Пуанкаре

В заключение приведем теорему Пуанкаре, относящуюся к системам, описываемым уравнениями (П1, 1) [c.67]

Если внутри кривой N расположено одно положение равновесия, то индекс определяется топологическим характером этой особой точки и называется индексом Пуанкаре данного положения равновесия. [c.79]

Рассматривая рис. 111-12, можно убедиться, что индекс Пуанкаре для узла (рис. 111-12, а) и для фокуса (рис. 111-12,6) равен +1 для седла (рис. 111-12, в) индекс равен —1. [c.79]

Рис. 111-12. Определение индекса Пуанкаре.

Полученные с помощью индексов Пуанкаре выводы и нх следствия применим к математическим моделям реакторов непрерывного действия, что позволит получить полезные результаты, касающиеся числа стационарных состояний. [c.80]

Наличие у обобщенной модели реактора непрерывного действия прямоугольника без контакта, охватывающего все положения равновесия, позволяет воспользоваться одним из следствий теории индексов Пуанкаре и сформулировать следующее положение [c.83]

Из другого следствия теории индексов Пуанкаре вытекает, что реактор, поведение которого описывается обобщенной моделью, не может обладать единственным стационарным- состоянием типа седло. [c.84]

В отношении сформулированных сейчас выводов о том, что единственное положение равновесия не может быть седлом и что при наличии трех положений равновесия седлом является среднее, можно сделать следующее замечание. Так как исследуемая модель (111,46) является частным случаем обобщенной модели (111,30) реактора непрерывного действия, то эти выводы могут быть получены как следствия принципа нечетности и теоремы Пуанкаре (стр. 67). [c.94]

Поскольку исследуемая модель укладывается в рамки обобщенной модели реактора непрерывного действия, для нее справедлив принцип нечетности, который в сочетании с теоремой Пуанкаре позволяет прийти к тем же выводам, что и при п = [c.99]

Отображение фазовой плоскости на сферу Пуанкаре [c.122]

Для исследования поведения фазовых траекторий при неограниченно возрастающих значениях х ц у или, как говорят, на бесконечности обычно используют отображение на сферу Пуанкаре. [c.122]

Сфера Пуанкаре представляет собой сферу единичного радиуса, которая, находясь над фазовой плоскостью х, у, ка- [c.122]

При отображении на сферу Пуанкаре фазового портрета исследуемой системы, описываемой уравнениями [c.123]

Для отображения точек фазовой плоскости на сферу Пуанкаре используется замена переменных х, у переменными р, г при помощи формул [c.124]

ТО все интегральные кривые в круге Пуанкаре пересекают экватор под прямым углом если это тождество не имеет места, то экватор, определяемый уравнением z = О, является интегральной кривой. Особые точки на экваторе соответствуют положениям равновесия системы (IV, 3), расположенным на оси р фазовой плоскости р, г. Из вида системы (IV, 3) следует, что координаты р интересующих нас положений равновесия определяются уравнением [c.124]

В некоторых случаях характер поведения фазовых траекторий в удаленных частях фазовой плоскости можно определить и без отображения на сферу Пуанкаре, например путем построения цикла без контакта, внутри которого находятся все положения равновесия исследуемой системы. Циклом без контакта (как об этом уже говорилось в главе И1) называется замкнутая кривая, на которой не лежит ни одно положение равновесия и которая обладает тем свойством, что вектор фазовой скорости во всех ее точках направлен либо наружу, либо внутрь области, ограниченной этой кривой. [c.125]

Отобразим область О на сферу Пуанкаре при помощи преобразования (IV, 2). Обозначим через О область нижнего полушария сферы Пуанкаре, являющуюся отображением области О. [c.126]

Очевидно, что тождество Р = pQ не имеет места, и, следовательно, экватор сферы Пуанкаре (координатная линия 2 = 0) есть интегральная кривая. [c.126]

На рис. IV-2 изображены различные варианты картины, которая получается в первой четверти круга Пуанкаре. Сепаратрисы седел проведены жирными линиями. [c.127]

Для нее поведение фазовых траекторий вдали от положений равновесия можно выяснить, не прибегая к отображению на сферу Пуанкаре, так как на фазовой плоскости этой системы можно построить прямоугольник без контакта, охватывающий все положения равновесия . [c.128]

Впервые задачу качественного исследования дифференциальных уравнений поставил А. Пуанкаре в 1885 г. в связи с проблемами небесной механики. Фундаментальную роль в этих методах (особенно в примене ниях их А.А. Андроновым к теории нелинейных колебаний) играет понятие траектории траекторией (в двумерном случае) называют кривую [c.224]

Как видно, возрастание энтропии составляет ничтожную величину. Поэтому различные перестройки структуры в системах (при неизменном уровне энергии) мало отражаются на энтропии — они энтропийно вырождены , хотя с точки зрения биохимика и биолога некоторые из них могут иметь важное значение . Статистическое толкование энтропии вызвало в свое время оживленные дискуссии, смысл которых сводился к вопросу о принципиальной возможности возврата данной молекулярной системы к любому исходному состоянию. Каким бы оно ни было, всегда есть вероятность его реализации — система в ходе эволюции должна пройти через все возможные состояния (возвратная теорема Пуанкаре). Основанием для такого заключения служила обратимость уравнений механики по отношению ко времени. Если в уравнении Ньютона [c.303]

Для механических систем сформулирована возвратная теорема Пуанкаре, утверждающая, что изолированная система с течением времени с неизбежностью возвращается к исходному состоянию, точнее, [c.71]

Другое возражение (парадокс Цермело) основывалось на возвратной теореме Пуанкаре. Если система в момент 4 находится в неравновесном состоянии А1, то согласно Я-теореме в системе происходят процессы, приближающие ее к состоянию равновесия и сопровождающиеся ростом энтропии. В момент времени > /1 система находится в некотором состоянии А 2, которому отвечает энтропия 5а > 5 (5 и — значения энтропии в моменты времени tl и соответственно). Однако, как показывает возвратная теорема Пуанкаре, в некоторый момент времени з >/2 система должна оказаться в состоянии Лз, практически совпадающем с состоянием А- , так что 5з 5 . Очевидно, переход от состояния Л 2 к состоянию А 3 должен сопровождаться уменьшением энтропии, что противоречит Я-теореме. [c.73]

Статистический подход позволяет объяснить приведенные выше парадоксы. Действительно, система может вернуться в исходное неравновесное состояние, как того требует возвратная теорема Пуанкаре, и такой процесс будет сопровождаться уменьшением энтропии. Однако вопрос в том, насколько вероятен подобный процесс. Небольшие флуктуации будут происходить довольно часто. Значительным же отклонениям от равновесия отвечает фазовый объем, составляющий [c.73]

Таким образом, для множественности стационарных состояний необходимо существование совокупности Ст, для которой бы нарушилось неравенство (У.б). Неравенство (У.6) обеспечивает положительность коэффициента а -г характеристического полинома (У.2) в любой положительной точке инвариантной области. Знак а г известным образом связан с индексом Пуанкаре стационарной точки. Этот факт и дает возможность, используя теорему Пуанкаре [c.135]

Для любой дифференцируемой функции, не имеющей вырожденных критических точек на компактном многообразии М, нижние границы для числа различных критических точек задаются неравенствами Морса, которые выражены через топологические инварианты многообразия [151, 152]. Соответствующие топологические инварианты представляют собой характеристики х многообразия М Эйлера — Пуанкаре и числа Бетти, являющиеся нижними границами для чисел критических точек индекса X [c.101]

Определенные выше четыре критические точки обозначены соответственно п, Ь, г и с, величины которых отвечают числу точек каждого типа. Они не зависят друг от друга и связаны соотношением Пуанкаре — Хопфа [c.162]

Согласно этой теореме, на любой из главных изоклин системы, имеющей только простые положения равновесия, чередуются положения равновесия, для которых Д<0 (седла), с положениями равновесия, для которых Д > О (узлы или фокусы). Теорема Пуанкаре справедлива, если изоклина Р(х,у) = = 0 [или Q(x,y) =0] не имеет особых точек, т. е. таких точек, в которых одновременно равны нулю обе частные производные дР/дх и дР/ду (или соответственно dQldx и dQ/dy). [c.67]

Таким образом, для того чтобы выяснить, каково поведение фазовых траекторий на бесконечности, нужно исследовать особые точки на экваторе сферы Пуанкаре. После этого для получения полного представления о характере фазового портрета системы рассматривают ортогональную проекцию одного из полушарий сферы Пуанкаре, обычно нижнего (южного) полушария, на плоскость, касаюшуюся южного полюса, т. е. рассматривают расположение фазовых траекторий в круге Пуанкаре. [c.124]

Как было показано выше путем отобрансения на сферу Пуанкаре, при р<, система (IV, 4) неустойчива на бесконечности. [c.146]

А н д р о н о в А. А., Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний Собрание трудов, изд. АН OP, 1956, стр. 32. [c.155]

А и д р о н о в А. А., Предельные циклы Пуанкаре и теория автоколеба ний, Собрание трудов. Изд. АН СССР, 1956, стр. 41. [c.155]

Успешное развитие химии в целом как интегральной науки невозможно без гармоничного развития частных (дифференцированных) химических наук, но не изолированных, а взаимно дополняющих и обогащающих друг друга. В этом смысле надо признать, что классическая химия в последние годы замегно отстает в своем развитии от некоторых естественно-химических наук, таких как геохимия, биохимия, биофизическая химия и др. Наиболее важный их вывод, который следует перенять науке о свойствах вещества - это то, что существуют чрезвычайно простые и универсальные законы функционирования и развития как живой, так и неживой природы, законы, общие для физических, химических и биологических процессов. Установлено, что поведение химических и биологических субстратов генетически строго закодировано. Используя эти представления, вслед за кибернетикой появилась (1980 г. Г. Хакен [31, 32]) новая интегральная междисциплинарная наука, получившая название синергетика - наука о самоорганизации сложных систем, устойчивости и распаде структур различной природы. Одновременно с синергетикой Б. Мандельбротом (1980 г. [33]) была предложена теория фракталов - структур, состоящих из частей, подобных целому и обладающих дробной мерностью. Благодаря этой теории появилась возможность математически описывать системы необычной сложности, которые считались хаотическими [34]. Было установлено, что практически все окружающие нас объекты в том или ином аспекте проявляют фрактальные свойства. Следствием философского обобщения этой теории явилась идея единства материального мира, о том, что мир зиждется на неких законах, и все процессы мира имеют единое происхождение и аналогичные законы поведения. Исключительно прав А. Пуанкаре, утверждая, что наука развивается по направлению к единству и простоте . [c.16]

Используя метод Линдстеда — Пуанкаре (см. [10]), с помощью которого, по сути, ренормализуется временная переменная t таким образом, что она зависит от, можно преобразовать прямое разложение в модифицированное разложение [c.425]

Описанный здесь модифицированный анализ чувствительности, вероятно, окажется полезным для задач в области пространственных переменных, которые неустойчивы по отношению к моделированию. Метод Линдстеда — Пуанкаре, по-видимому, необходимо будет применять до того, как анализ чувствительности может быть использован для изучения влияния параметров на пространственно моделируемые решения. [c.430]

Проблема белка (1997) -- [ c.18 ]

Диффузия и теплопередача в химической кинетике (1987) -- [ c.432 , c.434 ]

Популярная библиотека химических элементов Книга 2 (1983) -- [ c.351 ]

Основы физико-химического анализа (1976) -- [ c.456 ]

Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах (1983) -- [ c.49 ]

Понятия и основы термодинамики (1970) -- [ c.200 , c.240 ]

Руководство по электрохимии Издание 2 (1931) -- [ c.141 ]

Проблема белка Т.3 (1997) -- [ c.18 ]

Термодинамика реальных процессов (1991) -- [ c.30 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология