Справочник химика 21

Химия и химическая технология

Статьи Рисунки Таблицы О сайте English

Собственные значения матрицы коэффициентов уравнений

    Собственные значения матрицы коэффициентов уравнений Колмогорова [c.67]

    Основная трудность расчета состоит в жесткости системы уравнений (7.357) — (7.365), обусловленной различной величиной собственных значений матрицы коэффициентов. Поскольку размерность системы определяется числом тарелок в колонне и числом компонентов разделяемой смеси, которые могут быть достаточно большими, то от эффективности метода решения системы дифференциальных уравнений зависит и эффективность всего алгоритма проектирования установки. [c.389]


    Следовательно, устойчивость объекта, описываемого системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, может быть проверена, если известны собственные значения матрицы коэффициентов системы. [c.282]

    Здесь <0 2 — собственные значения матрицы коэффициентов (97) системы уравнений (33)  [c.40]

    Если одно из собственных значений матрицы К мало,, то, повторяя почти дословно аргументацию, приведшую к уравнениям (5.2), (5.3), получим и в случае динамики уравнения того же вида. В динамическом случае в число полей hi надо включить коэффициенты Г,- при различных производных по времени от величины ф. Уравнения для них имеют вид [c.275]

    Вековое уравнение (2.214) — уравнение собственных значений матрицы Р, а наборы коэффициентов ац,,, определяемые из уравнения (2.213), — ее собственные векторы. [c.97]

    Это неравенство показывает, что собственные значения матрицы А коэффициентов уравнений (2.40) имеют неположительную действительную часть и ограничены по модулю величиной, равной 2 X 5]  [c.68]

    В общем случае матрица Ч имеет все ненулевые элементы, поэтому непосредственное решение уравнения (7.232) является сложной задачей, однако если привести ее к диагональному виду, то становится возможным получение аналитического приближения для расчета коэффициентов [г). Из теории матриц известно, что для любой квадратной матрицы, не имеющей кратных собственных значений, найдется невырожденная матрица Г, которая приводит исходную к диагональному виду, т. е. всегда можно найти такую матрицу Т, что [c.350]

    Таким образом, вычисление нестационарной функции распределения сводится к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а вычисление квазистационарной функции распределения — к решению неполной проблемы собственных значений для матрицы коэффициентов этой системы дифференциальных уравнений. При решении этих задач приходится иметь дело с плохо обусловленной матрицей, разброс собственных значений которой составляет 10— 15 порядков. Заметим, что величина этого разброса мало зависит от способа дискретизации, так как определяется физикой процесса, т.е. константа скорости (минимальное по модулю собственное значение) отличается от других собственных значений обычно на несколько порядков. [c.197]

    Известная и только частично решенная задача такого типа — это линейная цепочка гармонически ограниченных частиц, у которых массы и упругость пружинок — случайные величины. Тесно примыкает к этой задаче проблема нахождения распределения собственных значений случайной матрицы . Как будет показано в упражнении, начальный момент времени = 0 из результата не исчезает. Это связано с тем, что система обладает бесконечной памятью и никогда не забывает, что в этот частный момент времени величина и была фиксирована и не зависела от значений коэффициентов. Поэтому нет никакой надежды на то, что и хотя бы приближенно будет марковским процессом, не говоря уже о том, что <и> удовлетворяет такому независящему от времени дифференциальному уравнению, как (14.2.7). [c.366]


    Из определения (8.4) вытекает, что, если не существует каких-либо дополнительных условий, то каждый из п собственных векторов матрицы п-го порядка может быть определен лишь с точностью до коэффициента пропорциональности. В самом деле, если уравнению (8.4) удовлетворяет вектор Х то ему будет удовлетворять и вектор СХ , где С — любое число, отличное от нуля. При решении многих задач удобно придать постоянному множителю С такую величину, чтобы сумма квадратов всех элементов собственного вектора X/ была равна соответствующему собственному значению При этом Х[Х =0 (ортогональность собственных векторов), а Х[Х = Х. (условие нормировки). Для симметрической матрицы при такой нормировке справедливо разложение [c.160]

    Метод характеристического набора координат. В других моделях силового поля, определяемых матрицей кинематических коэффициентов, матрица Ь формируется из диагональной матрицы собственных значений Г и ортогональной матрицы собственных векторов и матрицы О. Указанные матрицы в отсутствие вырождения однозначно определяются из уравнения [c.94]

    Для исследования окрестности стационарной точки уравнения (3) и (4) необходимо привести к каноническому виду. Для этого определяются собственные значения и собственные векторы матрицы, составленной из коэффициентов при квадратичных членах и членах, учитывающих парные взаимодействия. В нашем случае матрица имеет вид  [c.7]

    Форма же самой -той МО, т. е. в соответствии с формулой (1-23), набор из N коэффициентов J (/=1, 2,.. ., Ы), называемый также -тым собственным вектором с. системы уравнений (1-24), определяется далее путем решения этой системы после подстановки в нее одного из допустимых значений е,.. Как поиск собственных чисел, так и вычисление собственных векторов системы линейных уравнений всегда можно выполнить стандартными методами линейной алгебры. Сейчас практически все действующие электронные вычислительные машины оснащены программами, которые сами находят все г,, и 5,., если предварительно вычислены матрицы и [49—52]. [c.26]

    Ниже мы покажем, что если выполняется принцип детального равновесия, то матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений (6.1) обладает действительными и неположительными собственными значениями. Это означает, прежде всего, что стремление комплекса к стационарному состоянию, в котором выполняется принцип детального равновесия, будет экспоненциальным, прячем, невозможны затухающие колебания. Иными словами, при отклонении от стационарного состояния комплекс будет экспоненциально быстро возвращаться в исходное состояние  [c.134]

    Как известно [Еругин, 1979], решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами всегда может быть записано в виде линейной комбинации выражений вида где X — собственные значения матрицы коэффициентов этой системы дифференциальных уравнений, а Q(J)—некоторые полиномы переменной t. Пиже показано, что собственные значения матрицы коэффициентов системы дифференциальных уравнений (2.41) имеют неположительную действительную часть. Локализацию собственных значений матрицы А в формуле (2.40) дает доказываемая ниже теорема Гершгорина Сарымсаков, 1954 Маркус, Минк, 1972 Ланкастер, 1978], согласно которой собственные значения произвольной матрицы (с//) лежат, по крайней мере, в одном из кругов с центрами Сц [c.67]

    При описании метода Бринкли не обращали внимания па вопросы единственности получаемого решения, а также сходимости процесса в зависимости от начального приближения. Сравнительно недавно появилась работа [4], в которой описывается метод расчета, по существу совпадающий с методом Бринкли. Однако описанная там модификация, на наш взгляд, лишь ухудшает метод и чрезвычайно неэффективна с вычислительной точки зрения (достаточно упомянуть, что авторы решают систему линейных уравнений, находя все собственные значения и собственные векторы матрицы коэффициентов). Упомянутая работа содержит также некорректные доказательства единственности решения и невырожденности матрицы Якоби W. Докажем в [c.39]

    Существует несколько равнозначных вариантов необходимьСх и достаточных условий того, что квадратичная форма, связанная с матрицей Су всегда больше или равна нулю. Одно из них всегда можно записать так собственные значения матрицы всегда положительны или равны нулю. Коэффициенты характеристического уравнения (для которого собственные значения являются корнями) либо по- [c.271]

    Когда же N и HN ортогональны, не обязательно требовать (1е1Н = 0, однако собственные значения матрицы Н должны иметь различные знаки, т. е. снова коэффициенты иредночтения не могут быть произвольными. Также и с числеппостями — по крайней мере одна из них будет выражаться через другие согласно уравнению (N, HN) = 0 (нелинейным образом). [c.178]

    Известны стандартные математические процедуры, позволяю-ии1е диагоиализировать матрицу гамильтониана Н. Их применение не только дает диагональную матрицу 6 собственных значений, по также и матрицу коэффициентов С. После того как Н шена проблема собственных значений, можно определить ча- 10ТЫ и интенсивности линий согласно уравнениям (V. 1) или (V.18). [c.167]


    Недостаток метода if-мaтpицы состоит в том, что все светопоглощающие компоненты образца должны быть известны и использованы в процедуре градуировки, Как мы увидим позднее, методы так называемой мягкой градуировки позволяют проводить анализ и в присутствии неизвестных поглощающих примесей. Еще один недостаток обусловлен тем, что как на стадии градуировки, так и непосредственно на стадии анализа необходимо проводить обращение матрицы. С чисто вычислительной точки зрения эта операция не представляет проблемы. Однако при значительном сходстве спектров компонентов матрица коэффициентов поглощения может быть плохо обусловлена, и ее обращение (см. уравнение 12.5-103) может оказаться невозможным из-за того, что ее сингулярные числа (собственные значения) близки к нулю. Эту [c.560]

    С и расчета матричных элементов Hr, по (1.78). Затем из уравнения (1.77) определяются коэффициенты а,, вычисляются энергетические матрицы в (1.79) и решается задача на собственные значения (1.79), позволяющая найти новый набор коэффициентов С. Полученные МО снова используются для построения Тi, определения а, и так далее, до самосогласовапия. [c.28]

    Как было отмечено ранее, процессы молекулярного переноса приводят к увеличению энтропии системы. В термодинамически устойчивой системе матрица практических коэффициентов [О] в уравнении (2.87) при эквимолярной диффузии (р = —1) является положительно определенной и имеет всегда только положительные собственные числа [3]. Очевидно, термодинамическая устойчивость системы будет соблюдаться и при неэквимолярной диффузии, когда выполняется условие о положительной определенности матрицы [О]. Это условие в общем виде можно контролировать положительными значениями ее диагональных элементов и главных миноров. Например, для трехкомпонентной смеси будем, иметь  [c.57]

    Более подробно это будет обсуждаться в разд. 2.4.) Такая формулировка средних величин поразительно схожа с формализмом квантовой механики, задаваемым через функцию состояния . Более того, как мы видели, уравнения, которым удовлетворяют и имеют одинаковую математическую структуру. Аналогия простирается и далее. Ранее мы нашли, что решение уравнения Лиувилля можно выразить через ряды по собственным состояниям оператора Л, т. е. по функциям ехр (— сОпО X X фп (р, ч) (см. уравнение (2.64)). Каждая такая функция, будучи решением уравнения Лиувилля, представляет возможное независимое состояние системы. Для многомерных периодических систем расширенные собственные состояния ехр ( Есог г )-фп (01,. . 0N) становятся связанными с собственными колебаниями такой системы. Задача с начальными данными, решение которой дается выражением (2.101), иллюстрирует значение элементов матрицы (п 1 бЛ 1 п ). Коэффициент — это распределение собственных состояний, характеризуемых вектором п. Элементы (п 1 бЛ 1 п ) пропорциональны вероятности того, что взаимодействие бЛ индуцирует переход от множества п к множеству п. Для очень слаб1ых взаимодействий, когда е, имеют место только переходы первого порядка тогда как если 8 значительно, то и переходы второго порядка будут вносить вклад в скорость изменения (0). В переходах второго порядка бЛ означала индуцирует изменение от п" до п, а затем от п до п. [c.77]


Смотреть страницы где упоминается термин Собственные значения матрицы коэффициентов уравнений: [c.125]    [c.282]    [c.282]    [c.125]    [c.342]    [c.58]   
Смотреть главы в:

Транспорт электронов в биологических системах -> Собственные значения матрицы коэффициентов уравнений




ПОИСК





Смотрите так же термины и статьи:

Матрица

Собственные

Уравнение на собственные значения



© 2024 chem21.info Реклама на сайте