Случайные процессы диффузионные

На рис. 8 приведены некоторые статистические характеристики случайного процесса блуждания частицы, полученные для циркуляционной и диффузионной моделей. Для невысокого слоя ( <1) различие существенно. При Ь>Ь статистические характеристики двух моделей практически совпадают. [c.56]

Математик. Хочу специально обратить ваше внимание на то, что сказали Физик и Биолог. В их рассуждениях содержится принципиальное ограничение на использование принятой нами математической модели - диффузионного случайного процесса - для исследования микродвижений частиц в живых организмах. Всегда очень важно знать, на какие вопросы можно, а на какие нельзя ответить с помощью нашей теории... [c.25]

Согласно теории случайных процессов макроскопический коэффициент диффузии связан с макроскопическими параметрами —длиной перескока й и временем между двумя последовательными диффузионными [c.23]

Случайный процесс х t) не является диффузионным, если наряду с плавными изменениями величины х при таком процессе возможны также происходящие с ненулевой вероятностью конечные скачки Всюду ниже нам будут встречаться лишь диффузионные марковские процессы. [c.34]

Условие (4.16) гарантирует почти наверное непрерывность траекторий марковского процесса [3.3, с. 188, теорема III. 5.3. Прежде чем переходить к рассмотрению двух остальных характерных свойств диффузионного процесса, обсудим несколько подробнее некоторые следствия, к которым приводит условие (4.16). Хотя оно и гарантирует непрерывность траекторий, оно же утверждает, что траектории диффузионного процесса извилисты они ведут себя не менее причудливо, чем траектории винеровского процесса. Разумеется, этого можно было ожидать в свете сказанного. Из условия (4.16) следует по крайней мере существование ненулевой вероятности того, что скорость процесса Xty т. е. производная от траектории по времени, бесконечна. В противном случае вероятность P[ Xt — Xsl>e Xs = = х] была бы тождественно равна нулю при t= s, но достаточно малой разности t — 5, а не только при o(t — s). Столь извилистые траектории необходимы для того, чтобы подлинно случайный процесс был марковским. Если говорить нестрого, то можно сказать, что случайные процессы с более гладкими, т. е. дифференцируемыми, траекториями не могут обладать марковским свойством, так как гладкость делает невозможной (условную) независимость прошлого и будущего. Единственным исключением, т. е. единственными марковскими процессами с непрерывными и дифференцируемыми траекториями, являются детерминированные процессы, определяемые уравнением [c.100]

Разумеется, обратное утверждение неверно если одномерная плотность вероятности piy t) некоторого случайного процесса удовлетворяет уравнению вида (4.46), то это еще отнюдь не означает, что процесс марковский [4.4]. Если диффузионный процесс однороден по времени, т. е. р(у, t x, s) = р(у, t — s x,0) = = р(у х х), то, как уже отмечалось, дрейф и диффузия не за- [c.109]

Главу 4 мы хотим завершить кратким замечанием о системах, возмущаемых негауссовским белым шумом. В разд. 3.2 мы уже упоминали о том (и даже пояснили на интуитивном уровне), что случайный процесс является белым шумом в том и только том случае, если lt — производная (в смысле обобщенных функций) от однородного по времени процесса с независимыми приращениями. В гл. 4 мы рассмотрели только гауссовский белый шум, представимый в виде производной от винеровского процесса. Именно это обстоятельство послужило основанием для определения класса марковских процессов (диффузионных процессов), которые локально во времени выглядят как винеровский процесс плюс систематическая компонента, т.е.а1 + /D Wt Диффузионные процессы характеризуются тем, что г/(л , 5) = [c.113]

Последнее свойство известно как свойство мартингала. Мартингалы (так же как и марковские процессы) образуют класс случайных процессов, особенно хорошо изученных с математической точки зрения. В последние годы они приобрели большое значение. Подробности относительно связей между мартингалами и диффузионными процессами см. в работе [5.6. [c.127]

Из свойства 2 случайного процесса (5.37) нетрудно заключить, что Xi имеет почти наверное непрерывные траектории. (Если говорить точно, то существует вариант случайного процесса Xt траектории которого почти наверное непрерывны. Именно его мы и будем рассматривать в дальнейшем.) Итак, мы достигли желаемого — сумели придать точный математический смысл феноменологическим уравнениям (3.31) и (4.13), моделирующим систему в чрезвычайно быстро флуктуирующей среде. Исследуем теперь основные свойства случайного процесса задаваемого СДУ Ито. Разумеется, мы надеемся, что X окажется диффузионным процессом. Но, прежде чем мы сможем утверждать это со всей определенностью, необходимо удостовериться в существовании и единственности решения СДУ (5.46). [c.129]

В физических приложениях пространство состояний случайного процесса Xt редко совпадает с вещественной прямой К. Процесс часто бывает ограничен каким-нибудь подмножеством вещественной прямой, в большинстве случаев множеством неотрицательных вещественных чисел (так бывает, например, когда X — переменная типа концентрации). Возникает вопрос что происходит, когда диффузионный процесс достигает границ своего пространства состояний (Если достигаемая граница равна плюс или минус бесконечности, то говорят, что процесс [c.143]

Предположим теперь, что диффузионный процесс, задаваемый интерпретируемым в смысле Ито СДУ (6.14), допускает стационарное решение, строго положительное внутри пространства состояний, т. е. рв х)>0 при всех х Ь, 2). Это означает, в частности, что пространство состояний (Ьи Ь ) случайного процесса Х( не делится на два или более интервала, не сообщающиеся между собой. Следовательно, независимо от того, [c.152]

До сих пор мы применяли общую теорию случайных процессов для описания движения или состояния частиц. Однако область применимости теории случайных процессов в физикохимических задачах значительно шире. Здесь мы рассмотрим вопрос о миграции свободной валентности и спина. В замороженной среде рекомбинация радикалов происходит в результате их миграции. Эта миграция не обязательно связана с диффузией самого радикала. Однако такую миграцию валентности можно рассматривать, как диффузионный процесс, описываемый уравнением Планка—Фоккера [7] или эквивалентным ему урав- [c.112]

Этп два подхода в достаточной степени отличаются друг от друга как по структуре моделей, так и по используемому математическому аппарату. Если в детерминистском подходе это качественная теория интегральных, дифференциальных и разностных уравнений и теория устойчивости, то в стохастическом это методы теории случайных процессов (в основном методы цепей Маркова и диффузионного приближения). [c.13]

Соответствие между динамической системой (1.8) и ее малым диффузионным возмущением (1.7) следует понимать в том смысле, что для любого конечного промежутка времени траектория случайного процесса с вероятностью, как угодно близкой к единице, отклоняется от детерминистской произвольно мало, если выбрать е достаточно близким к нулю. [c.397]

Согласно [117], при экспериментальном определении кз систематически допускаются следующие ошибки ошибки в определении диффузионной способности Н н О2 ( 10%) ошибки, связанные с температурными эффектами ( 4,5%) ошибки измерения давления ( 1%) и температуры ( 2,5%) ошибки наблюдения ( 1%). Случайные ошибки в измерениях давления ( 1%), температуры ( 2%) и состава рабочей смеси ( 0,5%) составляют в сумме <3,5%, и, таким образом, общая ошибка пе должна превышать 25%. В эту оценку не включены ошибки, связанные с пренебрежением реакцией 11 (что особенно важно для умеренных давлений), и ошибки, связанные с уменьшением концентрации 0 в ходе процесса (что важно для области высоких температур). Наконец, не учитывается возможное изменение эффективности стенки в реакции рекомбинации Н. [c.257]

Характеризовать распределение времени пребывания с помощью нормального закона очень удобно, так как этот закон содержит только два параметра среднее время пребывания 5 и дисперсию Согласно формуле (VI. 13), Хз определяет степень ухудшения характеристик процесса, к которому приводит наличие случайного разброса. Широкая распространенность нормальных распределений и удобство применения их в практических расчетах являются (хоть это зачастую и не осознается) основной причиной, вызвавшей к жизни так называемую диффузионную модель химических реакторов , которая, как будет показано ниже, дает функцию распределения времени пребывания в аппарате, близкую к нормальному закону. [c.208]

Гипотеза 2. Микродвижения взаимодействующих частиц в живых организмах аналогичны броуновскому движению и математически их можно рассматривать как случайный диффузионный процесс (1.1). [c.27]

Микродвижения взаимодействующих частиц в живом организме очень похожи на броуновское движение в жидкости частиц неживой природы. Поэтому математически эти микродвижения можно описать уравнениями для случайного диффузионного процесса. [c.38]

Скорость процесса, находящегося в диффузионной области, зависит от скорости диффузии веществ к зоне реакции. Движение диффундирующей частицы состоит из отдельных случайных смещений. Среднее значение квадрата смещения частицы пропорционально времени t . [c.276]

Из фундаментальных соотношений теории случайных марковских процессов выведены стохастические интегродифференциальные (скачкообразные), разрывные (дискретно-непрерывные), диффузионные и матричные (дискретные в пространстве состояний по времени) модели кинетики изменения и механодеструкции, описывающие эволюцию дифференциальных функций числового распределения макромолекул полимеров по длинам. Проведен последовательный анализ выведенных уравнений кинетики механодеструкции. [c.39]

В практических ситуациях цилиндры обычно расположены в пространстве либо случайным образом, либо так, что соседние цилиндры не следуют один за другим в направлении потока. Поэтому главным фактором, влияющим на интенсивность массопереноса к поверхности цилиндра в системе является изменение поля течения, определяющего конвективный перенос вещества. Для упорядоченных систем, устроенных таким образом, что соседние цилиндры следуют один за другим в направлении потока, пришлось бы учитывать также и эффект взаимодействия диффузионного следа предыдущего цилиндра с диффузионным пограничным слоем следующего, подобно тому, как это делалось для цепочек капель в 4 гл. 2 (см. также анализ процесса массопереноса в цепочках сфер в следующем 7). [c.155]

Каждое значение x t) случайного процесса, являясь случайной величиной, формально зависит от некоторого злементарного события (исхода). Рассматрипая случайный процесс при каждом элементарном исходе, мы имеем соответствующую функцию, которая называется реализацией или траекторией или выборочной функцией случайного процесса. Реально наблюдая случайный процесс, мы, фактически, наблюдаем одну из его возможных траекторий. Представим, что имеется некоторая совокупность X всех возможных траекторий и некоторый механизм случайности избирает одну из этих функций х ( ). Общая теория случайных процессов имеет несколько частных теорий стационарных случайных процессов, цепей Маркова, диффузионных процессов. Пользуясь методами теории случайных процессов, можно решать задачи прогнозирования и регулирования. [c.116]

Математик. Вы хорошо подметили трудности, которые действительно возникли перед математиками после выхода замечательных работ А. Эйнштейна, М. Смолуховского, А. Фоккера, М. Планка и дф. Появился класс диффузионных случайных процессов и понадобился строгий математический аппарат для их исследования. Это и было сделано такими крупными математиками, как А.Н. Колмогоров, Н. Винер и др. Позвольте мне здесь не говорить об основах созданной ими теории [Вентцель, 1975 Вентцель, Фрейдлин, 1979 Гардинер, 1986]. Для наших приложений важно следующее. Если условия (1.5) и (1.6) выполнены, то микродвижения взаимодействующих частиц в организме практически можно считать диффузионным процессом, а для описания физиологических процессов использовать дифференциальные уравнения [c.26]

Теория индуцированных шумом переходов базируется на современной математической теории случайных процессов. Большое место в книге (гл. 2—5) уделено изложению основных положений теории вероятностей, марковских диффузионных процессов и стохастических дифференциальных уравнений. От имеющейся литературы, посвященной изучению этих вопросов, книгу В. Хорстхемке и Р. Лефевра выгодно отличают доступность и большая ясность изложения. Авторы не перегружают свое изложение деталями математических доказательств, но в то же время сохраняют уровень строгости, позволяющий затронуть самые современные результаты теории случайных процессов. Это математическое введение, ориентированное на решение конкретных задач, представляет большую ценность. В особенности хотелось бы отметить очень четкое разъяснение областей применимости и сущности различий интерпретаций стохастических дифференциальных уравнений по Ито и по Стратоновичу. Всякий раз, когда дельта-коррелированный белый шум в стохастическом дифференциальном уравнении является идеализацией случайного процесса с очень малым, но все же конечным временем корреляции, необходимо использовать интерпретацию Стратоновича. [c.6]

Броуновское движение lDWt-- диффузионный процесс по простой (чтобы не сказать тривиальной) причине диффузионными процессами по определению называются такие случайные процессы, которые локально по времени выглядят как винеровский процесс. В этом простом примере УФП и ОУК совпадают и сводятся к классическому уравнению диффузии (теплопроводности) [c.110]

Рассмотрим теперь другое определение стохастического интеграла, играющее заметную роль в специальной литературе,— определение, предложенное Стратоновичем. Привлекательность интеграла Ито обусловлена его замечательными математическими свойствами, в особенности тесной связью между СДУ Ито и диффузионными процессами. Успех интеграла Стратоновича объясняется тем, что он очень точно соответствует потребностям моделирования физических систем. Этот вопрос мы обсудим подробнее после того, как будет дано строгое определение интеграла Стратоновича, а пока лишь бегло очертим ситуацию. Интеграл Ито подразумевает, что между случайным процессом Х( и случайной силой / в тот же момент времени / нет никакой [c.134]

Скорость движения сплошной фазы в окрестности частицы вследствие флуктуаций также является случайным процессом ш(х). Коэффициенты тепло- и массоотдачи а,, которые входят в (3.47), зависят от относительной скорости и оказываются тем самым также случайными функциями времени. Характер зависимости коэффициентов тепло- и массоотдачи от времени может быть определен либо в результате решения интегральных уравнений теплового и диффузионного потоков через пограничный слой с учетом случайного характера зависимости скорости обтекающего частицу потока от времени, либо при помощи полуэмпирических уравнений, связывающих коэффициенты тепло- и массоотдачи со скоростью обтекающего частицу потока. Первый путь является более общим, однако решение интегральных уравнений для тепловых и диффузионных потоков в условиях случайных распределений скоростей в пограничном слое представляет собой достаточно сложную в математическом отношении задачу и выигрыш в общности и точности может быть потерян при неизбел ных упрощениях в процессе численного решения этих уравнений. [c.184]

Бесконечномерные дифференциальные операторы возникают в различных областях математики и ее приложений — в математической физике они используются (правда, часто на формальном уровне) в качестве операторов энергии систем с бесконечным числом степеней свободы, в теории случайных процессов с помощью такого рода операторов строятся диффузионные процессы с бесконечномерными фазовыми пространствами, наконец, исследование бесконечномерных дифференциальных операторов представляет и самостоятельный интерес внутри бесконечномерного анализа. Перечисленные области отнюдь не изолированы друг от друга, а, напротив, активно взаимодействуют. Но тем не менее каждая из них имгет свой характерный круг проблем, так что акцент на тот или иной раздел приложений выделяет в теории бесконечномерных дифференциальных операторов конкретные ее аспекты, подлежащие рассмотрению. Например, применения в теоретической физике выдвигают на первый план операторные задачи, содержание которых во многом схоже для различных модельных ситуаций и характеризуется тесной связью со спектральной теорией. Существенное место среди них занимают проблемы самосопряженности и теории сингулярных возмущений. Эти проблемы занимают ключевое положение как в гамильтоновом, так и в евклидовом подходе к построению и исследованию динамики ряда важных модельных систем совре-менной математической физики. Именно эти проблемы во многом определяют круг вопросов теории бесконечномерных дифференциальных операторов, излагаемых в настоящей главе. [c.507]

Точность, вносимая граничными условиями (VI.27), является, однако, обманчивой. Дело в том, что при их выводе предполагается, что диффузионная модель справедлива повсюду, в том числе и для процессов переноса на малых расстояниях. На самом деле, однако, не существует систем, в точности описывающихся уравнением конвективной диффузии (VI. 14) или (VI. 15) с постоянными значениями линейной скорости потока и коэффициента диффузии. В случае турбулентного потока в реакторе без насадки скорость потока почти постоянна по всему сечению аппарата (кроме тонкого слоя близ его стенки), однако коэффициент турбулентной диффузии является переменной величиной, увеличиваясь пропорционально расстоянию от стенки реактора. В ламинарном потоке перенос вещества осуществляется молекулярной диффузией, так что коэффициент диффузии постоянен. Однако основная причина случайного разброса времени пребывания в реакторе — сильное различие локальных скоростей потока на различных расстояниях от стенки аппарата. Наконец, в реакторах с насадкой, отклонение времени пребывания в реакторе от среднего знйчения вызывается образованием турбулентных вихрей в промежутках между твердыми частицами, разбросом локальных скоростей потока за счет неоднородности упаковки слоя и задержкой вещества в застойных зонах. Во всех этих случаях распределение времени пребывания в реакторе делается близким к нормальному, если длина аппарата достаточно велика, и только в этих условиях диффузионная модель становится пригодной для приближенного описания процесса. [c.211]

Биолог. Вот чего еще я не могу понять. Чтобы процесс микродвижений частиц в живых организмах считался диффузионным, частицы за время Д/ должны испытать очень много случайных перемещений от встреч с клетками организма. По вашей теории, число таких перемеще-М [c.26]

Эти микродвижения частиц аналогичны броуновскому движеншо и математически их можно описать случайным диффузионным процессом. [c.37]

Рассмотрим теперь некоторые простейшие примеры, когда уравнения диффузионной кинетики могут быть точно решены. Существенное упрощение достигается, если отсутствуют миграция и конвекция, а диффузия происходит в стационарных условиях, т. е. в условиях, если распределение концентрации у поверхности электрода не зависит от времени йс1(И = 0. Миграцию можно исключить, если добавить в раствор избыток посторонней соли, ионы которой не участвуют в электродном процессе. Такой электролит называется индифферентным электролитом или электролитом фона. Чем ьыше концентрация фонового электролита, тем меньше сопротивление раствора и тем меньше при заданном I омическое падение потенциала в растворе, приводящее к явлениям миграции. Чтобы исключить влияние размешивания электролита, можно, например, проводить опыты, используя небольшие плотности тока в течение коротких промежутков времени, что позволяет избежать разогрева электролита и размешивания его при случайных вибрациях ячейки и т. п. [c.162]

Сущ ествеппо, что уравнениям, сходным с уравнением (V.28), подчиняется скорость адсорбции и скорость растворения твердых веществ в жидкостях. Это сходство пе случайно. Как известно, и скорость адсорбции, и скорость растворения твердого вещества определяются скоростью диффузионных процессов. [c.154]

Из фундаментальных соотношений теории случайных марковских процессов выведены стохастические интегродифференциальные (скачкообразные), разрывные (дискретно-непрерывные), диффузионные и матричные (дискретные в пространстве состояний по времени) модели кинетики механодеструкции, описывающие эволюцию дифференциальных функций числового распределения макромолекул полимеров по длинам. Проведен последовательный анализ выведенных уравнений кинетики механодеструкции. Он показал, что при некоторых упрощающих предположениях решениями этих уравнений являются известные в литературе функции распределения Пуассона, Танга, Кремера-Лансинга и др. С помощью математического аппарата теории дискретных марковских процессов построены модели кинетики структурных превращений в ферритах -шпинелях, активированных в планетарных машинах разработана обобщенная модель кинетики механорасщепления зерен на примере природного полисахарида - крахмала. Из основного кинетического уравнения Паули выведены стохастические модели ряда элементарных химических реакций, протекающих в дисперсных системах при механическом нагружении частиц твердой фазы. Проведен анализ выведенных уравнений и выявлены преимущества статистического метода описания кинетики химических реакций перед феноменологическим. [c.19]

Помимо температуры и давления, как уже указывалось, например для гетерогенных процессов, значительное влияние на скорость реакции могут оказывать скорости диффузионных процессов, характеристики применяемых катализаторов и др. В общем. случае нужно иметь в виду, что число факторов, от которых зависит скорость реакции, нельзя ограничивать перечисленными. Например, присутствие небольших количеств примесей, чайТо случайного характера, изменение материала аппаратуры, изменение поверхностных условий протекания процесса и т. д. могут вызвать изменение не только скорости процесса, но и самого характера его протекания. [c.17]

Несмотря на то что многие теории, объясняющие электрополирование, основываются на понятии диффузионно-контролируемого растворения, Гор был одним из первых, кто предположил, что кристаллографическое травление (без полирования) прекращается при образовании тонкой плотной и твердой пленки на поверхности. При этих условиях анодный процесс определяется самопроизвольным появлением на межфазной границе металл — пленка катионных вакансий, в которые могут внедряться случайные катионы металла. Такое самопроизвольное растворение способствует образованию ровной микрополирован-ной поверхности. [c.65]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология