Нормальная мода

В связанных системах отдельные осцилляторы взаимодействуют, например, через упругие элементы. Колебательная система в целом будет иметь некоторое число степеней свободы и число нормальных мод колебаний с определенными собственными частотами. [c.30]

Как показал анализ энергетических заселенностей нормальных мод, описанная процедура задания начальных условий приводит к равномерному распределению колебательной энергии молекулы по нормальным модам. [c.69]

Векторы О. связанные с отрицательными значениями диагонали матрицы Л, являются касательными к координате реакции. При движении точки конфигурационного пространства по зтим направлениям происходит убыв ние потенциальной энергии. В дальнейшем мы будем говорить об этих направлениях как о координатах реакции в локальной области точки перевала. Положительные значения диагонали Л - квадраты частот нормальных мод внутренних колебаний, нулевые связаны с полным импульсом и моментом импульса системы. [c.74]

В точке активированного комплекса можно дифференцированно возбуждать нормальные колебания, что позволяет исследовать влияние начального возбуждения различных нормальных мод на динамику процесса. В численных экспериментах, как правило, задавалась лишь кинетическая энергия нормальных колебаний. Расчет траекторий проводился с использованием исходного потенциала, а локальное разделение полной энергии на энергии нормальных колебаний проводилось только в точке перевала ППЭ и использовалось для задания начальных условий. [c.74]

Подробно динамический анализ статистического поведения молекулярных систем проведен в работах [330, 334]. Степень эргодичности многоатомной молекулы характеризуется спектрами автокорреляционных функций обобщенных импульсов нормальных колебаний, получаемых при расчете классических траекторий. Площадь спектра определяет энергию данной нормальной моды, поэтому по виду спектра во времени можно охарактеризовать процессы перераспределения энергии внутри молекулы. При малых энергиях молекула ведет себя как набор слабосвязанных гармонических осцилляторов и спектры состоят из дискретных линий, а при больших энергиях появляются дополнительные линии в спектре и непрерывный фон. [c.105]

Число п, характеризующее степень возбуждения нормального колебания (нормальной моды), имеет простой смысл это [c.75]

Колебания цепочки, при которых все образующие ее атомы колеблются с одинаковой частотой, называются нормальными модами колебаний. [c.102]

Следовательно, разрешенные и имеющие физический смысл нормальные моды колебаний — это те волновые числа q, которые удовлетворяют соотношению (115) и заключены в интервале (111). [c.104]

Число степеней свободы цепочки, состоящей из N атомов, равно N. Следовательно, число независимых мод продольных колебаний также должно быть равно N. Если каждое значение q описывает отдельную нормальную моду колебаний цепочки, то полное число различных значений q должно быть равно N, т. е. в соответствии с (115) как раз равно полному числу разрешенных значений в интервале (111). [c.104]

Тогда как в обычных условиях флуктуация вызывает реакцию системы, которая возвращает ее в невозмущенное состояние, в точке образования новой структуры, напротив, флуктуации растут. Эта идея и лежит в основе классической теории устойчивости, основанной на анализе нормальных мод (см., например, работу [28]). При этом рассматриваются малые возмущения стационарного состояния, которые удовлетворяют линейным динамическим уравнениям. Временная зависимость каждого нормального колебания имеет вид ехр (о/, где (о — вообще говоря, комплексная величина (йг + гшь Тогда условие устойчивости означает, что для каждой нормальной моды [c.10]

Одна из наших основных задач состоит в том, чтобы установить, как связана теория устойчивости с термодинамикой необратимых процессов, и отсюда получать как можно больше информации, независимо от детального анализа нормальных мод. Ясно, что необходимо ввести каким-то образом в наше термодинамическое описание реакцию системы на флуктуации. Другими словами, мы должны построить обобщенную термодинамику, которая будет включать также макроскопическую теорию флуктуаций. [c.10]

Гл. 11 —16 посвящены приложениям. Из множества проблем, к которым развиваемая теория может быть приложима, приведены только несколько примеров для иллюстрации некоторых характерных особенностей. В гл. 11 излагается теория термической неустойчивости слоев жидкости (задача Бенара). Наш критерий термодинамической устойчивости приводит сразу к тем же вариационным принципам для задачи Бенара, которые получены из анализа нормальных мод [28]. По нашему мнению, это соответствие иллюстрирует степень единства между термодинамическим и гидродинамическим методами, достигнутую в нашем подходе. [c.14]

Перейдем от теории устойчивости равновесных состояний к значительно более трудной проблеме устойчивости неравновесных состояний. С кинетической точки зрения эта проблема очень близка к той, что рассматривалась в разд. 5.3, — в линейной теории устойчивости стационарных состояний по отношению к малым возмущениям необходимо, чтобы для каждой нормальной моды выполнялось неравенство (5.25). [c.69]

Мы уже убедились в простейшем случае, что термодинамические условия устойчивости в равновесии эквивалентны кинетическим (разд. 5.3). Мы ХОТИМ расширить этот вывод на более общий случай неравновесных стационарных состояний. Как и ранее, рассмотрим одну нормальную моду. Временное изменение величины бф тогда описывается равенством [c.77]

В линейной теории устойчивости вообще предполагается, что самое общее возмущение можно разложить по полному набору нормальных мод [28]. [c.78]

В связи с этим необходимо отметить, что даже для отдельной комплексной нормальной моды и ее комплексно-сопряженной знак [c.78]

Поведение нормальных мод вблизи стационарного состояния в диссипативных системах [c.119]

Исследуем поведение одной нормальной моды, соответствующей малому отклонению от стационарного состояния в диссипативной системе (система без конвекции). Для этого рассмотрим выражение критерия эволюции (9.16), ограничиваясь членами второго порядка. С помощью (2.76) можно записать (9.16) в комплексных переменных [c.119]

Как уже отмечалось, левая часть (9.51) является действительной, отрицательно определенной величиной благодаря условиям устойчивости локального равновесия (4.13) — (4.15). Для одной нормальной моды неравенство (9.51) принимает вид ) [c.120]

Первое неравенство снова сводится к условию устойчивости одной нормальной моды (бР > О или сог< 0), а второе — связывает знак бП с угловой частотой вращения в пространстве Ху Условие бР = О отвечает предельному состоянию критической устойчивости, если оно выполняется для нетривиальных нулевых значений возмущения (сог = 0). Аналогично условие бП = О соответствует критическому состоянию, когда возникает апериодическое движение (со, = 0). [c.120]

Проблему устойчивости заданного стационарного состояния, основанную на анализе нормальных мод (см. разд. 6.8), можно решить также методом зависящего от времени локального потенциала. Этот метод дает приближенные значения частот оэ и приближенное условие для границы устойчивости (оэр = 0). В решении этой проблемы проще всего исходить из избыточного локального потенциала, достроенного с помощью уравнений баланса для приращений (7.49) — (7.52), а не уравнений (10.53). В окрестности стационарного состояния уравнения для приращений можно записать в компактной форме [c.144]

Для нормальных мод типа кривой 4 приращение (3 4) —(З о), т. е. P4[ Z ]), всегда положительно. Следовательно, по отношению к таким возмущениям система всегда устойчива. Однако для случаев, изображенных на рисунке кривыми 2 и 5, неустойчивость наступает соответственно за (5 а)г и ( а)з. Наименьшее число й а с таким свойством называется критическим числом Релея (й а)с = = ( а) . Точка Бенара, т. е. начало неустойчивости, достигается при (5 а) 1 = ( а)с. Неустойчивость возникает, когда исчезает ( [62 ). Функция (3 ) принимает тогда одно и то же значение, как в состоянии покоя, так и в возмущенном состоянии с нормальной модой [см. (11.37)]. Таким образом, неустойчивости соответствует вырождение ЗГ). Мы имеем здесь поразительную аналогию с фазовым переходом к ней мы еще вернемся в разд. 11.5. [c.156]

В разд. 11.2 мы считали постоянными такие феноменологические коэффициенты, как вязкость и теплопроводность. Отсюда следует, что к состоянию покоя ниже критического значения числа Релея (рис. 11.1) применима линейная неравновесная термодинамика, в частности теорема о минимуме производства энтропии (разд. 3.4 и 7.9). Когда мы достигаем предельного состояния, производство энтропии резко изменяется с возникновением первой неустойчивой нормальной моды (разд. 11.10). Возникновение этой моды приводит к тому, что наклон кривой производства энтропии (Я[5]) в критической точке претерпевает разрыв (рис. 11.2), и это неудивительно, поскольку в критической точке возникает новый механизм вязкой диссипации, порождаемой конвекцией. Сама величина (Р[8]) не претерпевает разрыва, поскольку амплитуда критической нормальной моды в предельном состоянии остается бесконечно малой. Чтобы получить конечную амплитуду, следует рассмотреть значения й а, несколько превышающие ( а)с. При значениях й а, превышающих (Й2а)с, линейная термодинамика необратимых процессов более не применима к описанию системы. Появляется новая взаимосвязь, благодаря которой температурный градиент порождает конвективный поток. Эта связь, не содержащаяся в феноменологических законах, возникает из стационарных Уравнений для возмущений (разд. 3.3). [c.157]

Рассмотрим слой жидкости в предельном состоянии нейтральной устойчивости, которое является границей между устойчивыми и неустойчивыми состояниями. Согласно кинетической теории устойчивости, основанной на анализе нормальных мод, предельное состояние достигается в тот момент, когда действительная часть частоты нормальной моды исчезает. [c.159]

Применение метода нормальных мод к проблеме Бенара [c.164]

В этом разделе мы изучим проблему Бенара, применяя к ней кинетическую теорию устойчивости, основанную на анализе нормальных мод. Такой подход к этой задаче успешно применял Чандрасекар [28], поэтому здесь дан лишь краткий обзор его работы. Мы хотим показать, что можно получить свойства предельного состояния, решая задачу на собственные значения. Прежде всего исключим возмущение гидростатического давления из уравнения баланса для приращения импульса (11.7), взяв ротор от [c.164]

Неравенства (14.1) и (14.2) записаны для действительной и мнимой частей каждой нормальной моды соответственно. Они определяют характерные черты временного поведения нормальной моды знак б П определяет направление вращения около стационарного состояния, тогда как 8,пР выявляет устойчивость стационарного состояния. Для апериодических систем (сог = 0) [c.206]

Начнем изучение устойчивости решения (14.12) с анализа нормальных мод. В окрестности этого решения Х( ) и У( ) можно записать в виде [c.208]

Аналогично из (14.1) и второго равенства (14.18) можно получить для каждой нормальной моды выражение [c.208]

Следовательно, бт5 также является интегралом движения (при данной нормальной моде). Таким образом, обе квадратичные формы (Ь 5 и бт5 не возрастают и не убывают вдоль возмущенного движения (разд. 14.3). Тем не менее, поскольку исчезает только действительная часть Шг частоты со [см. (14.18)], возмущенное состояние не может быть интерпретировано как другое стационарное состояние, близкое к (14.12). Действительно, согласно [c.209]

Анализ линеаризованных около стационарного состояния уравнений для возмущений (14.54) или (14.56) приводит к следующему дисперсионному уравнению для нормальных мод [c.215]

Рассмотрению мономолекулярных реакций посвящено большое количество работ. Банкером [220] были подробно сформулированы задачи теории мономолекулярных реакций, которые могут быть решены методом классических траекторий. Одной из таких задач является вычисление функции распределения f (т) по временам т спонтанного распада молекулы. Статистическая теория J>PКМ [164] предполагает экспоненциальный вид этой функции на временах, больших среднего периода колебания термически активированной молекулы. Проверка справедливости такого предположения и вычисление f (т) для конкретной молекулы в зависимости от характера активации и параметров потенциала являются одной из основных задач теории мономолекулярного распада, которая может быть успешно решена с помощью расчета классических траекторий. Очень тесно сюда примыкает вопрос о применимости моделей слабосвязанных гармоничес ких осцилляторов и свободного перераспределения энергии между нормальными модами. [c.123]

Такое решение называется нормальной модой. Устойчивость означает, что собственное значение со = сог +(сог, соответствующее каждой нормальной моде, имеет отрицательную действительную часть. Из (5.23), согласно дальнейшему определению устойчивости, следует, что все корни детерминаитного уравнения [c.67]

В случае произвольного возмущения, образованного суперпозицией двух или более нормальных мод, правая часть (6.34) будет зависеть также от мнимых частей со1 соответствующих частот. Их знак может быть тогда или положительным, или отрицательным даже для устойчивых систем. Однако на больших временах, ->оо, убывающие члены ехр —1сОг10 становятся определяющими и /бт (рг) стремятся к положительным значениям. Теперь видно, почему наше основное условие устойчивости (6.31) или (6.37) является слишком строгим требованием в общем случае произвольного малого возмущения и дает нам только достаточное условие устойчивости ). [c.78]

Знак dj8P зависит от соотношения величин jiOrl и oi , т. е. от логарифмического декремента рассматриваемой нормальной моды. [c.121]

В —стационарное состояние х) ВС —зависящая от времени нормальная мода ay СД —флук туацня Л [ у около нормальной моды. [c.145]

Прямая ( о) соответствует состоянию покоя. Кривые 1—4 относятся к нормальным модам в плоскостн X, у, нх пунктирные части находятся в области неустойчивости, т. е. в области <Р Ь2 > < О или [б2 1) < О для комплексных мод (см. разд. 11.2). Возникновению конвективной неустойчивости отвечает критическое число Релея <3 а) ,=(3 а) [c.156]

Рис. 11.2. Схематическое изображение производства энтропии, а —термодинамическая ветвь, содержащая равновесное состояние б —ветвь, связанная с возннкповением критической нормальной моды.

Однако, еслй число Яа немного больше, чем ( а)с значение ) для критической нормальной моды будет немного меньше, чем и минимум будет реализован на новом решении, если оно устойчиво (рис. 11.3,6). [c.158]

Два стационарных состояния 4 = 0 и 4 — 4 ), изображенных на рис. 11.3,6, разделены последовательностью нестационарных процессов. Но имеется и существенное отличие от фазовых переходов вандерваальсова типа (рис. 11.3). Мы не имеем в данном случае двух стабильных или метастабильных равновесных состояний, разделенных одним нестабильным равновесным состоянием. Здесь до точки Бенара существует только одно стационарное состояние, а затем, сразу за точкой Бенара, мы получаем два стационарных состояния — одно стабильное и одно нестабильное. Если увеличивать число Релея за пределы ( а)с, стационарному состоянию будет отвечать суперпозиция все более увеличивающегося количества нормальных мод. [c.159]

Метод кинетической устойчивости, основанный на анализе нормальных мод, теперь не применим, однако наш критерий устойчивости сохраняет силу. Прежде чем перейти к существу дела, мы кратко рассмотрим основные свойства бегущих волн — звуковых волн, которые соответствуют малым возмущениям, и волн конечной амплитуды. Более подробно эти вопросы освещены в превосходных монографиях Ландау и Лифшица [100] и Зельдовича и Райзера [198]. [c.192]

В соответствии с нашими общими выводами, производство избыточной энтропии положительно. Таким образом, термодинамическая ветвь устойчива. Кроме того, невозможны никакие колебания, поскольку условие (14.3) выполнено для каждой нормальной моды. Вследствие этого произвольная флуктуация затухает апериодически и система возвращается к стационарному состоянию. [c.207]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология