Способ линеаризации

Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого или второго порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона—Рафсона, обладающим квадратичной сходимостью. Методам этой группы свойственна высокая чувствительность к начальному приближению. [c.135]

Матричные методы решения систем нелинейных уравнений можно разделить на две группы по способу линеаризации. К первым относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность, с предыдущих итераций. Являясь методами нулевого порядка, они в ряде случаев обладают слишком медленной сходимостью или вообще не обеспечивают решения. [c.134]

Были предложены различные способы линеаризации уравнения (6.8). Если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то, как известно из теории установившейся фильтрации газа (см. гл. 3), воронка депрессии очень крутая, и в большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Лейбензон предложил заменить переменное давление р в коэффициенте уравнения (6.8) на постоянное давление р , равное начальному давлению в пласте. Тогда, кр [c.185]

СПОСОБ ЛИНЕАРИЗАЦИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ [c.92]

Другой способ линеаризации заключается в следующем. Выберем ориентировочно интервал [х. , х ] и аппроксимируем на нем функцию (х) уравнением прямой а + Ьх. Неизвестные а и Ь нетрудно найти методом наименьших квадратов по значениям х из интервала [х , х ]. [c.138]

При наличии нескольких возможных способов линеаризации исходного уравнения г/=/( 1, аг, х) окончательные результаты итерационного процесса не зависят от выбора линеаризованной формы, которая влияет лишь на число требующихся циклов итерации [258]. Если иметь в виду однократное применение обычных уравнений линейного МНК (8.48), то для выбора наилучшей линеаризованной формы необходимо знать законы распределения погрешностей и конкретные числовые значения х и г/. Практика показывает, что для упрощения расчетов и уменьшения дисперсии получаемых величин а и в качестве 2 и и целесообразно выбирать максимально простые функции, причем по возможности — с разделенными переменными, т. е., например, 2 = ф(г/), и = х). [c.179]

Существуют различные способы линеаризации зависимости начальной скорости ферментативной реакции от концентрации субстрата. Наиболее распространенным способом является линеаризация экспериментальных данных в координатах (1/у, 1/[S]q), называемых координатами Лайнуивера-Берка или координатами двойных обратных величин . Как следует из выражения [c.79]

Проводится экспериментальное изучение статических характеристик по каждому из каналов л (О- i/(О (методика исследования описана в гл. IV). Чаще всего статические зависимости, определенные в достаточно широком интервале изменения x t), являются нелинейными. Для определения величин малых возмущений x t), при которых экспериментальная статическая характеристика у = х) отличается не более чем на Aiy от прямой линии, следует осуществлять линеаризацию у = f x) в окрестности точки рабочего режима аппарата хо, г/о). Применяют два способа линеаризации. [c.137]

Для упрощения исследования систему автоматического регулирования (САР) рассматривают состоящей из цепочки элементарных динамических звеньев, каждое из которых может быть описано линейным дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Если реальный процесс описывается нелинейными уравнениями, то применяют различные способы линеаризации нелинейных зависимостей. Динамические свойства элементарных звеньев определяют связь между входной и выходной величинами в переходном процессе. Эта связь может быть выражена в форме дифференциального уравнения, передаточной функции, временной характеристики или амплитудно-фазовой характеристики [1—10]. [c.693]

Как использован в обобщенной математической модели способ линеаризации посредством интерполяционного многочлена первой степени [c.158]

Другой способ линеаризации может заключаться в линейной или кусочно-линейной аппроксимации нелинейных замыкающих уравнений h = для всех ветвей схемы. Подобный прием является естественным [c.82]

Б последующих работах использовали и иные способы линеаризации уравнения (6.8). Отметим предложенные для случая неизвестного Она уравнения Вейль — Морриса [182] [c.125]

В последующих работах других авторов использовались и иные способы линеаризации уравнения (6.12). (В приводимых ниже формулах определяемые параметры прямых заключены в квадратные скобки.) Отметим предложенные для случая неизвестного Дна уравнения Вейля—Харриса [45] [c.153]

Современный математический анализ главным образом приспособлен к решению линейных задач теории теплопроводности, поэтому путем линеаризации нашей проблемы можно получить ее приемлемое решение. Наиболее простой с физической точки зрения способ линеаризации заключается в разложении искомого решения в ряд по степеням некого параметра. Выбор параметра играет важную роль, потому что предопределяет быстроту сходимости получаемого ряда. Этот прием используется в тех случаях, когда для какого-либо фиксированного значения параметра решение задачи известно и дополнительные члены полученного ряда являются достаточно малой поправкой к этому основному решению. В каждой конкретной задаче желательно исследование сходимости полученных последовательных приближений. Однако, если мы нашли решение для значения параметра, равного нулю, и хотим его получить для малых величин последнего, то, как правило, можно ограничиться линейным по параметру членом ряда и считать, что процесс им достаточно хорошо описывается. [c.86]

При управлении ХТС величины и (управления) будут интересовать нас лишь в той степени, в какой они определяют связь входов и выходов блока. В этом смысле под управляющими воздействиями элементарной модели блока удобно понимать переменные коэффициенты связи а ц входов и выходов 2 /, причем под коэффициентом связи ак1 могут пониматься коэффициенты удельного выхода (прежнее обозначение а у), расходные коэффициенты (прежнее обозначение Ъкц) и любые другие коэффициенты и соотношения, определяющие связь между входными и выходными потоками блока (см. раздел 1 главы IV). Тогда при построении общей модели ХТС для блоков будем иметь линейные элементарные модели с переменными коэффициентами (см. раздел 1 главы IV). Следует заметить, что в тех случаях, когда коэффициенты а ц не устанавливаются (регулируются) непосредственно, а зависят от ограниченного числа первичных управляющих воздействий другого типа (температуры, давления и т. п.), такая интерпретация управления блоком может приводить к увеличению числа переменных модели, поскольку число коэффициентов я, / может превосходить число управляющих воздействий Увеличение размерности является в данном случае платой за используемый способ линеаризации элементарной модели, неизбежной, когда коэффициенты нелинейно зависят от первичных управляющих воздействий. Дополнительное преимущество элементарных моделей с коэффициентами заменяющими упра- [c.113]

Линеаризация кривой пропускания. Все графические способы линеаризации предполагают построение зависимости интенсивности ионов от экспозиции в логарифмическом масштабе. Чтобы можно было использовать все изотопы элемента, в качестве абсциссы берут произведение экспозиции на распространенность изотопов — QJ. Значения факторов пропускания могут быть переведены в величины, линейно связанные с (илп [c.97]

Способ линеаризации, широко используемый в спектральном анализе, применен и в масс-спектрометрии [17]. Он основан на следующем равенстве [c.97]

Во всех указанных способах линеаризации использовали зависимость определенного выражения фактора пропускания т от IgQ/. В результате длительной работы мы пришли к выводу о том, что хотя кривые Халла имеют наибольший линейный диапазон, он все же ограничен значениями Тл, близкими к вуали лн насыщению. При анализах образцов неизвестного состава может возникнуть необходимость количественного определения элементов, линии которых на фотопластинке будут иметь слишком малые или большие значения фактора пропускания. Прп использовании метода Халла погрешность определения таких элементов будет много больше, чем для большинства линий, попадающих в линейный диапазон. Поэтому нам кажется полезной работа Кавано [50]. Предложено для одной фотопластинки с нарастающими экспозициями строить пять кривых, каждая из которых должна применяться для линий определенной оптической плотности (рис. 3.18). [c.101]

Если имеется вероятное предположение, о механизме реакции, левую часть линейных уравнений легко рассчитать из опытов. Проверку механизма при двух членах знаменателя можно осуществить способом линеаризации, откладывая левую часть уравнения против соответствующих концентраций (парциальных давлений) или их функций, содержащихся в правой части. [c.292]

В случае определения эффективной теплопроводности систем с резко различающимися по теплопроводностям компонентами, такие упрощения, по-видимому, не совсем правомерны. Кроме того, упрощение порождает произвол в выборе способа линеаризации линий тока или изопотенциальных поверхностей. [c.76]

Степень уменьшения размерности в задаче управления по конечному значению полностью зависит от способа линеаризации функций Сг х, у). Для нахождения разумного приближения функции Сг х, у) используем метод последовательных приближений. [c.248]

Динамические характеристики, выражающие связь между отклонениями на входе и выходе в переходном процессе, обычно могут быть представлены в виде линейного дифференциального уравнения. Если реальный процесс описывается нелинейными уравнениями, применяют различные способы линеаризации. На практике более удобно представление динамических характеристик в виде временной характеристики, передаточной функции или амплитудно-фазовой характеристики. [c.286]

В связи с нелинейностью первого уравнения системы (1) И. А. Чарным [I] был использован способ линеаризации квадратичного члена, характеризующего гидравлическое сопротивление. Геометрический смысл проведенного преобразования заключается в замене дуги па- [c.11]

Отметим, что одним из эффективных путей решения уравнения Лейбензона является. гшнеаризация, т. е. сведение его к линейному уравнению Фурье. Как покажем при дальнейшем рассмотрении, в некоторых практических случаях использование различных способов линеаризации уравнения (6.6) позволяет получать приближенные решения, удовлетворяюшие требованиям практики. [c.184]

Отмечалось, что при расчете поверхности интервала по способу с осреднением параметров требуются максимальное количество интервалов и, несмотря на алгоритмическую простоту способа, максимальное время счета. Точность способа линеаризации коэффициентов теплоотдачи на 5—7% выше, чем способа Колберна. Оба последних способа требуют достижения заданной точности одинакового количества интервадов, но способ Колберна обладает большой алгоритмической простотой. [c.98]

Последний вывод мы считаем недостаточно обоснованным. Проведенные нами расчетные условия показали, что при расчете теплопередачи в интервале способом Колберна требуемая точность достигается медленнее при большем числе интервалов, чем при использовании способа линеаризации коэффициентов теплоотдачи. Это особенно показательно при значительном изменении параметров теплопередачи вдоль поверхности. Исследовательский алгоритм интервально-итерационного расчета должен предусматривать не удвоение числа интервалов при итерациях [117], а постепенное увеличение их на один. [c.98]

Второе решение позволяет учитывать изменение коэффициента теплопередачи точнее, чем по способу Колберна. По точности оно практически равноценно способу линеаризации коэффициентов теплоотдачи и уступает методу полной линеаризации. Однако алгоритмически второе решение Зигмунда значительно сложнее способов Колберна и линеаризации коэффициентов теплоотдачи. Для его реализации требуется одним из численных методов определить значения коэффициентов а, Ьх,й2, >2 уравнения (6,39), используя табличные данные к = которые должны быть [c.99]

Кратко рассмотрим и сопоставим следуюш,ие способы расчета площади теплопередающей поверхности при конденсации и кипении (при неизменной температуре одного из теплоносителей) осреднение параметров теплопередачи, Колберна [ИЗ], линеаризация коэффициента теплоотдачи и теплоемкости теплоносителя с переменной температурой (для сокращения назовем его способом линеаризации) [47, 91], Маньковского [117] и интервально-итерационный расчет. [c.99]

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предьщущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура мат эицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению. [c.79]

Келен и Тюдош предложили способ линеаризации уравнения состава, учитывающий степень разброса экспериментальных данных с помощью фактора ос. Уравнение состава приведено ими к виду [c.150]

Известен и другой достаточно строгий и простой способ линеаризации кривых титрования, основанный на использовании математической модели кривой титрования для преобразования ее с помощью специальных переменных в прямую у = Уо + Ужв , угловой коэффициент которой равен объему тнтранта в точке эквивалентности. Отрезок у о на оси у связан с константой равновесия реакции титрования. Математическую модель получают в результате комбинирования закона действующих масс, уравнения материального баланса частиц, участвующих в реакции титрования, и урав- [c.252]

Ограничение диапазона линейности градуировочных 1фивых сверху особенно существенно для приборов с зеемановской коррекцией фона. Отклонение от линейности в этом случае становится ощутимым уже при величинах интегральной абсорбции 0,2 с. При использовании компьютерной техники возможно применение различных способов линеаризации градуировочных кривых. Тем не менее, малый диапазон определяемых содержаний является одним из наиболее серьезных ограничений метода ААС. [c.850]

Линейность уравнения (13) существенно облегчает поиски его решения. Например, его можно разложить в ряд по собственным функциям линеаризованного оператора столкновений, который относится к фредгольмовскому типу. Существуют и другие способы линеаризации ([31—33]) исследование таких уравнений содержится в работах [34, 35]. [c.268]

Хьюзом и сотрудниками [90] была высказана идея такого способа линеаризации, который приводил бы к распаду системы уравнений вида (6.41) на две системы, каждая из которых содержала бы только два неизвестных. Этот способ получил свое развитие в работе Анга [101] и далее был улучшен Брайсоном и Мэттьюзом [102]. [c.174]

Для упрощения расчетной задачи возможна также конечно-разно -стная аппроксимация нелинейной равновесной зависимости. Однако такой способ линеаризации все же не гарантирует устойчивости решения. [c.388]

Этот способ линеаризации при обработке опытных данных применим ко многим более простым вариантам кинетики реакций. Он позволяет уже визуально определить соответствие таких уравнений выбранной зависимости, в то время как в других координатах бывает трудно решить, соответствует данное семейство точек уравнениям параболы, гиперболы или других кривых. Оценку этого соответствия или выбор между несколькими вариантами решений можно осуществить изложенными ранее статистическими методами. Расчет константы скорости также следует проводить не по наклону на глаз проведенной прямой, а способом наименьших квадратов с оценкой ее средней квадратйчной ошибки. [c.265]

Наиболее распространенным является последний способ линеаризации (координаты Лайнуивера —Берка, l/r—1/ ), однако наилучщий результат дает, по-видимому, первый (С/г—С). [c.149]

Циглера, Таммана и других, предусматривающих обратную зависимость между скоростью реакции и ее продолжительностью. Эти различия способа линеаризации экспериментальных данных согласуются с предпосылками, сделанными при выводе различных кинетических уравнений. Если температура, при которой осуществляется реакция (3.44), не превышает температуру формирования решетки гематита, то последняГя является относительно устойчивой даже при наличии высокой концентрации неравновесных дефектов. Слой шпинели, возникающей при взаимодействии гематита с MgO, во всех случаях характеризуется несовершенством структуры, отражающим несовершенство структуры исходных оксидов (в первую очередь гематита) [34]. Поскольку при невысоких температурах осуществления реакции (3.46) несовершенства кристаллической решетки относительно устойчивы, должнб быть устойчивы во -времени и дефекты образующейся шпинели. В этом случае реакционную смесь можно рассматривать как систему, в которой устанавливались локальные равновесия, не зависящие от факторов времени, и получить параболическую зависимость, выражаемую уравнением (3.18). [c.183]