Чебышева

Для п 1, 2, 3,. .. вид многочленов Чебышева первого рода определяется выражением ( 2] [c.165]

Из этих выражений можно получить формулы для первЫх многочленов Чебышева Т (х) [c.166]

На практике, однако, достаточно знать только То и Ti, так как численные значения всех последующих многочленов Чебышева определяются по простой рекуррентной формуле [c.166]

Интервал ортогонализации многочленов Чебышева Г (х) а = —1 Ь = I. Все определяется выражением [c.166]

При аппроксимации зависимостей, заданных графически в виде лекальных кривых, использовано важное свойство [30] ортогональных многочленов, заключающееся в том, что если в интервале (—1, 1) значения Xi, выбрать равными корням многочлена Чебышева Г (X), т. е. положить [c.166]

Отображение абсцисс Х[ массива экспериментальных точек (рис. 4.30, а), заключенного между некоторыми значениями Хтах и д п,1п. на отрезок (—1, 1), равный интервалу ортогонализации многочленов Чебышева, для которого =1 и Хтщ=—1 [c.167]

Рассмотрим непосредственно программу аппроксимации одномерного массива произвольно расположенных точек Xi, у, ортогональными многочленами Чебышева с автоматическим выбором такой степени старшего полинома, чтобы получаемая погрешность не превосходила наперед заданную. Подразумевается, что все идентификаторы объявлены в начале программы. По мере описания программы будут даваться комментарии, которые в самой программе могут быть опущены. [c.168]

Для представления одномерных характеристик лучше применять интерполяцию, так как она является первичной в том смысле, что сама используется при аппроксимации. Если располагать узловые точки чаще на участках с большой кривизной и реже на участках с малой кривизной, то массив исходных данных при интерполяции может быть не больше массива коэффициентов аппроксимации, даже если принять во внимание, что для каждой точки задаются два числа, определяющих ее координаты. Однако с точки зрения быстродействия аппроксимация ортогональными многочленами Чебышева является предпочтительной. [c.180]

Метод акад. Чебышева [c.18]

Метод акад. Чебышева для подбора коэффициентов эмпирических уравнений типа [c.18]

Выше уже было указано, что метод акад. Чебышева применим только в тех случаях, когда численные значения зависимой переменной (теплоемкости) известны для равноотстоящих друг от друга значений независимой переменной (температуры). По этой причине указанный метод, например, не может быть использован для составления уравнения зависимости теплоемкости бензола от температуры по экспериментальным данным, представленным в табл. И. [c.23]

Таким образом, получение оценки параметра и доверительного интервала существенно зависит от вида функции распределения, которая, к сожалению, не всегда является функцией Гаусса. Если число измерений невелико и вид распределения неизвестен, то можно воспользоваться неравенством Чебышева [c.144]

В качестве функций используются ортогональные полиномы Эрмита, Чебышева и Лежандра. Тогда, если система функций т) , является полной, неизвестная плотность распределения р случайной величины представима в виде [c.182]

И, наконец, построение выборочной плотности распределения в виде разложения по биортогональным полиномам может быть эффективно проведено для любых непрерывных плотностей распределения ошибок наблюдений, заданных как аналитически, так и численно. Причем необходимо отметить, что вследствие выбора весовой функции погрешность аппроксимации р (0) полиномами Чебышева—Эрмита будет наименьшей вблизи максимума по в функции р (0) и при стремлении 0 к бесконечности будет постепенно увеличиваться. Тем самым с наибольшей точностью аппроксимируется р (0) в окрестности оценок обобщенного максимального правдоподобия, что, конечно, в первую очередь и интересует исследователя [26J. [c.185]

Аппроксимируем плотность распределения р (0) отрезком ряда по многочленам Чебышева—Эрмита. Причем для аппроксимации р (0) используется по возможности меньшее число членов ряда [26]. [c.186]

Обычно оказывается достаточным вычислить от 1000 до 3000 случайных векторов 0 , чтобы аппроксимировать р (9) полиномами Чебышева—Эрмита с необходимой для практики точностью. [c.186]

Результаты вычислений сопоставлялись с точными значениями и К5,, вычисленными на машине. При сопоставлении выяснилось, что каждому точному значению а. и соответствует несколько приближенных значений. Данные ряды значений выравнены по методу Чебышева в результате получено, что [c.33]

Предположим, что относительное отклонение К—величина V— равно 0,15.. Тогда, используя неравенства Чебышева [71, можем записать [c.83]

Используя неравенство Чебышева для трех стандартных или средних квадратических отклонений, т, е. для /г=3, определим доверительную вероятность-получения нормированной переменной [c.83]

Согласно неравенству Чебышева, вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет по абсолютной величине не меньше любого положительного числа [c.75]

При доверительной вероятности р=1—р неравенство Чебышева даст для генерального среднего т доверительную оценку [c.75]

Большая простота и универсальность позволяют использовать неравенство Чебышева для теоретических заключений, хотя для практических расчетов оно оказывается слишком грубым. Оценки, получаемые на основании неравенства Чебышева, намного уступают оценкам, полученным для нормального распределения. Так, при Р = 0,95 для нормального распределения в формуле (11.153) вместо 4,4( стоял множитель 1,96. Это объясняется тем, что при обработке нормального распределения известна плотность распределения изучаемой случайной величины. При использовании же неравенства Чебышева о плотности распределения ничего не известно. Если удается получить какую-либо информацию о плотности изучаемого распределения, это позволяет улучшить оценки. Так, если известно, что плотность изучаемого распределения симметрично убывает по обе стороны от математического ожидания (так называемое симметричное одновершинное распределение), то неравенство Чебышева справедливо в усиленной форме [c.76]

Полиномы Чебышева. Уравнение регрессии, выраженное через полиномы Чебышева, имеет вид [c.139]

Полученные значения 2 , и полиномов Чебышева, посчитанных по формулам (IV.63), (IV.65) и (IV.66), в которые вместо х подставлены значения =1, 2,. ... .., II, приведены в таблице. [c.142]

Уточнение аппроксимирующей зависимости. После вычисления коэффициентов аппроксимирующего полинома по одному из представленных методов может оказаться, что отклонения расчетной и экспериментальной зависимостей будут все же более значительными, чем это желательно. В этом случае целесообразно изменить степень полинома при многочленном приближении и повторить вычисление коэффициентов, т. е. попытаться подобрать полином наилучшего приближения. Иногда целесообразнее улучшить распределение погрешности путем введения дополнительного коэффициента в полученную полиномиальную аппроксимацию или воспользоваться экономизацией многочлена с помощью полиномов Чебышева. [c.325]

Экономизация зависимости с помощью полиномов Чебышева основана на том, что аппроксимация полиномами Чебышева по сравнению с другими полиномами такой же степени обеспечивает наименьшее отклонение функции. Более того, при заданной точности такие полиномы позволяют уменьшить число членов разложения. Последнее особенно важно при использовании вычислительных машин для расчетов, так как соответственно уменьшаются ошибки округления и затраты машинного времени. Уменьшение числа членов аппроксимирующего многочлена с помощью полиномов Чебышева носит название процесса экономизации. [c.325]

Полиномы Чебышева принадлежат классу ортогональных полиномов и определяются следующей формулой [c.325]

Полиномы Чебышева ортогональны на интервале [—1, 1], т. е. [c.326]

Основным свойством полиномов Чебышева является то, что они обеспечивают равномерное приближение функции на интервале [—1, 1] и дают в этом интервале наименьшее отклонение от нуля по сравнению с другими полиномами такой же степени со старшим коэффициентом, равным единице [40]. [c.326]

Вид ортогональных многочленов при аппроксимации зависимостей, заданных дискретным множеством точек, может быть различным. В частности, они могут быть получены из линейнонезависимой последовательности 1, х, х методом ортогонализа-ции Грама — Шмидта [30J. Однако с целью сокращения времени лучше использовать многочлены, которые могут быть вычислены по рекуррентным формулам, что благоприятно сказывается, кроме того, и на точности вычислений. Нами были избраны из числа известных ортогональные многочлены Чебышева первого рода [c.165]

Рпс. 4.29. Определение узловых То гек для аппрокспмацн 1 ортогональными многочленами Чебышева [c.167]

Рис. 4,30. Огображение одномерных и двумерных характеристик в интервал ортогонализации многочленов Чебышева (—1, 1)

OMMENT Операторы 7—8 определяют значения многочленов Чебышева всех N степеней по первым двум и рекуррентной формуле (4.24), Оператор 9 вычисляет значение у по формуле (4.29) [c.170]

В. И. X о т и м с к и й. Выравнивание статистических рядов по методу наименьших квадратов (способ Чебышева). Управление печати и пропаганды ВСНХ, Москва (1925). [c.47]

Предлагается новый метод определения р (0), свободный от указанных недостатков и не использующий в процессе принятия решения о численных значениях 0 процедуру линеаризации исходной кинетической модели. Суть метода состоит в построении выборочной плотности распределения параметров нелинейной модели в виде разложения по биортогональной системе полиномов Чебышева—Эрмита. Причем необходимые для расчетов коэффициентов разложения выборочные реализации случайного вектора наблюдений генерируются с использованием метода статистиче ского моделирования [24, 25]. [c.184]

Существуют веские причины выбора в качестве системы функций для аппроксимации неизвестной плотностп распределения параметров полиномов Чебышева—Эрмита. Во-первых, широкий класс плотностей распределения, встречающихся на практике, с произвольной точностью может быть аппроксимирован этой [c.184]

Второй метод дискриминации моделей основан на усовершенствовании наиболее часто применяемых в физико-химических исследованиях процедур — энтропийной Бокса—Хилла и обобщенного отношения вероятностей. Оно достигается за счет того, что с использованием ранее развитого способа построения выборочной плотности распределения параметров оказывается возможным построить также выборочную плотность распределения наблюдений, аппроксимируемую с необходимой точностью системой полиномов Чебышева—Эрмита. Последняя позволяет вычислить не приближенные, а точные значения дискриминирующих критериев, которые устанавливают как меру различия между конкурирующими моделями, так и условия проведения дискриминирующих опытов. Тем самым существенно повышается надежность используемых процедур дискриминации, направленных на поиск истинной физико-химической модели процесса, а также значительно сокращается длительность самой процедуры поиска, что приводит к заметному сокращению времени экспериментирования. [c.199]

И, ледовательно, отклонения от математического ожидания, нре-вынающие Зад.-, практически невозможны (см. формулу (11.119)). Вьборочный коэффициент асимметрии имеет симметричное одновершинное распределение. Если имеется выборка Х, x ,. .., Хп из rei еральной совокупности с неизвестным распределением, полезно проверить гипотезу о том, что наблюдаемое распределенне симмет-ри IHO. Подтверждение этой гипотезы позволило бы применить усиленное неравенство Чебышева (11.154). Гипотеза о симметричности справедлива, если вероятность значений х<х в выборке равна А- [c.76]

Решение. Применим метод Чебышева для получения уравнения регрессии степени днссоциации от температуры. Сделаем замену переменных по формуле [c.142]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология