Стационарная точка устойчивая

Для устойчивости стационарного состояния необходимо, чтобы малые отклонения от равновесной температуры приводили к таким изменениям, которые возвращают реактор в стационарное состояние. Это означает, что если температура становится несколько меньше стационарной, скорость тепловыделения Q y) начинает превышать скорость теплоотвода Q2 y) если же температура незначительно превысит стационарную, то Q2 yX будет больше Ql y). Иными словами, для устойчивости стационарною состояния необходимо выполнение неравенства [c.67]

В соответствии с терминологией теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости по А.М.Ляпунову, устойчивому стационарному состоянию соответствует особая точка — устойчивый узел (см. разд. 18.1). [c.344]

Пусть при удалении от равновесия а увеличивается. Допустим, что исходно а = соответствует стационарной точке устойчивый узел системы (18.17) (область I на рис. 18.1). При увеличении а мы проходим по некой ветви стационарных состояний л == л (а). Эта ветвь состояний будет устойчивой, т.е. включать устойчивые стационарные точки до тех пор (участок / кривой), пока а не достигнет бифуркационного (бифуркация — раздвоение) значения а. При а = а система теряет устойчивость (например, за счет того, что функционал Ляпунова перестает быть положительно определенным) на рис. 18.1 это означает переход системы из области I Б одну из неустойчивых областей Н или V. При дальнейшем увеличении а движение пойдет вдоль неустойчивой ветви (участок 2 кривой х(а) , где также возможны переходы между областями неустойчивости. Основной критический момент в изменении свойства системы достигается, таким образом, при бифуркационном значении а = а, когда система теряет устойчивость. Существенно, [c.370]

Положение точки устойчивого термодинамического равновесия системы всегда находится в области I. Изменение параметра а соответствующим образом приводит к изменению коэффициентов характеристического уравнения, описывающего поведение системы после ее вывода из равновесия, и, следовательно, величин ч и В свою очередь это может привести не только к изменению координат особой точки устойчивый узел", но и к изменению самого типа устойчивости стационарного состояния, если при этом система покинет область 1 устойчивых узлов. [c.369]

Отсюда следует СО1 = —1, СО2 = —3, что обусловливает тип особой стационарной точки устойчивый узел и монотонный характер приближения к ней системы. [c.149]

Пусть при удалении от равновесия а увеличивается. Допустим, что в начальный момент времени а = ао, что соответствует стационарной точке устойчивый узел (область I на рис. VI.1) системы (VI.2.1). При увеличении а получается некая ветвь стационарных состояний х = (а), которая будет устойчивой, т. е. включать устойчивые стационарные точки до тех пор (участок 1 кривой), пока а не достигнет в конечном итоге бифуркационного значения а. При значении а = а система теряет устойчивость, а на диаграмме (см. рис. VI.1) это означает переход из области I в одну из неустойчивых областей III или V. При дальнейшем увеличении а движение пойдет вдоль неустойчивой ветви (участок 2 кривой ж (а), где также возможны переходы между областями неустойчивости. Основной критический пункт достигается, таким образом, при бифуркационном значении а = а, когда система теряет устойчивость. С точки зрения развитых выше термодинамических представлений, стационарные состояния, расположенные на участке 1 кривой при малых а = ао, устойчивы в силу теоремы о минимуме скорости продуцирования энтропии [c.153]

Тривиальные стационарные точки (х, 2у, г) = (1 0 0) или (0 0 1), которые мы назовем угловыми точками, могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми в зависимости от устойчивости других стационарных точек. Устойчивые и неустойчивые стационарные точки должны чередоваться — две соседние точки не могут быть одновременно устойчивыми или неустойчивыми. Таким образом, условия устойчивости тривиального равновесия являются условиями для неустойчивости асимметричных точек, если они существуют, или же условиями [c.428]

Если при изменении х траектория движения физико-химического процесса пересекает эти окружности так, что с ростом х уменьшается и [т. е. траектория стремится к точке (О, 0) при увеличении х], то стационарное состояние устойчиво. Достаточно очевидно, что устойчивость будет выполнена, если [c.164]

Прп некоторых значениях параметров в системе (8) и при достаточно малом е в системе (7) возникают автоколебания. Динамическая спстема (8) имеет довольно сложный фазовый портрет, может иметь до пяти стационарных точек, допускает существование устойчивых и неустойчивых периодических решений. Для определения констант предложен следующий метод. Прп некоторых значениях параметров стационарное решение теряет устойчивость, и из него зарождается устойчивое периодическое решение. При дальнейшем изменении парциального давления это решение опять переходит в устойчивую стационарную точку. Таким образом, можно выписать четыре уравнения для определения стационарных точек, два условия на линеаризованную задачу, характеризующие зарождение и исчезновение колебаний, четыре уравнения для скоростей реакции (измеряемых в эксперименте) и их производных, два уравнения для периодов зарождающихся колебаний. Как показывают расчеты, эти уравнения позволяют определить все константы, входящие в уравнения. При [c.88]

Если с течением времени траектория пересекает окружности с последовательно понижающимся значением V (окружности уменьшающегося радиуса), то стационарное состояние устойчиво. Поскольку X = X ( ), это условие эквивалентно требованию с1у/сИ < 0. Таким образом, задача сводится к исследованию знака производной у/(И. Дифференцируя равенство (IV, 3), находим [c.74]

Знак V оказывается отрицательным для любой точки фазовой плоскости (% , Ха), исключая начало координат. Следовательно, рассматриваемое стационарное состояние устойчиво. [c.74]

Переходы между областями I—V устойчивости особых точек можно соотнести с изменением параметра а. Это удобно сделать с помощью диаграммы, на которой по оси ординат отложены значения координат стационарной точки х, а по оси абсцисс — значения параметра а, отражающего степень удаления системы от исходного равновесия (рис. 18.2). [c.370]

С термодинамической точки зрения значение функционала диссипации энергии / (или положительно определенной функции Ляпунова Ф) в устойчивых стационарных точках имеет локальные минимумы, а скачкообразные самопроизвольные переходы в системе между устойчивыми стационарными состояниями возможны в том случае, когда два состояния обладают одинаковыми входными параметрами, например обеспечивающим процесс и задаваемым извне общим сродством А. Можно считать поэтому, что данные переходы связаны с преодолением некоторого потенциального барьера, как схематически показано на рис. 18.4. [c.376]

В 30] доказано следующее утверждение если на границе инвариантной области, задаваемой (У.4) и условиями неотрицательности 0, в фазовом пространстве x = (x ,. .Хп) нет стационарных точек системы (У.З) (или есть нечетное число устойчивых стационарных точек или любое конечное число неустойчивых точек покоя), то для единственности внутренней стационарной точки (а > 0) достаточно, чтобы для любой совокупности С г (г веществ и г реакций), где г —ранг матрицы ( 1)1 имело место неравенство [c.135]

Корни уравнения (1Х,71) имеют отрицательные действительные части и система уравнений будет устойчивой (существует стационарная точка решения) лишь при положительных коэффициентах этого уравнения, т. е. [c.499]

При решении практических задач исследование устойчивости системы решений (IX, 51) в общем случае может оказаться весьма сложным. Поэтому проще всего попытаться найти решение данной системы в достаточно большом интервале интегрирования. При этом в процессе интегрирования не лишним является контроль изменения величины оптимизируемой функции R[x(t)], который может показать наличие или отсутствие стационарной точки в процессе [c.499]

Если точка неустойчивости еще не достигнута, то стационарное состояние устойчиво и частоты нормальных мод комплексны (этот случай схематически изображен на рис. 9.2). По общепринятой терминологии, мы имеем дело с устойчивым фокусом . Выше предельной точки стационарное состояние неустойчиво и возникает стационарный периодический процесс, называемый предельным циклом. В этом случае система из любого состояния приближается со временем к такому периодическому решению, характеристики которого — период и амплитуда — определяются однозначно самим нелинейным дифференциальным уравнением ). [c.220]

Кривые, изображающие решения в (ф, 1 ))-плоскости, изображены на рис. 29. Очевидно, что решения стремятся к стационарной точке, так что они глобально устойчивы. Члены порядка 2 в (9.5.4) дают [c.252]

Упражнение. Докажите, что внутри предельного цикла должна быть устойчивая стационарная точка. [c.307]

Этот функционал принимает свои экстремальные значения на стационарных решениях нашей задачи, которые подлежат исследованию на устойчивость. По поведению функционала в окрестности его стационарных точек можно судить и о поведении стационарных решений. Действительно, можно показать, что на решениях задачи (1)—(4) производная [c.35]

Определение устойчивости нелинейной системы строится на основе анализа траекторий в фазовом пространстве системы. Стационарное состояние устойчиво, если все траектории в некоторой его окрестности сходятся к нему, и неустойчиво, если любая из этих траекторий удаляется от него. Из приведенных в предыдущей главе рис. III-1—III-6 следует, что образованные траекториями узлы и фокусы соответствуют устойчивым состояниям, а седла — неустойчивым. В общем случае движение по траектории может происходить также и от седла или фокуса. Поэтому узлы или фокусы могут быть устойчивыми или неустойчивыми. Если же фазовые траектории образуют седло, то система всегда неустойчива. [c.72]

В качестве иллюстрации определения рассмотрим узел на фазовой плоскости (см. рис. 111-4). Исследуемое стационарное состояние устойчиво в малом. Действительно, защитник всегда может поместить контур б-области целиком внутри контура любой области е и притом так, что траектории не пересекут е-контура, выходя за его пределы. Если же траектории не покидают б, то они не могут покинуть и более обширную область е. Математически, если [c.73]

Анализ термодинамических критериев эволюции и стабильности подтверждает напратвлепный характер и устойчивость конечного состояния про-цесса селекции в модели Эйгена. Анализ термодинамических свойств автока-талитических уравнений, описывающих динамику превращений в гиперциклах Эйгена, провести труднее в силу нелинейного характера кинетики. Оказывается, что для двух- и трехчленных циклов стационарное состояние асимптотически устойчиво, в то время как стационарная точка четырехчленного цикла представляет собой центр , т. е. находится на грани устойчивости. Пятичленный цикл дает неустойчивое стационарное состояние с возможностью выхода из него на траекторию предельного цикла [85]. [c.312]

Условия устойчивости (VI. 223), (VI. 224) всегда выполняются для эндотермических реакций (5<0) и реакций, идущих в диффузионной области (г 0). Для обратимой экзотермической реакции, идущей при оптимальной температуре, в стационарной точке г =0 (см. п. 5) следовательно, оптимальный режим этого процесса всегда устойчив. [c.293]

Заметим, что в сформулированных выше теоремах А - произвольное асимптотически устойчивое множество, а не обязательно стационарная точка, что дает возможность применять эти теоремы и при исследовании, например, периодических решений. [c.155]

При решении практических задач исследование устойчивости системы уравнений (IX,51) в общем случае может оказаться весьма сложным. Поэтому проще всего попытаться найти решение данной системы в достаточно больиюм интервале интегрирования. При этом в процессе интегрирования не лишним является контроль изменения величины оптимизируемой функции R [л (/)1, который может показать наличие или отсутствие стационарной точки в процессе наблюдения за значением R (/). Разумеется, при этом возможны также случаи, когда при различных начальных условиях системы уравнений (IX,51) будут определяться разные локальные минимумы функции R (д ). [c.503]

Пространственно-временные диссипативные структуры типа бегущей волны возникают в связи с образованием предельного цикла, когда концентрации компонентов системы не только колеблются во времени, но и одновременно изменяют свои координаты в пространстве. Такая система допускает волнообразное движение, при котором локальные колебания не организуются для образования стоячей волны, а принимают участие в общем продвижении волновых фронтов. Диссипативная структура в этом случае реализуется по типу бегущей волны во времени и пространстве. Система может обладать несколькими стационарными состояниями, которые соответствуют одному и тому же значению параметра. Типичный пример такой ситуации показан на рис. 7.1, на котором кривая зависимости / (X, а) =0 стационарных значений концентраций X (а) от параметра а имеет три стационарных точки при одном фиксированном значении параметра ц. Если, например, а = о, то а, с — устойчивы, а Ь — неустойчивое состояние. Тогда части кривой АВ и ОС представляют собой ветви устойчивых, а ВС — ветвь неустойчивых стационарных состояний. При достижении бифуркационных значений параметра (а, а") происходят скачкообразнью переходы С А и ВО в экстремальных точках В 11 С кривой f (X, а) = О так что неустойчивые состояния на участке ВС практически никогда не реализуются в действительности. Таким образом, реализуется замкнутый гис-терезисный цикл АВОСА, в котором в результате изменения параметра система проходит ряд стационарных состояний, отличающихся друг от друга при одних и тех же значениях а в зависимости от направления движения. Системы, обладающие способностью функционировать в одном из двух устойчивых стационарных состояний, принято называть триггерными. Последние работают по принципу все или ничего , переключаясь из одного устойчивого режима в другой в результате изменения управляющего параметра а. [c.282]

Это уравнение описывает поведение динамической системы с распределенными параметрами в фиксированных точках г,, пространства при входных возмущениях произвольного вида. Граничные и начальные условия для распределенной системы при построении ее частичной реализации должны удовлетворять следующим требованиям до нанесения импульсного возмущения система находится в стационарном состоянии стационарное состояние устойчиво функции отклика допускают представление в виде степеннйх рядов по переменной измеряемые переменные выбраны так, что их значения в стационарном состоянии равны нулю. Минимальная реализация строится одним из стандартных методов. Как показано выше, исходными данными для процедур построения точной минимальной реализации (алгоритма Хо) или минимальной частичной реализации служит совокупность конечного числа марковских параметров СА В, где число к принимает значения /с=а,. . ., р, причем на а и р существенных ограничений не накладывается. Однако можно показать, что при к О последовательность СА В приводит к более точному описанию поведения системы в начальные моменты времени, а при /с О удовлетворительная точность достигается в среднем по всей кривой отклика. Например, при построении минимальной частичной реализации многих систем с распределенными параметрами, встречающихся в химической технологии, можно рекомендовать следующую последовательность значений к=.. . , —2, -1, О, 1, 2,.. . . [c.117]

Заметим, что определение устойчивости основано на изучении траекторий в окрестности стационарной точки. Поэтому такая устойчивость называется локальной устойчивостью, или устойчивостью в малом. Однако естественно возникает вопрос о том, каким должен быть размер изучаемой окрестности. Это не праздный вопрос как бы близко ни подходила траектория к стационарному состоянию нет гарантии, что она не повернет от него. Примером служит траек тория, образующая седло. Таким образом, ясное определение окресТ ности х с е, внутри которой траектории обладают необходимыми свойствами, является неотъемлемой частью строгого определения устойчивости. [c.72]

Таким образом, исследование функции V дает однозначный ответ только в том случае, когда выражение для V знакоопределенно если V отрицательно-определенна, то стационарное состояние устойчиво, если же и положительно-определенна, то стационарное состояние неустойчиво. Наконец, если и знакопеременна, то стационарное состояние может быть или устойчивым, или неустойчивым. Иными словами, рассмотренное здесь условие устойчивости является достаточным, но не необходимым. Причина этого понятна выбор в качестве критерия для сравнения системы окружностей накладывает слишком жесткие ограничения на форму подходящих траекторий. Из рис. IV-16 ясно, что система эллипсов в этом смысле не накладывает излишних ограничений. Более строгому изучению данных утверждений посвящены два следующих раздела. [c.75]

В области гетерогенных равновесий диаграммы систем жидкость-пар и жидкость - твердое тело характеризуются наличием особых точек различной компонентности, что налагает определенные ограничения на процессы ректификации и кристаллизации. Синтез сложных технологических схем, как однородных, так и неоднородных, позволяет выявить оптимальные схемы. Все перечисленные объекты исследования нелинейны, зачастую имеют прямые и обратные связи, и их моделирование впрямую исключает возможность обобщения полученных результатов. Привлечение различных топологических приемов и методов, основанных на топологических инвариантах, позволяет создать общую качественную теорию в области колебательных химических реакций, где в параметрическом пространстве наряду со стационарными точками наблюдают, устойчивые, неустойчивые, а также устойчиво-неустойчивые предельные циклы. В области гетерогенных равновесий появляется возможность создать общую теорию распределения стационарных точек и сепаратрических многообразий, ограничивающих развитие процессов ректификации и кристаллизации и разработать алгоритмы синтеза оптимальных схем разделения. [c.57]

Проходит ОТ стационарной точки на конечном расстоянии. Таким образом, только в точке нейтральной устойчивости периодическое решение находится в окрестности стационарной точки, и при этом в окрестности стационарного состояния имеется бесконечное множество периодических траекторий Этот результат является общим для всех моделей, содержащих две переменные (X, V) н имеющих точку сверхустойчивости . Как следует из (14.86) и (14.87), стационарная точка лежит на кривой с11у / = 0. Выше состояния предельной устойчивости эта кривая и, следовательно, периодическое решение проходят на конечном расстоянии от стационарной точки. [c.220]

Конечно, строгое рассмотрение должно учитывать предысторию движения заряда, т. е. движение, приобретенное газом в предшествующих тактах, в данном случае в процессе всасывания. Визуальные наблюдения на прозрачной модели цилиндра с подкрашенным (табачным дымом) зарядом показывают, что вихревая структура, образующаяся при затекании газа в полость, не является устойчивой при прекращении подачи заряда из клапана кольцевой вихрь, образованный пристеночными струйными потоками, быстро распадается. Нами также выполнено аналитическое рассмотрение устойчивости вихревой структуры, образующейся при затекании газа в цилиндр . Воспроизведение этой задачи здесь займет много места, поэтому ограничимся формулировкой окончательных выводов. Оказывается, что при малых возмущениях, прикладываемых к вихрю внешним побудителем, его полюс описывает замкнутую тракторию вокруг некоторой стационарной точки. С увеличением амплитуды возмущений траектория полюса вихря перестает быть замкнутой с кривой, и полюс вихря сносится к стенкам цилиндра. Фактически это означает, что крупномасштабный вихрь заменяется совокупностью вихрей меньшего размера, для которых описанный цикл повторяется. Предельный минимальный размер вихревой структуры определяется, в конечном счете, силами вязкостного (молекулярного) трения (см. п. 1). [c.135]

ППЭ представляет собой многомерный геом. объект. Ее осн. элементы-стационарные точки (минимумы и седловые точки), хребты и долины-непосредственно связаны с описанием устойчивых состояний хим. системы и переходов между ними, т.е. хим. р-ций. Топографич. интерпретация очевидна для трехмерной ППЭ, когда (7 зависит всего от двух координат и д2- Ее можно распространить и на многомерные ППЭ. Стационарные точки на ППЭ удовлетворяют ур-ниям [c.592]

Обращаясь к. эндотермическому процессу, мы видим (рис. III. 3), что прямая 4 всегда пересекается с кривой р(Т р) лишь в одной точке и соответствующее стационарное состояние устойчиво. Эндотермический процесс устойчив при всех обстоятельствах действительно, снижение температуры приводит к уменьшению скорости реакции, останавливающему дальнейшее падение температуры аналогичным образом система возвращается к первоначальному состоянию и при случайном повышении температуры неравенстно (III. 67) при /г<0 выполняется тождественно. Ясно, что переход эндотермического процесса во внешнедиффузионную область весьма маловероятен. Вопрос об учете изменения температуры поверхности в эндотермическом процессе, тормозимом внешней диффузией, сводится к совместному численному решению уравнений (III. 66) и (III. 17). [c.139]

Моаио показать (см. [ 1 ]), что стационарное решение у(х) задачи (I) будет устойчиво, если нулевое решение линеаризованной задачи (2) устойчиво. В свою очередь, критещем устойчивости нулевого решения задачи (2) является отрщательность вещественных частей всех собственных чисел дифференциального оператора с нулевыми граничными условиями на концах про-мея гтка [а, ъ] Однако такое условие устойчивости не является достаточно удобным с точки зрения приложений, поскольку не существует никаких общих рекомендаций относительно определения границ спектра дифференциального оператора, кроме, разумеется, прямого численного подсчета собственных значений. Возникает задача найти какой-нибудь эффективный критерий того, что спектр оператора С лежит в левой полуплоскости комплексного переменного. В случае одного квазилинейного параболического уравнения второго порядка эта задача решена Т.И.Зеленяком [2], причем нужный критерий сформулирован в терминах того самого стационарного решения, устойчивость которого исследуется. [c.140]

Если система (10) имеет единственную полояительнзпо стационарную точку (х ), то она асимптотически устойчива, так как функция Р(х) = 2 X. (1а х.- la х.- 1) является для [c.156]

Теорема 6. Для строго ациклического графа, если систеш (9) имеют положительную стационарную точку, то, в случае существования решения балансных равенств, в каждой балансной плоскости п существует единственная полсаитель--ная стационарная точка, асимптотически устойчивая в в целом, иначе стационарная точка единственна и асимптотически устойчива в в целом. [c.156]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология