Случай экспоненциального распределения

Случай экспоненциального распределения [c.65]

Рассматривается резервированная система, состоящая из одного основного и г — 1 резервных элементов. Система отказывает в момент , когда впервые оказывается г неисправных элементов. Все элементы восстанавливаются одним оператором время восстановления — случайная величина т) с функцией распределения Н (х). Наработка до отказа основного элемента — случайная величина с экспоненциальным распределением с параметром К. Требуется оценить Р (О — вероятность безотказной работы системы в течение времени t при условии абсолютной исправности в момент /о = О- Рассматривается случай быстрого восстановления за время восстановления резервного элемента основной элемент может отказать лишь с малой вероятностью. Для исследования подобных систем давно используется метод регенерирующих процессов. Именно весь процесс проходит через моменты восстановления tl. 4.....4, где — /г-й в порядке возрастания момент, когда система выходит из абсолютно исправного состояния, т. е. отказывает некоторый элемент. Известно, что в таком случае [c.194]

Для случая экспоненциального распределения активных центров уравнение (1.12) нашло теоретическое подтверждение [3, стр. 85]. [c.22]

При = l, T. e. для случая экспоненциального начального распределения, получаем [c.98]

При 2 = 0 мы получаем непрерывно убывающее очень широкое экспоненциальное распределение оно не отвечает никакому реальному случаю и в дальнейшем не рассматривается. [c.90]

Экспоненциальное распределение отвечает тому, что доля участков с разной адсорбционной способностью оказывается различной. При этом относительная доля участков с меньшей адсорбционной способностью должна быть большей, чем участков с большой адсорбционной способностью. Существенно, что, как видно из уравнений (П1.92) — (П1.96), относительная доля участков с данной адсорбционной способностью зависит от величины п. При больших п (строго говоря, при п- оо) различия в равномерном и экспоненциальном распределениях нивелируются [133] и логарифмическая изотерма оказывается эквивалентной степенной. Обе изотермы вытекают из общего уравнения (П1.99), из которого при п- оо получается логарифмическая изотерма, а при небольших п — степенная, т. е. логарифмическая изотерма рассматривается как частный случай степенной изотермы. [c.99]

Это распределение описывает функционирование объекта под действием пуассоновского потока импульсов нагрузки, вызывающего отказы сложных систем с восстановлением элементов. Экспоненциальное распределение можно считать частным случаем распределения Вейбулла и гамма-распределения. [c.688]

Более общим является случай, когда адсорбционная и реакционная способность при переходе от одного места поверхности к другому изменяется неодинаково по отнощению к разным адсорбирующимся компонентам. При этом наиболее вероятно, что функция распределения по различным компонентам остается той же самой, но с разными значениями постоянных. Подробное рассмотрение разных вариантов кинетики реакций, когда оба адсорбирующихся компонента занимают в сумме почти всю поверхность при равномерном или экспоненциальном распределении, было проведено автором [17]. В результате получаются уравнения степенной формы, соответствующие выражениям кинетики адсорбции, приведенным выще. Для реакции (11.67) они в общем случае выражаются следующим образом [c.272]

Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения (тге = 1) и распределения Вейбулла (а = 1). Гипотеза об экспоненциальном распределении выдвигалась, когда 0 х) х было близко единице. [c.117]

Экспоненциальные распределения наработки до отказа Г ( ) и времени восстановления С((). В табл. 3.9 приведены основные показатели надежности элемента для экспоненциальных законов распределения наработки до отказа ( ) = 1 — е и времени восстановления С (О = 1 — e Приближенные значения показателей приведены для условий < 1 и V = Х/[г < 1. Коэффициенты К (1) п к (/) соответствуют случаю, когда в момент времени t = 0 [c.36]

К+т) является выпуклой вниз функцией своих аргументов. Завышенная приближенная оценка получена в том предположении, что отказавшие элементы оказываются самыми ненадежными. Причем обе эти формулы имеют в своей основе точное выражение для случая идентичных элементов с экспоненциальным распределением. [c.47]

Если дисперсия распределения для каждого элемента неизвестна, но известно, что распределение относится к классу ВФИ, то для Р можно взять даже предельный случай, т. е. считать, что Р есть экспоненциальное распределение. Тогда для резервной группы коэффициент вариации нужно положить [c.47]

В табл. 6.14—6.20 использованы следующие обозначения А —произвольные распределения наработки до отказа основного и резервного элементов, контроль осуществляется через постоянное время В—то же, что и случай Л, но контроль осуществляется через случайное время, имеющее экспоненциальное распределение с параметром С — элементы имеют экспоненциальное распределение наработки до отказа, контроль осуществляется через постоянное время /V О — то же, что и случай С, но контроль осуществляется через случайное время, имеющее экспоненциальное распределение с параметром V. Через а в таблицах обозначена неконтролируемая часть соответствующих элементов (а = 1 означает, что соответствующий элемент полностью не контролируется). [c.83]

Одноступенчатый контроль показателей типа наработки. Рассмотрим контроль показателей типа наработки для случая, когда наработка между отказами имеет экспоненциальное распределение. Продолжительность контроля ограничена некоторым предельным временем (наработкой). Для выбора плана контроля абсолютные значения уровней = То и = Tj несущественны, план определяется лишь их отношением TJT и рисками аир. Для некоторого упрощения контрольной процедуры приемку (браковку) в данном случае принято проводить не по уровню самого контролируемого показателя надежности, а по связанному с ним числу возникших отказов. [c.346]

Существующие аналитические решения далеко не всегда оказываются достаточно эффективными, поэтому часто используются различные приближенные методы. Рассмотрим метод построения доверительных границ для показателей надежности сложных систем, основанный на известном фидуциальном подходе Фишера, для случая экспоненциального закона распределения времени безотказной работы элементов. Пусть Кг — неизвестный параметр интенсивности отказов для элементов г-го типа системы, г = 1,. ... т. Предположим, что в ходе испытаний элементов г-го типа, проводившихся до наблюдения Г отказов, была получена суммарная наработка 5,-. Функция распределения результата наблюдений 5 при данном фиксированном значении параметра кг имеет вид [c.390]

Если время пребывания в каждом состоянии к имеет экспоненциальное распределение, то процесс функционирования марковский. Система уравнений Колмогорова для стационарного случая в матричной форме принимает вид [c.545]

Для случая = l, соответствующего экспоненциальному начальному распределению, (5.68) преобразуется к виду [c.98]

Тем не менее оба случая ярко демонстрируют существенное влияние тангенциальных сил, возникающих вследствие движения граничных поверхностей, на результирующее распределение сил. При перемещении материала в направлении смещения границ существование сил трения позволяет уменьшить силу Ро, необходимую для поддержания на заданном уровне силы р1, действующей в противоположном направлении. Полученные результаты указывают также на то, что усилие сдвига способно создавать в материале давление, которое превышает давление, приложенное извне. Давление растет экспоненциально увеличению длины движущегося слоя. То же самое происходит и в движущейся пробке. Следовательно, сдвиг, как будет показано ниже, — это механизм, благодаря которому материал не только транспортируется, но и уплотняется. [c.245]

Поскольку увеличение среднего размера кристаллов приводит к уменьшению величины D в уравнении (П1.55), то распределение примеси по высоте кристаллизационной колонны должно отклоняться от экспоненциального разделительная способность колонны при этом будет ухудшаться. Для приближенной оценки ожидаемого при этом эффекта снижение глубины очистки рассмотрим случай, когда доля твердой фазы и скорость ее движения по колонне не изменяются, что обычно имеет место в колоннах со шнековым транспортером кристаллов. При этом можно принять, что в процессе массовой кристаллизации из расплава, находящегося при температуре, близкой к температуре [c.140]

В случае неоднородной поверхности подход, рассматриваемый в 4.1, можно применить лишь к бесконечно малой доле участков поверхности катализатора с одинаковыми свойствами с последующим интегрированием по всей поверхности, принимая определенную функцию распределения неоднородности [линейную (случай изотермы Темкина) или экспоненциальную (случай изотермы Фрейндлиха) I. Концепция неоднородности в целом оказалась полезной для развития кинетики гетерогенного катализа однако и эта концепция базировалась на сильно упрощающем предположении о неизменности катализатора. [c.78]

Сначала рассмотрим более общий случай исключения влияния межфазного массопереноса. Характер температурной зависимости (энергия активации) не может служить в жидкофазных реакциях надежным критерием оценки по ряду причин. Вследствие возможного клеточного диффузионно-контролируемого механизма или ионного характера реакции истинная энергия активации реакции может быть малой. Далее, как указывалось в предыдущем разделе, наблюдаемая температурная зависимость может быть следствием изменения коэффициентов распределения реагентов между фазами. Вблизи критической области такое влияние может быть особенно сильным и сказывается такнлб на соотношении объемов фаз. Наконец, в жидкостях, в отличие от газов, сам коэффициент диффузии зависит от температуры экспоненциально, причем эффективная энергия активации диффузии в вязких жидкостях составляет заметную величину. Поэтому обычно о переходе в кинетическую область судят ио прекращению зависимости скорости реакции от интенсивности перемешивания или барботажа. Здесь, однако, есть опасность, что при больших скоростях перемешивания может наступить автомодельная область, а ири очень интенсивном барботаже измениться гидродинамический режим. В результате объемный коэффициент массопередачи может стать инвариантным к эффекту перемешивания и ввести, таким образом, в заблуждение исследователя. В трехфазных каталитических реакторах этот прием более надежен ири условии неизменности соотношения фаз в потоке. [c.74]

Распределение концентрации обладает своеобразными свойствами. В частности, асимптотическое поведение функции С при больших р существенно зависит от выбора направления радиуса-вектора, и, в отличие от случая массообмена частицы в поступательном потоке, концентрация на больших расстояниях от частицы уменьшается не экспоненциально, а по степенному закону [133]. [c.225]

Функция распределения Р( р < Я) для общего случая получена лишь недавно. В табл. 5.5 и 5.6 приведены значения Я, полученные методом, описанным в гл. 4, при которых вероятности окончания испытаний не менее 0,99 (Ях) и 0,999 (Дг). э погрешности А/ и Аа, следовательно, не более 0,01 и 0,001. Таблицы составлены для экспоненциального и биномиального распределений. Использование приведенных в гл. 5 данных позволяет получить и иную точность. [c.88]

Наряду со многими другими отличиями биномиальных планов, о которых речь шла ранее в связи с дискретностью процесса, их общее количество существенно уступает экспоненциальному случаю. Кроме того приводимые здесь планы содержат не более сорока последовательных этапов наблюдения для наибольшей вероятности, предусмотренной при их построении и равной 0,999, поэтому имеется возможность для всех планов при биномиальном распределении привести все данные для планов табличного типа. Эти данные позволяют построить и графический план, однако его использование представляется менее целесообразным. [c.92]

Совершенно очевидно, что решить указанные уравнения можно в общем случае лишь с помощью ЭВМ. Метод расчета указанных величин, а так же других параметров испытаний рассмотрен в разд. 6.3. С помощью этого метода были найдены оценочные уровни Гг и для случая использования критерия I при экспоненциальном законе распределения наработки т. [c.100]

В табл, Т5 и Т7 приведены планы контроля последовательным методом с наибольшими гарантируемыми коэффициентами доверия при биномиальном законе распределения отказов (дефектов), данные для которой получены описанным в разд. 6.3 способом. В отличие от экспоненциального случая при биномиальном распределении больше входных данных кроме а, 3 л с здесь задается также ро, характеризующая приемочный уровень брака. В связи с этим существенно возрастает число возможных вариантов, поэтому пришлось ограничиться использованием планов с симметричными оценочными уровнями, т.е. с а = 3. Значения Ро взяты в интервале от 0,01 до ОД. Входные данные в табл. Т5 и Т7 закодированы с помощью табл. 6.5 и 6.6. [c.106]

В гл. 3 показана возможность получения численных значений вероятностей окончания испытаний, однако аналитическая зависимость получена лишь для случая о —> О и конечного значения 3. Ниже рассматривается возможность получения аналитического выражения для закона распределения моментов окончания экспоненциальной и биномиальной последовательных процедур при любых а, 3 и произвольном характере границ оценочных уровней. Предварительно напомним ранее полученное выражение для функций распределения при о —> О и конечном (3 и получим выражение для функции распределения в случае /3 — О, которые будут использованы в дальнейшем для получения общего аналитического выражения для закона распределения. [c.117]

Экспоненциальный случай. В соответствии с гл. 3 точное значение функции распределения У/ ( г = к) — вероятности завершения последовательного контроля приемом при г = к а этом случае определяется выражением [c.117]

Второй случай, который характеризуется равенством коэффициентов теплоотдачи ан=с с и экспоненциальным законом распределения температуры среды по высоте кипящего слоя, наиболее отвечает реальным процессам теплообмена в кипящем, слое. Зависимости, по лученные для него, могут быть рекомендованы как основные при исследованиях и расчетах теплообмена между частицами и средой. Для этого случая темп охлаждения находим из уравнения (П-29) [c.57]

В условиях сшивания вопрос о распределении цепей сетки по длинам решается просто. Введение узлов, т. е. присоединение сшивающего агента к макромолекуле, можно трактовать как разбиение цепи на фрагменты по закону случая, и тогда задача о сшивании сводится к задаче Куна о разрыве цепи [39]. Это означает, что если на цепь приходится больше 3 узлов сетки, то с большей точностью распределение цепей по длинам будет подчиняться экспоненциальному закону Флори. [c.130]

Рассмотрим та ой случай для обоих наиболее распространенных распределений — равномерного и экспоненциального, приводящих к одинаковым по форме кинетическим зависимостям. [c.194]

До тех пор пока интегральное описание процессов диссоциации, использующее в уравнении (1.34) представление о непрерывном распределении энергии, является достаточно правильным, уравнение (1.66) описывает диссоциацию в условиях, к которым применима модель слабых столкновений, а уравнение (1.61) с Рд = 1 — диссоциацию, к которой применима модель сильных столкновений. Для специальной функциональной зависимости k(Ej Ei), т. е. для экспоненциальной модели, общая формула, охватывающая оба случая, выводится из уравнений (1.51) и (1.55). Поэтому для большинства произвольных зависимостей к Е Ег) можно получить вполне подходящие соотношения. Однако случаи, в которых важны переходы только между ближайшими дискретными уровнями или явно выраженные дискретные переходы, накладывающиеся на квазинепрерывную зависимость k Ej Ei), необходимо рассматривать отдельно. В этом случае [94, 98, 101, 102] применимы решения уравнения [c.73]

После каждого случая взрыва (отказа) работоспособность производства (агрегата) восстанавливается. По статистическим данным обработки информации об авариях и по методикам, приведенным в соответствующих ГОСТах о надежности можно определить надежность производства, обусловливающая его безаварийность, продолжительность безаварийной работы, предельное время эксплуатации с необходимым перерывом для ремонта, ресурс работы между ремонтами и другие валяные показатели для безаварийной работы производства. Для распределения внезапных случайных взрывов и воспламенений (отказов) наиболее близко подходит экспоненциальный закон, а для постепенных, износовых отказов — нормальный закон распределения. Пользуясь этим законом, можно рассчитать вероятность безотказной (безаварийной) работы производства (агрегата), т. е. вероятность того, что производство при данной постоянной интенсивности отказов элементов (или соответствующей наработке на отказ, т) не откажет в течение заданного времени. [c.446]

Это соображение может быть положено для использования непараметрического критерия Вилкоксона при оценке того, относится ли данное исходное распределение к классу стареющих или нет. Критерий Вилкоксона основан на подсчете числа инверсий (инверсией называется ситуация, когда объекты I и +1 занимают места +1 и О- Так, для стареющего распределения наиболее вероятными являются ситуации, когда чйсло инверсий равно нулю (все величины образуют невозрастающую последовательность) либо равно небольшому числу (среди величин р среднем наблюдается порядок при незначительных отклонениях). В то же время для случая экспоненциального распределения число инверсий будет очень велико, так как любое размещение случайных величин в упорядоченной последовательности является равновероятным. Соответствующая гипотеза о старении может быть принята с достоверностью 1—Р, если число инверсий не превосходит заданную границу, рп (Максимальное число инверсий равно п1). Так, если испытывать, например, пять элементов и мы хотим с достоверностью не ниже 90% оценить, является ли исследуемое распределение стареющим , то из полного числа 120 возможных перестановок лишь 12 с наименьшим числом возможных инверсий являются для нас удовлетворительными из них одна без инверсий, пять с одной инверсией и шесть фиксированных заранее реализаций с двумя инверсиями (всего таких реализаций с двумя инверсиями в нашем случае = 10). [c.46]

При обсуждении результатов изучения мономолекулярной адсорбции широко используют представление об экспоненциальном распределении мест на поверхности по теплотам адсорбции [1]. Для случая средних покрытий поверхности это приводит к известному уравнению изотермы адсорбции Фрейндлиха [2, 3]. При физической адсорбции, в частности в условиях наших опытов, адсорбция может значительно превышать объем монослоя. Поэтому для описания результатов мы использовали уравнение (4), проанализированное в нашем предыдугцем выступлении. [c.144]

Прогнозирование максимально-возможных значений разности потенциалов арматура — бетон или смещения потенциала ДС/, обусловленных изменениями на источниках блуждающих токов, выполним для наиболее распространенного случая, соответствующего росту нагрузки ближайшей тяговой подстанции в связи с интенсификацией движения и увеличением грузооборота. В этом случае изменяется (увеличивается) и среднее значение х разности потенциалов арматура — бетон. Пересчет среднего значения х, соответствующего току нагрузки 1и к средней величине X, соответствующей новому току нагрузки /2, выполняем с учетом уравнения регрессии X = а - - Ы . Коэффициенты а и 6 находим с помощью специальной обработки синхронных записей величин л и /1 [4]. Пусть X < / р, где С/кр — критическое значение, характеризующее опасность коррозии. Задача таким образом сводится к нахождению максимально возможного значения Ки в новом распределении со средним значением X, полученном наложением на исходное распределение нового экстремального распределения. В этом случае целесообразно воспользоваться обобщением Барричели. Суть его заключается в том, что при изменении генерального среднего новое распределение фв х) можно представить как композицию нормального распределения характеристического наибольшего и со средним значением X и стандартным (среднеквадратичным) отклонением 0 = = lhY2 и двойного экспоненциального распределения х со стандартным отклонением максимальной величины 0 = = я/(а У ). Обобщение Барричели применимо, если исходное распределение нормальное. [c.180]

Это — экспоненциальное распределение по числу молекул для полимера, находящегося в условиях равновесия. Чтобы перейти к весовому распределению (см. гл. П1), нужно обе части умноноить на п/Р . В гл. III было показано, что в этом случав MJM должно равняться 2. [c.179]

Решение о коэффициенте готовности системы К может приниматься непосредственно по наблюдениям за потоком отказов и восстановлений системы. В предыдущем параграфе предполагалось, что наблюдаемые интервалы работы и восстановления — независимые стареющие случайные величины. Заметим, что в результирующем системном потоке интервалы работы и восстановления системы могут быть зависимы. Рассмотрим частный случай, когда время восстановления каждого элемента имеет экспоненциальное распределение. Тогда интервалы работы и восстановления системы независимы. Время восстановления системы имеет экспоненциальное и, следовательно, стареющее ) распределение со средним Тр = т/п. Кроме того, в случае высокой надежности, когда число отказов элементов на одном интервале безотказной работы системы достаточно велико, можно приближенно считать, что наработка системы имеет также экспоненциальное распределение. В указанных допущениях можно использовать результаты пре-дыдуш его параграфа для принятия решения непосредственно по наблюдениям за интервалами работы и восстановления системы. [c.408]

Заметим, что при довольно общих предположениях ряд показателей надежности, вычисленных в предположении об экспоненциальности распределений, совпадает с показателями, вычисленными для общего случая, а некоторые могут быть использованы как приемлемые для практических целей оценки. [c.20]

Б. Может, однако, случиться так, что (3.42) не будет выполняться, т. е. гипотеза о нормальном распределении не подтверждается. Тогда следует оценить параметры, определить дисперсии и доверительные интервалы для двух каких-либо наиболее резко различающихся распределений. Обычно выбирают нормальное (Гаусса) и двойное экспоненциальное (Лапласово) распределения. Сравнение дисперсий для обоих видов распределения объективно дает оценку максимально возможных опшбок измерения, обусловленных незнанием закона распределения. [c.146]

Следует отметить значительное отличие распределения давлений для 0,5 от экспоненциального, отвечающего случаю квазитвёрдого вращения газа или случаю равномерного торможения — такому уменьшению Ua до значений г эфф. при котором давление на радиусе, соответствующем радиусу внутреннего цилиндра, будет равно истинному давлению Р[К). [c.161]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология