) должно быть учтено при описании свойств операторов С ( , ) в коммутативной модели. В результате получим следующее представление. Пусть б = (буу ) , к 1Ы), тогда [c.379]

Если среди представлений Г1, Гг, Гз,. .. нет тождественного, то соотношение (7.2.49) может быть выполнено только при условии / 0. Говоря языком теории групп, мы пришли к следующему важному результату если представление Г не содержится в раз ложении произведения Гв (2> Г на неприводимые представления, то интеграл / равен нулю . Такая формулировка возможна в силу известного в теории представлений групп факта прямое произ- [c.180]

Отсюда следует, что интеграл в выражении (2.17) не равен нулю тогда, когда функция 11) относится к полносимметричному неприводимому представлению либо относится к такому приводимому представлению, в разложении которого на неприводимые содержится полносимметричное представление [1, 2, 3]. Рассмотрим матричный элемент перехода квадрат которого определяет вероятность перехода между состояниями I и / для электрического дипольного излучения [1]. Пусть функции, стоящие под зйаком интеграла, являются базисными функциями представлений Г и Г/ соответственно. [c.33]

Прямое произведение представлений. Очень часто в прикладных задачах встречаются выражения, которые содержат произведения функций, преобразующихся по тем или иным представлениям точечных групп. В частности, в 2 и 3 предшествующей главы уже встречались интегралы вида <ф /) ф>, в которых как функции и ф, так и оператор дипольного момента могут преобразовываться по различным неприводимым представлениям. Возникает естественный вопрос, по какому представлению в этих случаях будет преобразовываться подынтегральное выражение и как специфика получаемых преобразований будет отражаться на величине указанного интеграла. [c.206]

Таким образом, интеграл от функции, преобразующейся по неприводимому представлению Г, отличному от единичного, или полносимметричного представления Г , равен нулю. Как следует из этого рассуждения, от условия сходимости интеграла/, можно, вообще говоря, отказаться. Если функция ф преобразуется по приводимому представлению которое может быть приведено [c.223]

В зависимости от выбранной системы у, и V /j могут быть атомными орбиталями, которые используются для построения молекулярных орбиталей, или же они могут относиться к различным электронным состояниям данного атома или молекулы и т. д. В таком случае энергия отражает степень взаимодействия между волновыми функциями i)/ и ij. Как уже отмечалось в гл. 4, интеграл отличается от нуля, только если подьштегральное выражение инвариантно к операциям симметрии точечной группы, т. е. оно должно принадлежать к полносимметричному неприводимому представлению. [c.247]

Любой интеграл вида <115/1 (5] 11), > отличается от нуля только в том случае, если в произведении неприводимых представлений ГгХГоХГ/ содержится полносимметричное неприводимое представление. Оператор Гамильто на, а также его различные части являются полносимметричными. о-Орбитали симметричны относительно отражения в молекулярной плоскости, а я-орбитали антисимметричны. Следовательно, произведение ГаХГя антисимметрично по крайней мере относительно этой операции и поэтому не может быть полносимметричным. Однако двухэлектронные интегралы могут включать две 0-функции и две я-функции. Эти интегралы могут отличаться от нуля, если две а-функции и две я-функции совпадают либо если каждая из о- и я-функций имеет одинаковое поведение относительно всех генераторов, за исключением молекулярной плоскости симметрии. [c.431]

Неприводимые интегралы могут быть выражены общей формулой, основывающейся па том обстоятельстве, что, за исключением нормирующего множителя 1/ V, неприводимый интеграл является интегралом по конфигурационному пространству 5 1 молекул. Интегрируе.мая функция представляет собой сумму всех произведений членов соответствующих. 9Н-1 [c.586]

Вообще 1п может отличаться от Ineo, и разница зависит как от величины I, так и от неприводимого интеграла Истинная природа этого расхождения не Ихмеет для нас значения и формально оно может быть представлено как некоторая функция 1п/(/, 3) следовательно, [c.592]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология