Функция распределения кристаллов

Выведем основные уравнения при разрывной функции распределения кристаллов по размерам. Предположим, что вдоль отрезка [О, 7 ] расположены массы дисперсной фазы, как сосредоточенные в отдельных точках, так и распределенные непрерывно. Пусть непрерывно распределенные массы имеют плотность g r) и пусть [c.29]

При выводе уравнений сохранения массы будем считать, что истирание кристаллов не нарушает непрерывности функции распределения кристаллов по размерам. В г-фазу за счет истирания войдет масса [c.40]

Введем функцию распределения кристаллов по весу в продукте, выходящем из -го аппарата [c.139]

Рис. 2.3. Плотность функции распределения кристаллов по размерам во время эксперимента

Ных периодических кристаллизаторах емкостью 250 мл, 1 л, 15 л. На рис. 2.3 представлены теоретические кривые и экспериментальные данные плотности функции распределения кристаллов по размерам (объемам). Относительная ошибка не превышает 16%. На рис. 2.4, 2.5 представлены теоретические кривые и экспериментальные данные изменения концентрации и температуры раствора. Ошибки в определении данных параметров не превышают 8,2 и 4% соответственно. Видно, что теоретические результаты хорошо согласуются с экспериментальными. [c.169]

Рассмотрим зону смешения. Предварительно зададимся значениями некоторых параметров на входе в зону смешения с , Т , плотностью функции распределения кристаллов по размерам / 3. Из уравнений (2.123) материальных и тепловых балансов, описывающих зону смешения, определим значения нужных параметров на выходе из этой зоны [c.184]

Рассмотрим обзор работ по математическим моделям циркуляционно-вакуумных кристаллизаторов (ЦБК). Рассмотрим ячеечные модели ЦБК [54]. Б [54] рассматриваются два типа кристаллизаторов с естественной и принудительной циркуляцией. Для расчета распределения кристаллов по размерам в этих аппаратах использовался в качестве модели каскад последовательно работающих кристаллизаторов с полным перемешиванием. Для кристаллизатора с естественной циркуляцией применялась модель каскада аппаратов с образованием центров кристаллизации только в первом аппарате. Функция распределения кристаллов по размерам определялась по соотношению (1.536). Для кристаллизатора с принудительной циркуляцией применялась модель каскада аппаратов с образованием центров кристаллизации в каждом аппарате. Функция распределения кристаллов по размерам определялась из соотношения (1.535). [c.206]

Функция m x, t") легко может быть построена [102] по известной из эксперимента функции A (t). Зная т х, Г) и M(t), можно из уравнения (3.204) определить /(Г). Решение уравнения (3.204) относительно /(Г) представляет большие трудности. Авторам работ [102—105] удалось определить /(Г) не решая (3.204), а зная функции распределения кристаллов по массам в конце процесса. Установим связь между функциями т(оо, Г), /(т(оо, Г)) и где /(т(оо, Г)) —функция распределения кри- [c.300]

Опишем методику экспериментального исследования процесса кристаллизации в ячейке смешения. Эксперименты проводились с целью определения изменения концентрации, температуры раствора, функции распределения кристаллов по размерам в ходе процесса, для того чтобы с помощью математической модели (приведенной в 2.2) определить скорость зародышеобразования, роста кристаллов. Схема установки приведена на рис. 3.17. В качестве кристаллизатора использовали стеклянную ячейку объемом 250 мл [c.301]

Для того чтобы иметь информацию о функции распределения и размерах кристаллов в ходе процесса, эксперименты заканчивают при различных температурах (в различное время). Для проверки надежности определения функции распределения в ходе процесса, ставится обычно эксперимент, повторяемый при одних и тех условиях 3 раза, по ходу которого отбирают пробы раствора, а в конце определяют функцию распределения кристаллов по размерам. [c.303]

Если кинетические кривые и функции распределения в каждом из этих опытов достаточно хорошо совпадают друг с другом, то предлагаемым методом определения кинетических параметров кристаллизации можно пользоваться. После каждого эксперимента из общего числа кристаллов отбирают случайным образом не менее 15 проб, которые затем фотографируются. После фотографирования определяются размеры кристаллов на этих фотографиях, доля кристаллов определенного размера, с помощью которых затем строятся функции распределения. Фотографирование можно проводить с помощью микрофотонасадки типа МФН-12, смонтированной на поляризационный микроскоп типа МИН-8. По полученным фотографиям определяют распределение кристаллов по размерам (объемам). Таким образом, в результате проведенных экспериментальных исследований становятся известны кривые изменения концентрации, равновесной концентрации, температуры раствора в ходе процесса, функции распределения кристаллов по размерам в некоторых последовательных временных точках. Так, на рис. 3.19 представлены функции распределения кристаллов щавелевой кислоты по объемам в различных временных точках. Эксперименты проводились при различных начальных концентрациях, температурах раствора при различных темпах охлаждения и чис- [c.303]

Рис. 3.19. Функции распределения кристаллов по объемам I — время эксперимента 20 мин 2—32 мин Л—40 мин

Обозначив нулевой момент функции распределения кристаллов по размерам через из уравнения (3.222) получим соотношение [c.305]

В табл. 3.6 приведем результаты определения плотности функции распределения кристаллов щавелевой кислоты, где в первом столбце числитель характеризует серию экспериментов, проведенных при одних н тех же начальных условиях, знаменатель — эксперимент, законченный через 20 мин (/), 30 мин (2), 40 мин (5), 60 мин (4). [c.309]

Таблица 3.6. Результаты определения плотности функции распределения кристаллов щавелевой кислоты [c.310]

В 1.1 мы рассмотрели механизм образования вторичных зародышей за счет истирания кристаллов несущей фазой и получили зависимость для движущей силы зародышеобразования. Запишем ее в общем виде с помощью момента функции распределения кристаллов по размерам [c.336]

Рассмотрим /-Й момент плотности функции распределения кристаллов по размерам Я [c.352]

Решение. Функция распределения кристаллов по размерам в рассматриваемом случае равна [c.209]

В качестве примера на рис. 23-3 представлены дифференциальные функции распределения кристаллов по размерам [р (г)] в аппарате полного смешения в диффузионной области (кривая 1), когда скорость определяется внешним массообменом (при Nu 2), и в кинетической области (кривая 2), когда скорость роста кристалла лимитируется скоростью включения молекул в кристаллическую решетку и не зависит от размера кристалла. [c.298]

Рис. 2.2. Численная функция распределения кристаллов по размерам в последовательные моменты времени и

В процессе исследования изучалось изменение концентрации раствора во времени (рис. 2.1). Оценивались также значения численной функции распределения кристаллов по размерам различных моментов времени путем обработки результатов ситового анализа (рис. 2.2). Наилучшая сходимость опытных и расчетных данных наблюдалась при следующих значениях кинетических констант = 0,35-10- , а = 1, = 17,1 и т = 7. При этом пересыщение раствора изменялось в пределах от 5 до 12 кг/м [c.82]

Рис. а. 0. Функция распределения кристаллов по размерам при циклической выгрузке продукта. [c.209]

В - скорость зародышеобразования с - концентрация L ) -функция распределения кристаллов по размерам Ч - скорость роста кристаллов К - постоянная L - размер кристалла, т, -масса кристаллов - показатели степени в кинетических [c.316]

Для расчета процессов роста и растворения кристаллов необходима информация об их кинетике. Существующие методы кинетических исследований, заключающиеся в измерении меняющихся во времени концентраций вещества в сплошной фазе или функции распределения кристаллов по размерам, не позволяют выявить закономерности сложных реакций, так как получаемые при этом данные несут информацию о суммарных эффектах нескольких одновременно протекающих в системе процессах. [c.96]

Выделяющаяся твердая фаза, как правило, полидисперсна. На раннем этапе роста полидисперсность фазы вызвана в основном неодновременностью формирования центров кристаллизации, а на позднем этане — также различием скоростей роста мелких и крупных частиц. Функция распределения кристаллов по размеру обычно имеет колоколообразный вид (рис. 1.9). Частицы разного размера взаимодействуют друг с другом при непосредственном контакте [c.23]

Книга состоит из четырех глав. В первой главе, посвященной качественному анализу структуры процесса массовой кристаллизации как сложной ФХС, вскрываются особенности данной ФХС как на языке смысловых, лингвистических построений, так и на языке точных математических формулировок, причем в последнем случае обсуждаются два подхода — феноменологический (детерминированный) и стохастический. На уровне детерминированного подхода формулируется обобщенная система уравнений термогидромеханики полидисперсной смеси с произвольной функцией распределения кристаллов по размерам с учетом роста, растворения, зародышеобразования, агрегации и дробления кристаллов. Особое внимание уделено описанию процесса вторичного зародышеобразования. На основе термодинамического подхода получены теоретические зависимости для структуры движущих сил вторичного зародышеобразования при бесконтактном и контактном зародышеобразовании. Стохастический подход представлен методом пространственного осреднения, развитого в последние годы в механике гетерогенных сред, а также методами фазового пространства и стохастических ансамблей для описания стохастических свойств процессов массовой кристаллизации. На основе метода пространственного осреднения получено уравнение типа Колмогорова— Фоккера — Планка с коэффициентом диффузии, учитываю- [c.5]

Для кристаллизатора типа МЗМРК функция распределения кристаллов по размеру при установившемся режиме равна (следствие из уравнения (1.536)) [c.139]

Расс.мотрнм функцию распределения кристаллов по размерам в аппаратах типа DTB и F . В работе [118] рассматривается два типа кристаллизаторов с естественной (DTB) и с принудительной (F ) циркуляцией. Для расчета распределения кристаллов по размеру в этих аппаратах использовался в качестве модели каскад последовательно работающих кристаллизаторов с полным перемешиванием. Основой такого представления является разделение аппарата с неполным перемешиванием на ряд ячеек полного перемешивания. [c.142]

Рассмотрим функцию распределения кристаллов по размерам в аппаратах типа MSMPR в случае зависимости скорости роста от размера. Для некоторых кристаллизирующихся систем закон МакКейба хорошо соответствует экспериментальным данным [70]. Для этих систем сопротивление диффузии, вероятно, меньше, чем сопротивление вследствие химической реакции, так что скорость объединения молекул растворенного вещества в кристаллическую решетку определяет общую скорость роста кристаллов. Однако во многих системах наблюдалось в действительности нарушение закона Мак-Кейба [123, 124]. Основываясь на работах [123, 124] предложено для скорости роста эмпирическое соотношение [125] ti = = /САс а. [c.143]

Построим математическую модель процесса массовой кристаллизации в аппарате типа SPR с принудительной циркуляцией. Полагаем, что основная масса зародыщей возникает в нижней части аппарата. Такое предположение наиболее вероятно, так как в нижней части пересыщение раствора и объемная концентрация твердой фазы больше чем во всех остальных участках аппарата. Тогда для моделирования процесса кристаллизации в данном аппарате (при установившемся режиме работы) рассмотрим трехскоростную однотемпературную среду. Первая фаза—раствор, поднимающийся вверх со скоростью v , вторая фаза — кристаллы, опускающиеся вниз под действием силы тяжести со скоростью v , и третья фаза — кристаллы, увлекаемые потоком жидкости и поднимающиеся вверх со скоростью до тех пор, пока сила гидродинамического давления не уравновесится силой тяжести кристаллов. Функцией распределения кристаллов по размерам будем пренебрегать (так как для аппаратов этого класса коэффициент вариации мал). Полагаем, что в поперечном сечении аппарата кристаллы, принадлежащие /-й фазе (/ = 2, 3), являются сферами одного диаметра зависимость равновесной концентрации от температуры раствора в узком диапазоне температур можно представить в виде линейной ,=aiT- -bi. Система (1.62) при принятых допущениях принимает вид [c.212]

Определим скорости роста кристалла с помощью функции распределения кристаллов по размерам в ячейке смешения. Для аппаратов типа MSMPR функция распределения имеет вид (в случае, если скорость роста не зависит от размера) [c.296]

После проведения экспериментального исследования кинетики кристаллизации аллюмоаммонийных квасцов можно было сделать выводы 1) с увеличением времени пребывания кристалла в аппарате размер его увеличивается 2) во всех экспериментах с увеличением числа оборотов средний размер кристаллов увеличивается, что свидетельствует о росте кристалла, происходящем в диффузионной области 3) во всех экспериментах с меньшей скоростью охлаждения (расходом охлаждающей воды) функция распределения кристаллов по размерам двугорбая, что свидетельствует о наличии вторичного зародышеобразования. Из рассмотрения кристаллов квасцов под микроскопом МБИ следовало, что они не дробятся и не агрегируют. Наличие не очень сильного второго горба в функции распределения и отсутствие явлений явного дробления свидетельствует в пользу гипотезы вторичного зародышеобразования путем истирания кристаллов несущей фазы 4) почти во всех экспериментах с большей скоростью охлаждения функция распределения с одним горбом . Причина отсутствия второго горба в следующем а) мелкие кристаллы более устойчивы к истиранию (критерий Вебера мал), б) быстрое снятие пересыщения в начальные моменты свидетельствует о том, что пересыщения недостаточно для роста вторичных центров (частицы не растут). Увеличение данного микроскопа недостаточно для фиксирования этих вторичных центров. [c.313]

Здесь Дс —пересыщение сплошной фазы переменные /г, g, и, ш, I— гомогенные кинетические параметры М.,— масса твердой фазы в объеме кристаллизатора (третий момент плотности функции распределения) —поверхность твердой фазы (второй момент) — линейный размер твердой фазы (первый момент) —число кристаллов в аппарате (нулевой момент) /, к, I, р — параметры, характеризующие порядки соответственно третьего, второго, первого, нулевого моментов плотности функции распределения кристаллов по размерам км, к а, кг, —константы скорости вторичного зародышеобразования ки—константа скорости зародышеобразовання, происхоля1цс о гомогенным или гетерогенным путем буквы М, 5, [c.336]

Математическая модель реализуется путем решения численньм методом системы обьпаювенкьк дифференциальных уравнений, интегро дифференциального уравнения баланса по растворенному веществу и дифференциального уравнения в частных производных, используемого для расчета функции распределения кристаллов по размерам. Для решения последнего уравнения используется метод представления функции распределения частиц в пространстве поколений. [c.164]

Рмс. 2. Функция распределения кристаллов ПО размерам (обычным г и иаиб, вероятным при изотермической (298 К) перя-одич. 1фис1аллизаиии из водного р-ра в кристаллизаторе с мешалкой (число Ке = = 10 ) I Ва804. исходное пересыщение = 500, = 7.6 мкм 2 - К 2804. высали-вание метанолом (Г I). = 1 мкм / время процесса. [c.528]

В дальнейшем будем полагать, что основная масса зародышей возникает нижней части аппарата, так как здесь создается наи льшее пересыщение раствора и объемная концентрация твердой фазы. Функцией распределения кристаллов по размерам будем пренебрегать, полагая, что в поперечном сечении аппарата кристаллы имеют один и тот же средний размер. Наконец, примем одинаковой в данном сечении аппарата температуру жидкой и кристаллической фаз. При сделанных допущв1иях общая система [c.359]

Модель 2-го уровня содержит уравнение типа Фоккера-План-ка /2/, описывающее измененле в ходе процесса функции распределения кристаллов по состояниям [c.293]

Рис. . ( ,dL) Эволюпия численных функций распределения кристаллов по размерам в каскаде кристаллизаторов

Рис. 1.9. Типичные функции распределения кристаллов по размеру 1,2 — кристаллы BaSOi, выделенные из раствора при Г = 25° С, I, = 500, Не = Ю в момент t = 0,22 с, когда ( / о) = 0,42 и г = 7-10 см (I), и при полном снятии пересыщения, когда г = 7,6-10- (2) 3 — кристаллы KjSO,, выделенные из водно-метанольной смеси (1 1) при Т = 25° С, Re = 10, г = 1-10- см-[г — значение г при максимуме функции Ф (г, )].

Справочник химика 21

Химия и химическая технология