Методы численного интегрирования уравнений в частных производных

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [c.149]

Коутецкий и Корыта методом численного интегрирования дали решение нелинейного дифференциального уравнения в частных производных для реакции диспропорционирования, замедленной в последующей стадии, с равновесием, сильно сдвинутым в сторону продуктов реакции. [c.311]

Наряду с преимуществами численных методов им присущи и известные недостатки. Результат численного решения конкретной задачи всегда есть лишь массив цифр, а не буквенные формулы, отражающие влияние отдельных параметров процесса. В этом смысле вследствие своей конкретности результат численного решения не обладает общностью аналитического метода. При численном интегрировании уравнений в частных производных точность результата в значительной степени зависит от количества проделанных вычислений. [c.49]

Толчком к развитию полуэмпирических теорий второго этапа явилось создание надежных термоанемометрических устройств и накопление к тому времени экспериментального материала по пульсационным характеристикам пограничного слоя. Этому способствовали также достижения в области вычислительной техники и разработка новых методов численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. [c.78]

Дифференциальные уравнения в частных производных получаются в тех случаях, когда рассматривается одновременное изменение более чем двух переменных. Для этих уравнений справедливы те же соображения, какие были высказаны по поводу обыкновенных дифференциальных уравнений. Для полного математического описания физической проблемы, помимо самого дифференциального уравнения, необходимы еще дополнительные указания начальные условия, из которых определяются константы, возникающие при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, а также начальные и граничные условия, из которых находятся параметры, полученные при точном решении дифференциальных уравнений в частных производных. (Разумеется, начальные и граничные условия в равной мере необходимы и при численных методах.—Прим. ред.) [c.385]

Рассмотрим сначала методы локального анализа чувствительности. Простейшим методом вычисления частных производных компонент решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по параметрам является поочередное изменение каждого из параметров на некоторую величину и численное интегрирование системы ОДУ. Таким образом, для расчета разностной аппроксимации матрицы частных производных =Э/,7 требуется численно проинтегрировать систему ОДУ 7 + 1 раз. Другой путь состоит в представлении в качестве динамических коэффициентов и составлении для них задачи Коши [420] [c.156]

Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений не вызывает принципиальных осложнений. Нахождение решений уравнений с частными производными с помощью ЦВМ связано с рядом трудностей. Исходные уравнения обычно преобразуются в конечно-разностные соотношения, решение которых может оказаться неустойчивым при неудачном выборе интервала квантования по времени и пространственным координатам. Иногда уравнения в частных производных преобразуют в обыкновенные дифференциальные уравнения (метод характеристик). Сведения о численных методах интегрирования дифференциальных уравнений можно найти в литературе [14]. [c.65]

Существуюш ие в настоящее время методы численного анализа позволяют решать широкий круг задач математического моделирования. Тем не менее в некоторых случаях встречаются серьезные затруднения в применении общих методов численного анализа. К числу таких случаев прежде всего относятся следующие задачи математического моделирования 1) решение систем конечных нелинейных уравнений с большим числом переменных 2) интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями 3) интегрирование систем дифференциальных уравнений в частных производных. [c.129]

В иных вариантах анализа для описания кинетики сушки частицы используется [34] аппроксимационная формула (5.39), что приводит к необходимости применения численных методов интегрирования системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процесс периодической сушки. [c.301]

М и к е л а д 3 е Ш. Е., Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными. Изд. АН СССР, 1936. [c.63]

Распределение давления в различных точках пласта в различные моменты времени можно рассчитать интегрированием нелинейного дифференциального уравнения в частных производных параболического типа (Х1.46), описывающего неустановившуюся фильтрацию реального газа в деформируемом пласте при соответствующих начальных и граничных условиях. Дифференциальное уравнение (Х1.46) решают одним из численных методов, используя для расчетов ЭВМ. [c.356]

Численное решение на ЭВМ всей системы дифференциальных уравнений в частных производных для газовой и жидкостной фаз включает пошаговое интегрирование в направлении г от начальных значений, заданных в плоскости 2о вычислительной программой L1SP. В каждой последующей плоскости 2 вычисляется совместное решение для всех переменных во всех узловых точках расчетной сетки (г, 0) с использованием комбинированной схемы прогноза с коррекцией. Для большинства уравнений применяется конечно-разностный метод переменных направлений с использованием центральных разностей по г и 0. На этапе прогноза используются линеаризованные конечно-разностные аналоги этих уравнений — явные по г и неявные по 0. Отдельные подпрограммы решают каждое из конечно-разностных уравнений, а также вычисляют связи уравнений и физические свойства газа в зависимости от соотношения компонентов. Использование отдельных подпрограмм обеспечивает удобство при введении требуемых изменений в модели различных физических процессов. Из-за практических ограничений в отношении объема памяти ЭВМ и времени счета программа 3-D OMBUST содержит не более 15 круговых и 7 радиальных линий расчетной сетки и не более 12 диаметров капель. [c.158]

Применение численного метода для исследования неравновесных потоков многокомпонентных газовых смесей. Изложенный численный метод служит для интегрирования системы нелинейных, существенно взаимосвязанных между собой дифференциальных уравнений в частных производных. Например, такими являются системы уравнений и граничных условий химически неравновесных многокомпонентных пограничного и вязкого ударного слоев, к такому же виду приводится и параболизованная система уравнений Навье-Стокса, описывающая течение многокомпонентной химически реагирующей смеси газов. [c.198]

Прямое численное интегрирование нестационарного уравнения в частных производных (VI,7) для конкретных случаев выполняется на электронных вычислительных машинах. Расчеты такого рода опубликовали Грей и Харпер [40], Адлер и Эниг [41] и другие [27, 28]. Минимальное значение параметра В, ниже которого критическое условие отсутствует, согласно Адлеру и Энигу [41], равно 4 для реакции первого порядка. Это достаточно близко результату (VII,79), полученному нашим приближенным методом. Грей и Ли [37] показали, что если в формуле (VII,77) заменить коэффициент 2,703 на 4 / = 2,52, то для реакции первого порядка получается совершенно точное согласие с расчетами Адлера и Энига [41]. [c.351]

Интегрирование правой части уравнений (92) или (93) позволяет определить [24, 353] величины или причем (dt /дТ) рассчитывают [24] по экспериментальному соотношению между дифференциальной емкостью и потенциалом с помощью численной обработки данных с привлечением соответствующих частных производных. Интегральную емкость внутренней части оценивали стандартным методом по экспериментально полученной емкости и из теории диффузного слоя. На рис. 50 и 51 приведены значения и Гу как функции поверхностного заряда Для нескольких солей натрия. Обе величины не зависят от при достаточно отрицательных потенциалах по сравнению з потенциалом нулевого заряда, когда < - 10 мкКлх X см , т.е. когда во внешней плоскости Гельмгольца неспецифически адсорбируются только катионы. При — 10 мкКл- см , как и предполагалось, изменения и Ту специфичны для тех анионов, которые находятся в растворе, и, следовательно, адсорбируются на поверхности. Для NaF и Г , и отрицательны. [c.525]

Аэродинамическая модель факела неиеремешанных газов отражает лишь некоторые, хотя и весьма существенные, стороны сложного явления. Она, в частности, не позволяет определить ряд важных характеристик процесса, связанных с кинетикой химических реакций (полноту сгорания, условия стабилизации пламени и т. д.) Предельной схеме диффузионного горения при бесконечно большой скорости реакции отвечает в сущности единственный абсолютно устойчивый режим, при котором осуществляется полное реагирование исходных компонентов. Влияние режимных параметров на тепловой режим факела и его устойчивость принципиально не может быть учтено в рамках такой модели. Прямой путь расчета процесса при конечной скорости реакции связан с интегрированием системы дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих нелинейные источники тепла и вещества. Он не получил достаточного распространения из-за значительных математических трудностей, с одной стороны, и отсутствия надежных данных о макрокинети-ческих константах, с другой. Это делает, видимо, нецелесообразным проведение в настоящее время массовых численных расчетов газовых пламен на ЭВМ, Отмеченное обстоятельство стимулирует развитие приближенных аналитических методов, сочетающих идеи теории пограничного слоя и теории теплового режима горения [27]. [c.21]

На основании анализа современных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и проведенных пробных расчетов выявлена схема, которая наиболее приемлема для решения рассматриваемой системы (7)-(12). Решение системы уравнений возможно только численными методами. В качестве метода решения применялся метод сеток с использованием явных и неявных схем для учета нелиней -ности исходных уравнений применялся метод последовательных приближений. Как правило, для нахождения исходных функций на одном временном слое достаточно 3-4 итераций. Для интегрирования во времени применяется схема предиктор-корректор. [c.25]