Ошибка из округления величин

Большие трудности бывают обусловлены причинами, совершенно неожиданными для неопытного исследователя. Речь идет об ошибке, связанной с округлением величин. Для большинства нестатистических задач, проводя расчеты, можно брать величины, содержащие на одну или две значащие цифры больше, чем мы хотим получить в окончательном ответе. Однако в статистических расчетах этого, как правило, бывает недостаточно, потому что на том или ином их этапе непременно приходится определять разность двух близких величин, что всегда ведет к потере нескольких значащих цифр. Рассмотрим, например, разность 1,38204—1,38195 = 0,00009. Каждое из исходных чисел содержит шесть значащих цифр, а в разности мы имеем только одну. Полезно проделать расчет Км при помощи уравнения (10.29) для серии данных, приведенных в табл. 10.1. Так как численные значе- [c.256]

Неизвестные величины можно найти по значениям при помощи всего лишь двух умножений, вследствие чего ошибка округления мала. [c.197]

При обработке экспериментальных данных интерполяционные формулы не всегда удобны. Во-первых, при большом числе точек аппроксимирующие полиномы имеют высокую степень, поэтому при вычислениях с ними из-за большой величины отдельных слагаемых полинома могут возникнуть ошибки округления, обусловленные конечной точностью представления чисел в машине. Во-вторых, экспериментальные данные, как правило, имеют значительный разброс но точности измерения, особенно на концах отрезка определения функции. Поэтому вряд ли разумно всегда строить интерполяционный полином исходя из условия совпадения значений во всех узловых точках. Иногда целесообразнее воспользоваться некоторой функциональной зависимостью, вид которой заранее известен. В таких случаях параметры этой зависимости определяются из условия минимума отклонений расчетных и экспериментальных значений. [c.314]

Особую осторожность необходимо соблюдать при округлении логарифмов и антилогарифмов до подходящего числа значащих цифр. Обратимся к вышеприведенному примеру о распространении ошибки на вычисления логарифма и антилогарифма соответствующее округление величины lg2,00 10"3 приводит к результату —2,699. Оказывается, что математическое действие дает увеличение числа значащих цифр. Однако на самом деле исходная цифра 3 в результате указывает лишь на положение запятой в исходном числе информация о числе 2,00 дается тремя цифрами 0,699. Таким образом, имеется соответствие между числом значащих цифр этой части результата и исходным числом. [c.96]

Наличие недопустимых отклонений говорит либо об ошибках в предыдущих расчетах, либо о неправильном округлении величин. [c.79]

Очень часто при малых показателях ошибка, возникающая от округления величины X до двух десятичных знаков, настолько мала, что в пределах точности уравнения коэффициента а ею можно пренебречь. Например, для х = 0,114 и я = 0,25, принимая л = 0,11, мы допустим ошибку 0,9%, что не имеет значения. Но иногда при больших показателях ошибка может достигать заметной величины. Учитывая это, предложена формула интерполяции, вывод которой очень прост. [c.159]

Точное значение этой г/р программы составляет 0,100. Ошибка измерений обусловлена тем, что не был учтен мертвый объем (табл. 8), пренебрежением вторым членом уравнения (4-31) и округлением величины (табл. 10). Все эти ошибки направлены в одну сторону и, следовательно, должны суммироваться. [c.127]

Если для описания экспериментальных данных используются уравнения, содержащие несколько неизвестных, то трудности, к которым приводят ошибки, связанные с округлением величин, становятся еще более серьезными. На большинстве современных ЭВМ вычисления проводятся с двенадцатью или большим числом значащих цифр. Однако даже в этих случаях могут возникнуть затруднения при решении системы уравнений, если используется не очень хорошо отработанная программа. Эти трудности можно частично преодолеть, представляя все данные таким образом, чтобы их численные значения были как можно ближе к едн- [c.257]

В момент f = О (рис. 4.1, б). Отсюда, разностным аналогом точечного источника является единичный импульс, действующий на протяжении одного временного шага. Естественно, что по мере уменьшения Дт температурные отклики уменьшаются по величине, стремясь к нулю. Можно представить ситуацию, когда погрешности, связанные с усечением бесконечных рядов при вычислении коэффициентов матрицы Ад и правой части f, а также ошибки округления при счете на [c.70]

Прямой анализ позволяет непосредственно определить ошибку вычисленного решения задачи. В сложных расчетах при прямом анализе погрешностей округления вычисления выполняются в терминах векторных и матричных норм. Это числа, в некотором смысле характеризующие величину векторов и матриц и играющие ту же роль, что и модуль для комплексных чисел Для этой цели используются некоторые функции элементов векторов и матриц. [c.15]

Д близки к линейно зависимым. Такие определители соответствуют так называемым плохо обусловленным матрицам. Определитель плохо обусловленной матрицы близок к нулю, поэтому даже малые ошибки при измерении концентраций или округлении результатов промежуточных расчетов могут приводить к большим погрешностям вычисления параметров к Т), VI, 2, vз, например, к изменению их величин на один — два порядка или смене знака. [c.259]

Общие правила округления без учета стандартного отклонения изложены в [7]. Если нет полной уверенности в величине возникшей случайной ошибки, то лучше оставить на один десятичный знак больше. [c.104]

При оценивании по уравнению (9.19) следует обратить внимание на то, что вычисление надо вести с достаточно большим числом десятичных знаков, так как искомая сумма квадратов служит разностью часто между близкими по величине данными Поэтому здесь даже совершенно незначительные ошибки вычислений и округлений в ходе расчетов приводят к большим погрешностям. [c.167]

Таким образом, если известны функции энергии Гиббса при температуре Т и энтальпия реакции при 298° К, по уравнению (V.24) нетрудно вычислить константу равновесия и рассчитать состав равновесной газовой фазы. Как указывалось в гл. III, часто более удобно вычислять значения [А G°t — Н1 ) Т] при округленных значениях температур, обычно указанных в таблицах, и затем интерполировать их к другим температурам. При температурах выше 400° К такая линейная интерполяция часто оказывается достаточно точной. Следует отметить, что табличные значения функций энергии Гиббса практически полезны в тех случаях, когда энтальпии образования определены с большими погрешностями или являются оценочными величинами. Если энергии образования Гиббса при всех температурах содержат ошибки даже в тех случаях, когда имеются более точные значения энтальпий образования, то функции энергии Гиббса в значительно меньшей степени зависят от точности определения энтальпий. Уравнение (V.24) оказывается наиболее удобным для составления приведенных в приложении табличных значений термодинамических функций в сочетании с новыми значениями энтальпий образования. [c.157]

При расчетах на вычислительной машине получаются также ошибки из-за округления. Вследствие этого при переходе от решения в момент времени I к решению в момент времени 1 + к определяемое значение при будет соответствовать не точке а точке g. Общая величина ошибки йц в момент времени 1 + Н может быть представлена в виде суммы трех составляющих [c.228]

Хотя метод Гаусса является точным методом, неизбежное округление результатов промежуточных вычислений приводит к возникновению и накоплению погрешностей. Наиболее благоприятным случаем для возникновения ошибки является вычитание близких друг к другу величин. Тогда результат вычислений может иметь величину порядка погрешности представления чисел, что существенно искажает дальнейшие вычисления. Различные усовершенствования метода Гаусса вызваны именно стремлением повысить точность решения. [c.250]

Итоги этих вычислений и константы, окончательно применяемые в методе n-d-M, приведены в табл. 106. Незначительные изменения констант в результате округления, как было доказано, вполне допустимы, так как это не приводит к заметному увеличению величины средней ошибки. [c.433]

Доверительный интервал можно задавать как абсолютной ошибкой с представлением в тех единицах, в которых выражается результат анализа, так и относительной ошибкой, выраженной в процентах от результата анализа. В тех методах анализа, где ошибка остается постоянной для заданной области концентраций, предпочитают первый способ представления при методах анализа с постоянной относительной ошибкой предпочитают второй способ. Так как результаты анализа чаще всего выражают в процентах, следует уяснить, идет ли речь об абсолютной или об относительной ошибке. Чаще всего это указывается сокращенно (абс.), (отн.) или (проц.). Величиной ошибки определяется возможное значение отдельного измерения и среднего из нескольких измерений. Результаты измерения и ошибка должны быть выражены числами с одинаковым числом знаков после запятой. Поэтому их округляют в одинаковой степени. Для округления значения справедливы правила стандарта TGL 0-1333 (ср. гл. 10). [c.118]

Например, в результате измерения объема с помощью бюретки было получено 25,3 мл. Необходимо этот объем разделить на два. В результате деления получается 12,65 мл. Бюретка измеряет объем с точностью до 0,1 мл, значит второй знак не достоверен. Результат деления необходимо округлить до десятых долей 12,7 мл. Правило округления состоит в следующем если первая из отбрасываемых цифр 5 или более 5, то последнюю из оставляемых цифр надо увеличить на единицу. Когда первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то увеличения не делают. Если исходные данные имеют различную величину относительных ошибок, то ошибка конечного результата вычислений определяется ошибкой наименее точного из исходных данных. Окончательный результат вычислений следует давать с тем числом значащих цифр, которое содержит его ошибка. [c.5]

В этой глав применяются целые значения атомных весов углерода водорода, кислорода, азота и брома. Действительные атомные веса, которые должны применяться при точных количественных анализах, отличаются от этих округленных значений на величину, меньшую, чем возможные ошибки опыта при определении эквивалентов нейтрализации и омыления. [c.299]

Численное значение константы нестойкости показывает, что комплексный ион на свои составные части распадается весьма слабо. Поэтому вместо 0,1—а можно подставить 0,1 (такое округление, конечно, вносит ошибку в. результаты расчета, однако величина этой ошибки мала) [c.24]

Поскольку систематическая ошибка гарантирует значение числа, выражающего измеряемую величину, включительно по четвертый знак после запятой, в общей ошибке следует ограничиться этим же количеством цифр. После округления имеем [c.20]

В результате округления количества усвояемых фосфатов (вычисляемых по формуле) до 0,1 мг сумма квадратов отклонений несколько (на 0,21) отличается от вычисленной ранее, но это, конечно, не отражается на результатах определения ошибки коэффициента регрессии. Величина (. т.е. отношение коэффициента 0 7g4 [c.637]

Из других законов распределения следует упомянуть распределение по закону равной вероятности. Он моделирует поведение случайных величин, появляюидахся при ошибках округления по шкале до ближайшего целого деления, в ошибках электрических синхронных передач ступенчатого типа, в направлении векторных ошибок в механизмах, например ошибок от эксцентриситетов, перекосов осей и т. д. [c.112]

Ранее отмечалось, что одной из важнейших проблем расчета является обеспечение сходимости решения. Неустойчивость решения в значительной степени зависит от накопления ошибок округления вследствие конечности представления чисел в памяти. Особенно существенные ошибки появляются при выполнении операции вычитания сравнимых по величине чисел. Алгоритм, используемый для решения трехдиагональной системы уравнений материального баланса, не содержит операции вычитания сравнимых величин и поэтому обладает устойчивой сходимостью. Тем не менее при наличии зон постоянных концентраций возможна колебательность решения, устранить которую в большинстве случаев удается с помощью форсирующих процедур. Скорость сходимости и затраты машинного времени на решение существенно зависят от числа компонентов разделяемой смеси, числа тарелок и в меньшей степени от начального приближения. Существенным является также выбор метода определения равновесной температуры, так как эта операция выполняется на каждой итерации и для каждой тарелки. [c.341]

Среднеквадратические ошибки в величинах пр и lgYo оказались в пределах 3%. При этом нужно учесть, что средняя систематическая ошибка при определении величины. давления прессования составляла около 1,2 7о, а при определении величины у с учетом погрешности при округлении чисел —не более 0,3%. Таким образом, суммарная погрешность экспериментов только от систематических ошибок была не менее 1,3%. Следовательно, среднеквадратические отклонения вполне соизмеримы с величиной систематических ошибок в экспериментальных исследованиях. [c.145]

В табл. 12-10 вместе с величинами Ui и Vi собраны значения и Uizwi рассчитанные по данным табл. 12-2, 12-7 и 12-8. Десятичные знаки в числах для Е ж Е приведены отнюдь не в связи с высокой точностью измерений с и а обусловлены чисто математическими расчетными соображениями. Разность между 1 и Ei обычно крайне мала, и, следовательно, EiJE y, лишь незначительно превышает единицу. Поэтому следует избегать появления дополнительных ошибок за счет округления величин произведений iE i и СгЕц. Это возможно лишь при условии, что точность математических расчетов выше точности измерений. Экспериментальные ошибки в величинах с и Ец, составляющие примерно 0,5—1% представленных в табл. 12-2 значений, точно так >ке входят в величины Е ж Е -Согласно описанному способу можно определить величины Ein и f/j [c.306]

Действительно, возможная в принципе ошибка результата может достигать значительной величины, например Зхр. Но, как следует из данных табл. 1 и рис. 1, появляться такая ошибка будет весьма редко. Так, вероятность появления ошибки, большей Зл р, составляет лишь около 0,3% ошибки, превышающей 2хр,— около 1% и т. д. (см. табл. 1 и рис. 1 принимается, что распределение ошибок в большой выборке — такое же, как и в генеральной совокупности). Поэтому, оценивая величину наибольшей возможной ошибки, следует принять во внимание, что редкой возможностью появления весьма крупных ошибок можно пренебречь. Ошибки какой величины можно считать достаточ но маловероятными, зависит от условий задачи. Принимая пределы, в которых заключается значение результата — среднего арифметического (для генеральной совокупности) в виде х — Зсгр) < < (х + Зстр), можно ожидать, что в 99,73% всех случаев-анализа ошибка будет не более З р. При этом, как отмечалось, в 0,3% всех случаев анализа ошибка может достигать и величин, превышающих Зхр, но столь маловероятными воз-.можностями по условиям задачи пренебрегают. Справедливость заключения о том, что соотношение (х — 35р) < [д, < (х + 35р) выполняется, составляет 100,0%—0,3% = 99,7% (взято округленное значение приведенной выше величины 99,73%). [c.30]

С погрешностью 0,01 % результаты расчета в трех последних случаях совпадали ме/кду собой. Это означает, что ошибки округления п аппроксимации практически не сказываются на результатах расчета. При проверке уравнений сохрапепия количества движения рассчитывалась разность импульсов менлду фиксированным сечением па левом конце и некоторыми текуш,ими сечениями, которая сравнивалась с рассчитанным вдоль линий тока интегралом сил давления. Отличие этих величин составляло ие более 0,05 %, [c.86]

Таким образом, в интервале 1 - 10 А, наиболее важном для идентификации, ad меняется примерно на два порядка, а АН остается практически постоянной. Это в значительной степени объясняет целесообразность сопоставления при автоматическом фазовом анализе не с[,а И, Сопоставление Q неудобно, если рентгенограммы снимались на разном излучении, хотя в некоторых программах сопоставляются в или J (О). При сопоставлении Н можно задать постоянное значение 6 (для данных, полученных на дифрактометре, оно равно примерно 1 10 A ). Значения Н округляются до целых чисел. Ошибка, вносимая округлением, немного меньше б, поэтому в случае необходимости можно использовать Н = / d (если экспериментальные данные получены с большей точностью, чем принимались нами, т.е. Ав < 0,05 ) или пользоваться Н = ЮЗ/д на стадии предварительного отбора. При сопоставлении данных для образца (// ) и стандарта ( =) совпадающими считаются значения //, различающиеся не боле5е чем на АН = 36 (при Ав = 0,05° ЛН = 3), т.е. Н° -AH hf //° + АН Окно совпадения АН может быть задано исследователем. Набор величин Н называется инвертированным файлом, минимальное и максимальное значение [c.48]

Значащими цифрами численрюй величины являются все ее. цифры, достоверность которых Eie вызывает сомнении, плюс первая цифра, которой может быть присуща некоторая ошибка. Например, если в результате трех последовательных в звешиваний образна получены значения 0,656, 0,658 и 0,662, то вычислив средний результат, можно было бы записать 0,658666.... Очевидно, одпако, что проводившиеся взвещпваипя могли давать погрешность в третьем знаке после занятой, так что результаты этих измеренпй должны записываться тремя значащими цифрами (две достоверные цифры и еще одна, которой может быть присуща ошибка). Следовательно, средний результат должен содержать такое же количество значащих цифр и его следует округлить до 0,659. Округление выполняется по следующим правилам [c.512]

Прессование в разрезной матрице проводили на универсальной гидравлической машине УММ-50 с иагруже-нием от О до 250 МПа деформацию стяжных болтов замеряли прибором ИД-70. Точность замеров величины давления прессования с учетом округления чисел в этом эксперименте была около 0,6%- При измерении деформации стяжных болтов возможна большая ошибка, так как приращение показаний прибора при изменении давления прессования в интервале от О до 250 МПа составляло в опытах всего несколько делений. Это [c.168]

В данной главе для иллюстративных целей и вычислений используются целочисленные значения атомных масс углерода, водорода, кислорода, азота и брома. Действительные атомные массы (которые должны использоваться во всех точных количественных анализах) отличаются от этих округленных значений на величину, меньшую экспериментальной ошибки прн определении эквивалентов иейтрализации и чисел омыления. [c.524]

Расчет основных частот Si ls по уравнениям (П4.37) в предположении, что силовые постоянные SI I3 равны силовым постоянным Si l4, найденным в работе [3250] (fd =2,757 -10 , fdd =0,399-10 , fda=0,23-10 , fа/=0,296-10 , faa= 0,07-10 дин. см ), приводит к значениям Vl = 510, V2== 244, va= 540 и V4 = 236 см . Эти значения в пределах точности расчета (около 10—15%) удовлетворительно согласуются с частотами, рекомендуемыми в работах [56, 4087]. В Справочнике принимаются значения частот, являющиеся округленными средними из найденных в работах [56, 4087] и рассчитанных выше значений, и предполагается, что вероятная ошибка в рекомендуемых величинах не превосходит 15%. Эти значения частот приводятся в табл. 199. [c.672]

Распределение случайных ошибок измерения. Пусть производится измерение некоторой величины. Разность х — а между результатом измерения х и истинным значением а измеряемой величины называется ошибкой измерения. Вследствие воздействия на измерение большого количества факторов, которые невозможно учесть (случайные изменения температуры, колебание прибора, ошибки, возникаюш,ие при округлении, и т. п.), ошибку измерения можно считать суммой большого числа независимых случайных величин, которая по центральной предельной теореме должна быть распределена нормально. Если при этом нет систематически действуюш,их факторов (например, неисправности приборов, завышаюш,их при каждом измерении показания приборов), приводяш,их к систематическим ошибкам, то МО случайных ошибок равно нулю. [c.288]

Если разности значений трех последовательных определений анилиновых точек не превьппают О, ГС (для светлых проб) или 0,2°С (для темных проб), в отчет об определении заносят среднюю величину полученных значений температуры с учетом поправю на ошибки калибровки термометра с округлением до ближайших 0,05°С как анилиновую точку или анилиновую точку смеси. [c.451]

Поэтому вносится поправка путем умвожения результатов титрования на 1,75 7,5X1,75=13,125, или округленно 13.-Надо заметить, что поправка 1,75 не является одинаково пригодной для всех дерново-подзолистых почв. Эту величину иногда приходится изменять применительно к отдельным типам почв, но довольно часто приведенной поправкой можно пользоваться без существенной ошибки. [c.280]

Записывая результаты измерений, следует особое внимание обратить на правильное округление чисел. Количество значапщх цифр в результате определяется величиной абсолютной систематической ошибки. Так, в нашем примере = (2,1/100)-37,4 10" = [c.16]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология