Фоккер

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА — ПЛАНКА [c.199]

В сущности, это уравнение Фоккера — Планка для диффузии агрегатов вдоль оси Л/з. [c.278]

Для плотности распределения катализатора р(0) в рамках диффузионной модели частиц имеем уравнение Фоккера — Планка [c.62]

Допущение (7.10) автоматически включает в себя утверждение, что стохастический процесс, описываемый с помощью д, есть марковский процесс. Это сильное допущение лишь приближенно выполняется во многих приложениях, однако вероятности переходов / /(д д ) обычно имеют прямую физическую интерпретацию в терминах микроскопических величин - сечения столкновений, квантовомеханические матричные элементы. Отметим, что имеются случаи, когда управляющее уравнение (7.12) выполняется, а приближения Ланжевена и Фоккера-Планка не приводят к правильным результатам. [c.176]

Вывод уравнения Фоккера — Планка 199 [c.3]

Диффузионная модель связана -с предположением о пренебрежимо малой вероятности передачи порций знергии порядка кГ и более. В этом случае интегродифференциальное уравнение сводится к дифференциальному уравнению 2-го порядка в частных производных — уравнению Фоккера-Планка. Подробный вывод диффузионного уравнения можно найти в работах [100, 116]. [c.195]

Таким образом, понятие линейности в сложных стохастических системах относительно и связано с соотношением скоростей релаксации систем к состоянию равновесия. Рещением уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка удалось показать, что большинство сложных физико-химических и технических систем квазилинейны, если не слишком отдалены от равновесия. Более того, из приведенных результатов следует, что понятие линейности связано с временами возвращения отдельных факторов (свойств) системы в состояние равновесия (релаксацией системы). Если свойства системы [c.78]

КФП уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка [c.119]

Составные марковские процессы 190 Глава 8. Уравнения Фоккера — Планка и Ланжевена 195 [c.3]

Линейное уравнение Фоккера— Планка в случае многих 212 переменных [c.3]

Первая часть содержи основные положения теории. Ее задача — предоставить физику и химику логически последовательное и достаточно полное изложение основ теории на понятном им языке. При этом глубокое интуитивное пони.мание материала считается более важным инструментом исследования, чем. математическая строгость и общность. Физические системы в лучшем случае лишь приближенно удовлетворяют математическим условиям, на которых основаны строгие доказательства, и физик должен постоянно сознавать приближенность своих выкладок. (К примеру, колмогоровский вывод уравнения Фоккера — Планка ничего не говорит о том, к каким реальным системам приложимо это уравнение.) Физику также не нужны самые общие формулировки, но глубокое понимание частных случаев позволит ему, когда в этом возникнет необходимость, распространить теорию на новые примеры. В соответствии с таким мнением теория в этой книге развивается в тесной связи с многочисленными приложениями и примерами. [c.8]

УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА —ПЛАНКА И ЛАНЖЕВЕНА [c.195]

Уравнение Фоккера — Планка является частным случаем основного кинетического уравнения и часто используется как его приближенная форма. Уравнение Ланжевена отличается от уравнения Фоккера— Планка, но математически эквивалентно ему. Оба уравнения оказываются полезными в линейных задачах, хотя для нелинейных систем их использование наталкивается на некоторые трудности. [c.195]

Уравнение Фоккера—Планка является частным случаем основного кинетического уравнения, в котором W представляет собой оператор второго порядка, а именно [c.195]

Уравнение Фоккера — Планка (7.1.1) называют также уравнением Смолуховского, вторым уравнением Колмогорова или обобщенным уравнением диффузии. Первый член в правой части уравнения (8.1.1) называется переносным, конвективным или дрейфовым, а второй — [c.195]

По определению, уравнение Фоккера — Планка всегда линейно по Я. Поэтому прилагательное линейное можно использовать в разных смыслах. Мы будем называть уравнение Фоккера — Планке [c.196]

Если Al <0, то стационарное решение (8.1.4) гауссово. Действительно, в этом случае с помощью сдвига и изменения масштаба переменной у уравнение (8.1.5) можно свести к (4.3.20) и таким образом прийти к выводу, что стационарный марковский процесс, определяемый линейным уравнением Фоккера — Планка, является процессом Орнштейна — Уленбека. При Лх О стационарного распределения вероятности не существует. [c.196]

Мы ввели уравнение Фоккера — Планка как частный вид основного кинетического уравнения. Однако в основном его используют для приближенного описания произвольного марковского процесса [c.197]

Y t), у которого отдельные переходы (скачки) невелики. В этом смысле линейное уравнение Фоккера — Планка использовалось в частных случаях Рэлеем , Эйнштейном , Смолуховским и Фоккером . [c.197]

Затем Планк из произвольного основного кинетического уравнения вывел общее нелинейное уравнение Фоккера — Планка, предположив только, что скачки малы. И наконец, Колмогоров дал математически строгий вывод этого уравнения,, перейдя к пределу бесконечно малых скачков. [c.197]

В качестве приближенной замены основного кинетического уравнения общего вида (5.1.5) уравнение Фоккера — Планка обладает двумя привлекательными чертами. Во-первых, оно является ди рфе-ренциальным, а не дифференциально-интегральным уравнением. [c.197]

Это уравнение отождествляется с макроскопическим уравнением движения системы, которое предполагается известным. Таким образом, функция А (у) определяется из наших сведений о макроскопическом поведении. Затем получаем В (у), отождествляя (8.1.4) с равновесным распределением, которое, по крайней мере для замкнутой физической системы, известно из обычной статистической механики. Таким образом, для вывода уравнения Фоккера — Планка и, следовательно, для вычисления флуктуаций достаточно знать макроскопический закон и равновесную статистическую механику. [c.198]

Эйнштейн и другие с большим успехом использовали это феноменологическое определение функций А н В (см. 8.3), но только для линейных уравнений Фоккера — Планка. Если макроскопический закон нелинеен, то, как впервые отметил Макдональд, возникают трудности. [c.198]

Планк вывел уравнение Фоккера — Планка как аппроксимацию основного кинетического уравнения (5.1.5) следующим образом. Сначала выразим вероятность перехода W как функцию скачка г и [c.199]

В 8.8 дано приближение Ланжевена. Математически оно эквивалентно приближению Фоккера — Планка, но используется в физике даже более широко, поскольку сформулировано на более привычном языке. Однако в нелинейных случаях оно наталкивается на те же самые и даже на некоторые дополнительные трудности они составляют предмет 8.9. [c.199]

Упражнение. Вычислите величины (8.1.6) для случайного блуждания (6.2.1) и постройте уравнение Фоккера — Планка. Покажите, что асимптотическое распределение (6.2.12) удовлетворяет этому уравнению. [c.199]

Упражнение. В / С-цепи с неомическим сопротивлением уравнение Фоккера — Планка для напряжения и в соответствии с изложенными выше феноменологическими аргументами имеет вид [c.199]

Таким образом, мы вывели уравнение Фоккера — Планка (8.1.1) из основного кинетического уравнения и одновременно выразили коэффициенты через вероятности перехода W. Эти выражения с точностью до обозначений совпали с (8.1.6). [c.200]

Упражнение. Постройте уравнение Фоккера—Планка для симметричного случайного блуждания и выведите из него (6.2.12). [c.201]

Упражнение. Найдите высшие uv для случайного блуждания и заметьте, что они не малы. Почему, несмотря на это, уравнение Фоккера — Планка дает правильный результат (6.2.12) [c.201]

Книга состоит из четырех глав. В первой главе, посвященной качественному анализу структуры процесса массовой кристаллизации как сложной ФХС, вскрываются особенности данной ФХС как на языке смысловых, лингвистических построений, так и на языке точных математических формулировок, причем в последнем случае обсуждаются два подхода — феноменологический (детерминированный) и стохастический. На уровне детерминированного подхода формулируется обобщенная система уравнений термогидромеханики полидисперсной смеси с произвольной функцией распределения кристаллов по размерам с учетом роста, растворения, зародышеобразования, агрегации и дробления кристаллов. Особое внимание уделено описанию процесса вторичного зародышеобразования. На основе термодинамического подхода получены теоретические зависимости для структуры движущих сил вторичного зародышеобразования при бесконтактном и контактном зародышеобразовании. Стохастический подход представлен методом пространственного осреднения, развитого в последние годы в механике гетерогенных сред, а также методами фазового пространства и стохастических ансамблей для описания стохастических свойств процессов массовой кристаллизации. На основе метода пространственного осреднения получено уравнение типа Колмогорова— Фоккера — Планка с коэффициентом диффузии, учитываю- [c.5]

Важной особенностью МСС является квазилинейный отклик их физико-химических характеристик на значительные внешние воздействия. Решением уравнения Ко.лмогорова - Фоккера - Планка при соответствующих ограничениях показано, что линейность [c.222]

Уравнение (2.25) однозначно определяет стохастический процессх(г), f> 0. Это марковский процесс, и вероятность перехода P(x,t xQ, to) (из значения хд при fo в интервал х,х+с/хпри t) подчиняется уравнению Фоккера-Планка [c.45]

Термодинамическая обусловленность соотношения (3.3), по-видимому, связана с принципом Ле-Шателье-Брауна. Система стремится подавить или компенсировать внешнее воздействие. Соотношение (3.3) подтверждается огромным эмпирическим материалом в области множественного рефессионного анализа и теорией планирования эксперимента Бокса-Уилксона [9-10]. Дейст-вие уравнения (3.3) ограничено равновесными системами, но особый интерес представляют системы удаленные от равновесия. Согласно принципу локального равновесия неравновесную стохастическую систему можно рассматривать как совокупность квазиравновесных микросистем, каждая из которых характеризует, в общем случае, различные мгновенные состояния системы, зависящие от различных значений параметров X/. Из теории [11] известно, что процессы в таких системах описываются уравнением Колмогорова-Фоккера-Планка (КФП) [c.70]

Другой, не менее важной, особенностью моделей сложных систем является их квазилинейность при условии незначительного отклонения от состояния равновесия. Решением уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка удалось показать, что большинство природных, экологических, технических и технико-экономических систем квазилинейны, если не слишком отдалены от равновесия. Более того, само понятие линейности относительно и связано с временами возвращения отдельных факторов (свойств) системы в состояние равновесия (релаксацией системы). Если свойства системы релаксируют с близкими скоростями, имеет место квазлинейная взаимосвязь этих свойств. [c.107]

Известно, что при описании поведения стохастической системы вблизи стационарного состояния справедливо уравне -ние Колмогорова-Фоккера-Шанка (КФГТ) [36].Приведем реше -ние уравнения КФП для изолированной системы, стремящейся к термодинамическому равновесию [7,8,37-39] [c.48]

Математик. Вы хорошо подметили трудности, которые действительно возникли перед математиками после выхода замечательных работ А. Эйнштейна, М. Смолуховского, А. Фоккера, М. Планка и дф. Появился класс диффузионных случайных процессов и понадобился строгий математический аппарат для их исследования. Это и было сделано такими крупными математиками, как А.Н. Колмогоров, Н. Винер и др. Позвольте мне здесь не говорить об основах созданной ими теории [Вентцель, 1975 Вентцель, Фрейдлин, 1979 Гардинер, 1986]. Для наших приложений важно следующее. Если условия (1.5) и (1.6) выполнены, то микродвижения взаимодействующих частиц в организме практически можно считать диффузионным процессом, а для описания физиологических процессов использовать дифференциальные уравнения [c.26]

Упpaжlteниe. Примените к уравнению (8.1.1) нелинейное преобразование у = ф(1 ) и покажите, что преобразованная плотность Р (у, 1) подчиняется уравнению Фоккера — Планка с коэффициентами [c.199]

Это так называемое разложение Крамерса—Мойала. Уравненне (8.2.6) формально совпадает с основным кинетическим уравнением и поэтому не дает упрощений подразумевается, однако, что его можно оборвать, оставив некоторое подходящее количество членов. Приближение Фоккера—Планка предполагает, что все члены после Х = 2 пренебрежимы, Колмогоровское доказательство основано на предположении, что av = О для v > 2. Однако это предположение для физических систем не выполняется . В следующей главе мы расположим основное кинетическое уравнение систематическим образом по степеням малого параметра и найдем, что ие существует простого соответствия между последовательными порядками и последовательными членами разложения Крамерса— Мойала. [c.201]

Упражненне. Для процесса распада, рассмотренного в 4.6, постройте уравнение Фоккера—Планка, используя (8.1.6). Покажите, что оно правильно дает первый и второй моменты, но не для Р . [c.201]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология