Принцип наименьших квадратов

Определение констант равновесия связано с применением статистических методов. Пусть необходимо определить N констант равновесия и для этого измеряется какая-то функция этих констант у, вид которой известен. Проводят К измерений, причем К> N и разность К — = р называется числом статистических степеней свободы.Принцип наименьших квадратов состоит в том, что наилучшим набором констант считается такой, который приводит к минимальной [c.157]

Важно только знать, в какой мере удовлетворяют этой линейной зависимости (12-42) значения ж, и г/ . Если п измерений значений х ,- , и г/х, г/а,. Уп нанести на систему координат и вычертить от руки или с помощью линейки выравнивающую прямую, то такой метод будет произвольным, а точность его — сомнительной, несмотря на простоту и частое применение. Существует метод наиболее правильного определения хода прямой — это метод наименьших квадратов Гаусса. Отклонение измеренного значения г/, от прямой выражается разностью У1 — а — Ьх . По принципу наименьших квадратов та прямая наиболее подходит для измеренных значений, для которой сумма квадратов отклонений наименьшая [c.266]

В основе предлагаемого метода лежит принцип наименьших квадратов. Искомые параметры определяются путем минимизации функции F [c.120]

Если погрешности в измерении величин X и У носят случайный характер и распределены по нормальному закону, то в соответствии с принципом наименьших квадратов (см. разд. XIV. 7) в качестве наилучших значений параметров а, следует выбрать такие, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной [c.845]

Максимуму Рп, как нетрудно видеть, отвечает минимум показателя степени при е, т. е. минимум выражения сл Таким образом, закон нормального распределения включает в себя принцип минимума суммы квадратов отклонений или, как его часто называют, принцип наименьших квадратов. Этот принцип лежит в основе многих современных методов расчета оптимальных параметров, описывающих экспериментальные зависимости. [c.79]

Принцип наименьших квадратов [c.134]

Доказательство обобщенного принципа наименьших квадратов. [c.166]

Ясно, что /г(н) можно оценить лишь для О н Г, но на практике к(и) затухает на довольно коротком участке записи по сравнению со всей длиной Таким образом, обычно интересуются оценкой к(и) в интервале О ы Го, где То значительно меньше, чем Т Заметим, что, хотя х 1) является реализацией случайного процесса Х 1), принцип наименьших квадратов все же применим, если рассматривать х 1) как фиксированную функцию Как отмечалось в разд. 4 4 4, знание совместного распределения случайных величин Х 1) не дает ничего для оценивания Н и) > [c.211]

Согласно принципу наименьших квадратов, оптимальные значения параметров соответствуют минимуму суммы квадратов отклонений рассчитанных свойств системы от экспериментальных значений этих свойств. Когда оценка проводится по нескольким свойствам системы, критерий оптимальности параметров можно записать так [c.212]

Принцип, наименьших квадратов был сформулирован в начале ХГХ в. в трудах Лежандра, Лапласа и Гаусса и применен ими для решения метрологических проблем астрономии и геодезии- ...... [c.261]

Согласно принципу наименьших квадратов, наиболее вероятным будет такой набор констант, нри котором дисперсия [c.368]

Благодаря широким пределам данных по сжимаемости азота Деминг и Шуп имели возможность выравнять все свои расчеты в отношении температуры и давления этот метод заменил сглаживание наблюдений, например по принципу наименьших квадратов, и сильно повысил точность расчетов. [c.211]

КИМ образом, закон нормального распределения включает в себя принцип минимума суммы квадратов отклонений или, как его часто называют, принцип наименьших квадратов. Этот принцип лежит в основе многих современных методов расчета оптимальных параметров, описывающих экспериментальные зависимости, [c.67]

Рассматривая величины Со, аь. .., а-т как независимые переменные, условие. минимума функции (44) можно найти, взяв 17 + 1) частных производных этой функции по всем переменным и приравняв их нулю. В результате получится система из т + ) уравнений, решение которой в случае простых функций не представляет труда. Ниже на конкретном примере мы продемонстрируем путь решения задач, поставленных в соответствии с принципом наименьших квадратов. [c.108]

Выбор в пользу той или иной схемы в этом случае можно сделать на основе статистической оценки, проведенной с использованием принципа наименьших квадратов в плане второй из рассмотренных задач. Необходимым условием, обеспечивающим правомочность такой оценки, должна быть статистическая равноценность экспериментальных наборов (равная воспроизводимость результатов прн равной мощности наборов и кратности,отдельных измерений). [c.110]

Непосредственное применение принципа наименьших квадратов к критерию (5.2.4) привело бы в данном случае к системе уравнений, нелинейных относительно искомых параметров, в отличие от линейной системы, такой как (5.2.5). Поскольку нахождение корней системы нелинейных уравнений может оказаться более трудной задачей, чем прямая минимизация функции ф (относительно параметров) каким-либо итеративным методом, то мы обсудим только этот последний подход. [c.158]

При использовании принципа наименьших квадратов [72, 73] этот набор параметров отыскивается путем минимизации функций [c.169]

Мальковой [105] для изучения ступенчатых процессов образования комплексов с ионами металлов. В основе этого метода лежит использование уравнения Гаусса для разложения экспериментального спектра поглощения на составляющие компоненты. Это позволяет определить положение полос поглощения всех присутствующих в растворе комплексов, их состав и константы устойчивости. Однако наиболее общим путем получения надежных параметров комплексов на основании исследования электронных спектров является обработка данных по принципу наименьших квадратов с применением ЭВМ [40, 41, 61, 106, 107]. [c.62]

Таким образом, согласно уравнениям (11.86) и (11.87) тангенс угла наклона начального линейного участка кривой титрования численно равен Ак<7/р или Aj plq, а отрезок, отсекаемый на оси ординат, — химическому сдвигу чистого компонента. Отклонение кривой от линейности используется для определения констант равновесия [141—1471. Наилучшие результаты дает обработка таких кривых по принципу наименьших квадратов с применением ЭВМ [47—49, 141, 145—1471. [c.69]

Наиболее общим и весьма перспективным методом математической обработки диэлектрометрических данных для процессов любой сложности является расчет на основе принципа наименьших квадратов с использованием ЭВМ (см. раздел II. 1.5). В работе [461 предлагается такой способ обработки кривых диэлектрометрического титрования, с помощью которого можно получить дипольные моменты всех образующихся комплексов, а также ступенчатые и полные константы равновесия процесса, соответствующего схеме (11.39). [c.78]

Наиболее достоверной системой значений неизвестных, входящих в совокупность условных уравнений, является та система, для которой сумма квадратов остаточных погрешностей принимает наименьшее значение принцип наименьших квадратов). [c.444]

Покажем, что кривые регрессии позволяют определить оптимальное в смысле критерия (11,9) представление случайных величин 5 и т]. Попробуем найти среди всех функций g ( ) такую, которая даст возможно лучшее представление другой величины г). Понимая выражение возможно лучшее в смысле принципа наименьших квадратов, мы должны определить g ( ) так, чтобы сделать возможно более малым выражение [c.112]

Если рентгеноспектральный анализ выполняют с использованием графика, то асд оценивается следующим способом. Для построения графика используют эталоны, элементный состав которых приближен к элементному составу анализируемых образцов. Пусть имеется п эталонов с содержанием определяемого элемента Сх, ь Сх.г, Сх,и, которым соответствуют интенсивности /ь /г,..., 1п. По выборке (/ь Сх, 1), (/2, Сх.г). , (/п, Сх,п) находят уравнение приближенной регрессии, используя, например, принцип наименьших квадратов, согласно которому наилучшее приближение дает та функция /(/) из рассматриваемого класса, для которой [c.31]

Принцип (4.37) несомненно неясен и практически бесполезен. Однако предположение Пригожина стимулировало разработку представлений принципа Онсагера через потоки и через силы настолько, что с его помощью можно теперь исследовать вопрос о существовании термодинамического принципа экстремума в форме, аналогичной принципу Гаусса в механике. Поскольку принцип Гаусса подобен принципу наименьших квадратов (т. е. в него входят квадраты разности двух величин), представлялось правдоподобным, что с помощью потенциалов рассеяния [c.156]

Можно видеть, что этот экстремальный принцип, точно так же как принцип наименьшего принуждения Гаусса, аналогичен принципу наименьших квадратов [48, 49, 63]. Величину С, определенную соотношением (4.40), можно рассматривать, исходя из аналогии с принципом Гаусса, как принуждение , или, точнее, как локальное принуждение . Иначе говоря, сравнение (4.40) с принципом Гаусса показывает, что в термодинамике роль (инертных) масс играют сопротивления. Таким образом, полный словарь соответствующих механических и термодинамических величин имеет следующий вид [c.157]

Критерий (6) — частный случай критерия (1). Он называется принципом наименьшах квадратов в случае нелинейной функции Х С, а) от искомых параметров а([61, с. 205) и методом наименьших квадратов в случае линейного вида Х С, а) относительно параметров а. Этот критерий широко используется даже в тех случаях, когда закон распределения ошибок неизвестен и величины Оэксп. определены приближенно [61. Основанием для его применения могут служить предельные теоремы. [c.115]

Полученная зависимость от [HR] линейна с параметрами /Ср и 2К1Кцы- Уравнение вида Y = аа- а Х с оптимизируемыми параметрами ао и а носит название линейной регрессии Y на X. Параметры ао и aj носят название свободного члена и коэффициента регрессии. В целом, разбираемый пример представляет частный случай регрессионного анализа, основанного на применении принципа наименьших квадратов для нахождения оптимального набора параметров для функций заданного типа. [c.847]

У = 00 + 01 называют соответственно свободным членом и коэффициентом регрессии, а само уравнение — линейной регрессией У на X В целом разбираемый пример представляет собой частный случай регрессионного анализа, основанного на ярименении принципа наименьших квадратов для нахождения оптимального набора параметров функции заданного типа. [c.142]

Принцип наименьших квадратов был открыт немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом, который опубликовал свою первую работу по этому вопросу в 1821 г и затем возращался к нему неоднократно в течение всей своей жизни Его принцип наименьших квадратов представляет собой одно из первых крупных достижений в статистике, и даже на сегодняшний день он является одним из самых мощных методов, имеющихся в распоряжении статистиков [c.134]

Выбор условия (VIII.8) является произвольным, хотя и достаточно логичным. Доказано [33], что использование принципа наименьших квадратов имеет ряд неоспоримых преимуществ как в простоте вычислительных операций, так и в точности их результатов (при достаточном объеме экспериментальных данных). [c.197]

NH I в этаноле а -Nal в этаноле —NH I - в метаноле о — NaBr в метаноле. Линии проведены по принципу наименьших квадратов для концентраций с > 0,64 М. [c.445]

В соответствии с принципом наименьших квадратов эта, более общая по сравнению с предыдущей задача должна решаться путем сравпения величин суммы квадратов отклонений (44), вычисленных через различные функции (45) и соответствующие им оптим1альные наборы параметров. Минимал - [c.110]

Рассмотрим сначала первую задачу, когда предполагается известным-вид формулы (1). После того, как серия экспери-метов з ершена, остается так подобрать значения коэффициентов Ь формулы (1), чтобы добиться максимального совпадения с результатами эксперимента. В соответствии с принципом наименьших квадратов коэффициенты Ь подбирают, так, чтобы сделать минимальной сумму квадратов отклонений экспериментальных значений зависимой переменной у от вы-, численных по формуле (I) [c.89]