Определители и матрицы Определители и миноры

Для того, чтобы квадратичная форма (V, 3) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее дискриминанта, т. е. главные миноры определителя матрицы ее коэффициентов [c.162]

Рис. 6.34. Построение модели PTR, вычисление определителей миноров матрицы С и коэффициентов множественной корреляции R

Из матрицы типа т X п можно, вычеркивая некоторое число строк и некоторое число столбцов, различными способами образовывать квадратные матрицы. Определители получаемых таким образом квадратных матриц называются минорами матрицы типа т X п. Некоторые из этих миноров могут быть отличны от нуля, другие наоборот, равны нулю. [c.21]

Переставляя строки и столбцы матрицы, можно добиться того, что в. чевом верхнем углу окажется квадратная матрица порядка г, определитель (минор г-го порядка) которой отличен от нуля. Если все остальные миноры (г + 1)-го порядка и выше, которые можно составить из матрицы типа т X п, равны нулю, то матрица имеет ранг г. [c.22]

Из каждой прямоугольной матрицы может быть образована квадратная матрица, путем вычеркивания из нее некоторых строк или столбцов. Определители таких возникающих квадратных матриц называют минорами соответствующих порядков. Таким образом, из т, -матрицы может образоваться некоторое число миноров п -ных порядков, не превышающих т и п. [c.143]

Минором Мц матричного элемента V,,- называется определитель порядка т — 1, получающийся из определителя матрицы Q вычеркиванием из него /-ой строки и /-го столбца. Алгебраическим дополнением элемента называется величина (—1) + М,у. [c.338]

Определители матриц А,-,- носят название миноров (п—1)-го порядка матрицы А, а величины (—1) +- det А,-,- — алгебраических дополнений соответствующих элементов а,-,. Для миноров также [c.27]

Вообще минором порядка k называют определитель матрицы, составленной из элементов матрицы А (в том числе и прямоугольной), стоящих на пересечении каких-либо ее k строк и k столбцов [c.27]

Далее будет видно, что ранг матрицы является весьма важной ее характеристикой. С практической точки зрения желательно иметь достаточно простые способы определения ранга, поскольку перебирать все возможные миноры матрицы — дело довольно трудоемкое. В следующем параграфе будет показано, что можно предложить достаточно простые способы, тесно связанные со способами нахождения определителей матриц. [c.37]

Тогда можно заметить такую зависимость, что знаменатель всех дробей уравнения (12) есть определитель п порядка данной матрицы. Числитель последнего члена уравнения (12) есть определитель минора элемента йщ или число сочетаний членов диагонального ряда минора от 012 ДО ап-1,п, т. е. С" . Числитель предпоследнего члена уравнения (12) представляет собой сочетание членов диагонального ряда минора С "II и т. д. Таким образом, [c.42]

Эти квадратичные по отношению к значениям сродства формы должны быть положительно определенными в окрестности равновесия. Отсюда вытекает требование, что определитель матрицы Lrs и все его главные миноры должны быть положительны [32]. Для [c.185]

Определители квадратных матриц большей размерности вычисляются путем их сведения к определителям матриц (2 X 2) с помощью метода Лапласа. Этот метод заключается в следующем. Если в определителе Л п-го порядка вычеркнуть 1-ю строку и /-Й столбец, оставшиеся (л— 1) строк и столбцов образуют определитель (м— 1)-го порядка. Обозначим его Л1,/ . Этот определитель называется минором элемента а,,. Так, минор элемента 012 в определителе третьего порядка [c.129]

Пусть Л — прямоугольная матрица порядка т X п. [Если в ней выделить к строк и к столбцов, то элементы, находящиеся на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка к. Эта матрица называется подматрицей матрицы А, а ее определитель называется минором к-то порядка матрицы Л. [c.231]

Определение 2. Минором к-то порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении любых к строк и к столбцов. [c.7]

Для прямоугольной матрицы А размера т X п определитель квадратной подматрицы -го порядка называется минором k-ro порядка матрицы Л. [c.564]

В такой матрице все главные диагональные миноры всех порядков - положительно определенные. В частности, все диагональные элементы Ь,-,- положительны и для всех / определитель [c.124]

Ранг матрицы стехиометрических коэффициентов (3) равен 2. Следовательно, только два из трех итоговых химических уравнений независимы. В качестве базисного минора можно взять, например, определитель 2-го порядка в левом верхнем углу матрицы [c.62]

Матрица Q называется обратной к матрице Q, если их произведение равно единичной матрице Е. Произвольный элемент V матрицы Q равен v УlQ , следовательно, нахождение матрицы, обратной к Q, сводится к вычислению миноров М матрицы Q и ее определителя Q . Например, матрица для случая т = 2 равна [c.339]

Ранг квадратной неособенной матрицы равен ее порядку. Утверждение непосредственно вытекает из того факта, что для неособенной матрицы ее определитель (главный минор п-го порядка) отличен от нуля. Очевидно, что и ранг обратной матрицы А"" равен рангу А. [c.35]

Минором к-го порядка матрицы А, состоящей из т строк и п столбцов, будем называть определитель А -го порядка, составленный из элементов матрицы А, находящихся на пересечении любых к строк и к столбцов матрицы А (к < т1п(т,п ). Миноров первого порядка у матрицы столько, сколько у нее элементов. [c.16]

В матрице, состоящей из т строк и п столбцов, всегда МОЖНО выделить к строк и к столбцов к< т, к< п) из элементов, стоящих на их пересечении, и составить определитель к-то порядка. Эти определители называют миноры матрицы. Ранг матрицы — наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. [c.273]

Ранг матрицы. Для матриц произвольной размерности (га X >п) минором 1-го порядка называется определитель, получающийся из исходной матрицы после вычеркивания любых (л — I) строк и (т — I) столбцов. Максимальный размер отличных от нуля миноров матрицы называется ее рангом. Например, ранг матрицы [c.131]

Как и в алгоритме проектирования градиента, вспомогательная задача здесь такова, что ее решение определяют необходимые условия оптимальности. Решение существует, является единственным и соответствует максимуму (111-33), если квадратичная функция в выражении (111-33) ограничена и строго выпукла. Это означает, что квадратичная форма Ьу foyy (г/ ) 8у должна быть отрицательно определенной. Для отрицательной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы (111-32) были отрицательны или чтобы определители, соответствующие главным минорам матрицы (1П-32), удовлетворяли неравенству [c.150]

Таким образом, для составления векового уравнения в раскрытом виде необходимо найти все коэффициенты Вц перехода от декартовых координат к внутренним (построить матрицу преобразования В), затем, согласно (П4.23), найти элементы матрицы О и по (П4.24) вычислить произведения соответствующих миноров определителей [ С и / . Следует отметить, что число необходимых миноров очень быстро растете увеличениемЛ . Вильсоном[4290] в формуле (П4.24) были сделаны дальнейшие упрощения для тех случаев, когда молекула содержит атомы с одинаковыми массами. Решение уравнения в случае симметричных молекул может быть упрощено введением координат симметрии. В этом случае уравнение для А распадается на несколько уравнений низших порядков. Раскрытая форма векового уравнения удобна тем, что к ней легко применить приближенные методы решения. Один из них — метод отделения высоких частот [4290, 4292, 4293]. Этот метод основан на том эмпирическом факте, что некоторые колебательные частоты в действительности определяются лишь небольшим числом силовых постоянных и очень слабо зависят от остальных (существование характеристических частот, большое различие в величинах частот одной молекулы и т. п.). В этом случае уравнение можно решить раздельно для высоких и низких частот. При решении для низких частот уравнение следует разделить на произведение из всех входящих в него больших силовых постоянных при условии, что большие силовые постоянные стремятся к бесконечности. Тогда члены, в знаменатель которых входит большая силовая постоянная, пропадут, и порядок уравнения, соответствующего низким частотам, понизится (на число больших силовых постоянных). Соответствующее уравнение для высоких частот можно получить, если положить все малые силовые постоянные равными нулю. В этом случае степень уравнения также понизится. [c.977]

Минором матрицы порядка р называется определитель любой квадратной матрицы, стоящей на пересечении некоторых р строк и р столбцов матрицы А наибольший из порядков ненуле вых миноров называется рангом матрицы А. Матрица является сингулярной (т.е. определитель равен нулю), если ее строки и столбцы линейно зависимы (см. (1.21)) в этом случае ранг матрицы меньше ее порядка. Если т строк или столбцов матрицы А линейно независимы, то любой минор, построенный на этих строках (столбцах), отличен от нуля и райг матрицы не меньше чем т. [c.313]

Кажг ый столбец N( > — определяет, по терминологии Хориути, маршрут реакции. Приведенные в записи маршруты образуют базис маршрутов это значит, что они линейно независимы и что любой другой маршрут данной реакции является их линейной комбинацией. Независимость маршрутов вытекает из рассмотрения ранга матрицы стехиометрических коэффициентов. Напомню, что рангом матрицы называется наибольший порядок не равных нулю миноров этой матрицы (т. е. образованных из нее определителей). Каждый минор наибольшего порядка называется базисным, а строки и столбцы, содержащие его элементы,— базисными строками и столбцами. [c.59]

Относительно свойств матриц, используемых здесь, см., например [451, гл. X, в частности, стр. 306 [или Г а и т м а х е р Ф. Р., Теерия матриц. М.—Л., 1950.— Яри. , ред.]. Неособый минор т-го порядка —это квадратная подматрица порядка т, определитель которой не равен нулю. [c.128]

В правой части соотношения (11.32) фигурирует квадратичная форма относительно разности молярных долей в поверхностном слое и фазе а. Матрица этой формы, составленная из производных gf , по условиям устойчивости (1.73) удовлетворяет критерию Сильвестра для положительно определенных квадратичных форм (определитель Ig iftl и все его главные миноры положительны). Это значит, что в целом правая часть (11.32) отрицательна и поскольку а>0, то [c.40]

Действительно, раскладывая (1.6.19) по элементам первого столбца, получаем, что для четных строк миноры этих элементов получаются из Л2,..., четным числом перестановок строк, а для нечетных (начиная с третьей) — нечетным. Тогда алгебраические дополнения к элементам первого столбца будут Аь -А2,..., -Ауг. Однако определитель (1.6.19) равен О, так как при ] Ф п (1.6.17) содержит одинаковые столбцы, а при ] = п является определителем тг-го порядка матрицы ранга п-1. Следовательно, 5 = О и А1, -А2,..., -А с точностью до целочисленного множителя можно рассматривать как стехиометрические числа соответствующих стадий и исходного механизма. В выражении (1.6.17) А входят деленными на А]. После сокращения (т2А2 +... + в (1.6.17) на наибольший общий делитель получим [c.99]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология