Непрерывные группы

Задача (а) сложнее последующих. По сути дела, ее решение получено в задачах 9.21 и 9.22. Простой путь решения возможен при использовании метода приведения представлений непрерывной группы, изложенного в задаче 5.24. [c.80]

ТЕОРИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП [c.90]

В действительности она покрывает ту часть группового многообразия, которая содержит единицу. Если многообразие имеет несвязные части, то группа представима как прямое произведение связной непрерывной группы, называемой собствен ной группой, и некоторой дискретной группы. Как правило, если противоположное не оговорено (как, например, при обсуждении несобственной группы Лоренца), мы будем иметь дело только с собственными группами. [c.93]

На практике непрерывные группы встречаются не в абстрактном виде, как мы их до сих пор рассматривали, а как группы преобразований переменных ср которые можно считать действительными. Каждому элементу х соответствует взаимно однозначное преобразование ср q> которое можно представить в виде [c.94]

Всякая непрерывная группа имеет естественное матричное представление, называемое присоединенным представлением, которое определяется следующим образом [c.96]

ПРИВЕДЕНИЕ ПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ В НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУППАХ [c.435]

Эти таблицы охватывают дискретные точечные группы вращений, содержащие ось вращения до 6-го порядка, кубические точечные группы, линейные и сферические непрерывные группы вращений, а также симметрические перестановочные группы вплоть до 7-го порядка. В таблицы характеров точечных групп включены также трансформационные свойства декартовых координат, вращений вокруг осей декартовой системы координат и квадратичных функций декартовых координат. Трансформационные свойства высщих полиномов от декартовых координат можно определить путем перемножения соответствующих представлений. [c.441]

Непрерывные группы двумерных вращений [c.454]

Непрерывные группы трехмерных вращений [c.455]

Практически во всех физических системах либо конечные, либо начальные состояния принадлежат непрерывной (или почти непрерывной) группе состояний. Измерения сводятся к определению полной вероятности перехода во все состояния /, обладающие почти одинаковой энергией и одинаковыми матричными элементами Для получения такой вероятности надо про- [c.444]

IV, Непрерывные группы Ли. Непрерывной группой Ли называется бесконечная группа, каждый элемент которой может быть задан с помощью конечного числа параметров. Минимальное число параметров, определяющих каждый элемент группы, называется размерностью группы Ли. Например, повороты па произвольный угол вокруг фиксированной оси образуют группу Ли. Произведением двух поворотов на углы ф1 и фз является поворот на угол ф1 + ф2- Эта группа имеет размерность, равную 1, так как каждый поворот определяется одним параметром— углом поворота. Полная группа вращений является группой Ли размерности 3, так как каждое вращение характеризуется тремя параметрами, например углами Эйлера. [c.692]

Вспомним, что свободное пространство однородно, т. е. инвариантно относительно трансляции на произвольный (в том числе и на бесконечно малый) вектор. Совокупность всех подобных перемещений образует непрерывную группу трансляций. Роль оператора трансляции на бесконечно малый вектор переходит к оператору импульса (говорят, что оператор импульса является генератором [c.21]

Инвариантность механических уравнений относительно преобразований непрерывной группы трансляций порождает вектор импульса р как основную характеристику состояния свободной частицы или волновой вектор к как основную характеристику волнового процесса в вакууме. Векторы р и к в свободном пространстве не ограничены по величине никакими условиями и связаны соотношением де Бройля [c.22]

В данной модели полный набор трансляций образует непрерывную группу симметрии, так что опять удобно использовать фурье-преобразование плотности [c.287]

Преобразование симметрии переводит несимметричное состояние системы в другое, обладающее тем же значением термодинамического потенциала. Энергетическое вырождение является важной особенностью состояния с нарушенной симметрией. В случае непрерывной группы симметрии вырождение является бесконечнократным, что приводит к ряду физических особенностей (гл. IV). [c.27]

Во многих системах параметр упорядочения — многокомпонентная величина ф(х), обладающая симметрией по отношению к непрерывной группе преобразований в пространстве ф. Непрерывно вырожденные системы обладают той особенностью, что флуктуации в них не малы при всех температурах в упорядоченной фазе. В этой главе обсуждаются особенности поведения различных непрерывных вырожденных трехмерных систем. [c.153]

Системы с непрерывной группой симметрии [c.153]

Изотопическое пространство такой системы пятимерно. Сверхтекучий гелий-3 описывается параметром, представленным комплексной 3X3 матрицей. Гамильтониан таких систем зависит от инвариантов, образованных из пространственных производных параметра упорядочения. Нематик и Не представляют примеры вырожденных систем, в которых параметр упорядочения реализует представление непрерывной группы симметрии, отличное от векторного представления. Из компонент параметра порядка ф можно построить конечное число к независимых инвариантов li,. .., /ft группы симметрии. Инвариант, квадратичный по параметру <р, всегда можно выбрать в виде суммы квадратов всех компонент ф, остальные инварианты— однородные функции более высокого порядка. Для тензора 5 р(а, Р = 1,. .п) ортогональной группы, U [c.154]

Замена непрерывной группы вращений дискретной точечной группой искажает некоторые важные черты флуктуаций. Это обстоятельство станет ясней позже, когда мы будем обсуждать рассеяние света нематиками (гл. 3). [c.56]

Интересно, что непрерывные группы, которые в свое время изучал М. С. Ли, широко используются в современной физике, в частности при классификации элементарных частиц. Вопрос о систематике элементарных частиц — один из наиболее сложных, и достигнутые в этой области успехи связаны главным образом с использованием непрерывных групп Ли. И классификация элементарных частиц, и Периодическая система покоятся, по современным представлениям, на одном и том же математическом фундаменте. Ведь любая научная классификация в конечном счете основана на выявлении свойств симметрии классифицируемых объектов. Пусть даже исследователь и не применяет (как, например, не применял Д. И. Менделеев)" сознательно и в явном виде методов теории групп, все равно, групповая основа классификации рано или поздно проявится, потому что классификация предполагает группировку объектов по общности их свойств или строения и сохранение этой общности при каких-либо изменениях — будь то геометрически е преобразования или переход от одного химического элемента к другому, например от Li к Na и далее К, Rb, s и Fr. [c.108]

Свободный атом характеризуется полной сферической симметрией и принадлежит к так называемой группе вращения Кн- Операциями симметрии этой непрерывной группы являются вращения на произвольный угол вокруг произвольно направленной оси, проходящей через центр сферы. Различные элементы группы характеризуются двумя параметрами [c.55]

Гамильтониан Я, очевидно, трансляционно-инвариантен. Кроме того, он инвариантен относительно группы S, где для любого g S имеем ( ф) (а ) =ф(а ) + g. Считается, что g — число, О g< 2л, а сложение понимается по модулю 2л. Рассматриваемая модель есть простейшая модель с непрерывной группой симметрии. [c.16]

Непрерывные группы.— М. Гостехиздат, 1954.— 516 с. [c.670]

До сих пор мы подробно изучали только линеаризованные релятивистские системы. Для того чтобы обсудить возможные типы нелинейностей, а следовательно, и взаимодействий, которые в конечном счете представляют для нас основной пнтерес, мы прервем изложение динамической теории и посвятим эту и несколько следующих глав теории непрерывных групп, так как именно они обусловливают выбор конкретных лагранжианов. Мы начнем с обзора элементарной теории непрерывных групп, который по необходимости будет коротким и нестрогим. При этом даже в тех случаях, когда индексы в соответствующих уравнениях будут пробегать непрерывную область значений, мы будем использовать язык конечномерных групп Ли ). [c.90]

Непрерывность мы будем в действительности понимать как диф-ференцируемость достаточное число раз , поэтому непрерывная группа — это в дальнейшем любая бесконечная группа, элементы которой могут быть занумерованы набором координат таким образом, что координаты произведения любых двух элементов группы являются дифференцируемыми функциями координат этих элементов. Если группа является обычной группой Ли, то дифференцирование означает обычное дифференцирование и координатное многообразие (или групповое многообразие ) конечномерно. В случае бесконечномерной группы инвариантности под дифференцированием понимается функциональное дифференцирование и координаты сами являются функциями на конечномерном многообразии (например, пространстве-времени). Абстрактные элементы группы будут обозначаться буквами, снабженными чертой X, у, Z и т. д., а их явные представления пли координаты на групповом многообразии будут обозначаться ж , 2 и т. д. Для единицы группы (или тождественного преобразования) будет использоваться обозначение 1. [c.90]

Для многих целей удобно рассматривать ф как координаты точек дифференцируемого многообразия, имеющего конечное или бесконечное число измерений в зависимости от того, является индекс г дискретным или непрерывным. Представление называется транзитивным, если для каждой пары точек многообразия существует групповое преобразование, которое переводит одну точку в другую. Наиболее общее представлеиле непрерывной группы получится, если взять прямое произведение транзитивных представлений ), добавить произвольное число новых переменных ф", которые остаются неизменными нри групповых преобразованиях, и затем сделать произвольное функциональное преобразование всех ф (т. е. перемешать их). Для многих представлений, которые естественным образом возникают на практике, обратить эту процедуру, т. е. распутать переменные ф так, чтобы они разделились на полный набор инвариантов и другой набор, на котором действует транзитивное представление, бывает чрезвычайно трудно, особенно в случае бесконечномерной группы. С другой стороны, не составляет особого труда распознать пивариант. Тест на инвариантность уже был приведен в гл. 3 (см. (3.10)). Заметим, что транзитивные представления не имеют групповых инвариантов, за исключением тривиальных констант, и поэтому в некотором смысле онп лишены физического интереса. [c.95]

Мы уже вспоминали, что пространство, в котором существует кристалл, однородно. Перемещение из одной точки свободного пространства в другую на произвольный, в том числе и на бесконечно малый, вектор равносильно переходу в эквивалентное состояние. Именно поэтому энергия системы взаимодействующих атомов не изменяется при произвольных трансляциях всей системы. Симметрия, связанная с инвариантностью функции Лагранжа (или функ-цииТамильтона) относительно преобразований непрерывной группы трансляций, присуща любой системе частиц. [c.45]

Если свойства основного состояния системы с большим числом степеней свободы нарушают ее симметрию относительно преобразований некоторой непрерывной группы, то в системе обязательно возникают коллективные возбуждения, частоты которых со (к) стремятся к нулю при к - 0 Голдстоун, 1961 Боголюбов Н. Н., 1963). Эти возбуждения всегда имеют такой характер, что они как бы стремятся восстановить нарушенную симметрию системы. Число ветвей подобных голдстоуновских возбуждений определяется числом нарушенных независимых элементов непрерывной группы симметрии функции Лагранжа системы (числом исчезнувших генераторов исходной непрерывной группы симметрии). [c.45]

Книга посвящена систематическому изложению современной теории фазовых переходов. В ней изложены теоретические представления, необходимые для описания взаимодействующих критических флуктуаций (гипотеза подобия, алгебра флуктуирующих величин, конформная инвариантность, ренормгрушха). Теория применяется для описания конкретных явлений. Проводится сопоставление с экспериментом. Особое внимание уделено системам с непрерывной группой симметрии (сверхтекучая жидкость, гейзенберговский магнетик), свойства которых при всех температурах ниже точки перехода определяются сильными гидродинамическими флуктуациями. Книга содержит много оригинальных результатов. Большинство вопросов, затронутых в книге, никогда не излагалось в систематической форме. [c.2]

Для краткости по аналогии с ядерной физикой будем называть пространство компонент параметра порядка изотопическим пространством, а преобразования непрерывной группы симметрии в изотопическом пространстве изотопическими преобразованиями. Расширяя класс систем с непрерывным вырождением, включим в их число нематические жидкие кристаллы и сверхтекучий Не . Для этих систем гамильтониан не инвариантен относительно однородных вращений в изотопическом пространстве из-за связи реального пространства с изотопическими степенями свободы системы. Тем не менее однородные равновесные состояния этих систем можно считать вырожденными, поскольку однородные вращения не меняют их термодинамический потенциал. Подчеркнем, что это свойство нарушается для неоднородш>1Х состояний — в этом случае изотопическое вращение изменяет свободную энергию. [c.154]

Уравнения (9.27)— (9.29) являются функциональными уравнениями непрерывной группы ренормировок. Как известно из теории непрерывных групп, от функциональных уравнений можно перейти к дифференциальным уравнениям Ли, рассмотрев инфинитезимальные преобразования группы. Введем обозначения [c.354]

Для непрерывных групп О ь. и oovJ как прз вило, используются иные обозначения. Одномерные НП обозначаются буквой 2, двумерные — буквами П, Д, Ф и т. д. Кроме того, им приписывают еще верхний индекс + или —, указывающий поведение функции при операциях отражения в плоскостях Сю. которых в этих группах бесконечно много. Обозначения НП группы Ьаок имеют еще и нижний индекс четности g или и. [c.38]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология