Решение дифференциальных уравнений на аналоговой машине

Математическая модель объекта, характеризуемого не очень сложными дифференциальными уравнениями, часто может быть реализована на аналоговой вычислительной машине. Однако самым универсальным средством решения задач математического моделирования являются цифровые вычислительные машины. При этом для решения системы уравнений математического описания необходимо иметь численный алгоритм. [c.129]

Решение дифференциальных уравнений иа аналоговой машине [c.39]

В 1945 г. Лебедев создал первую в стране электронную аналоговую вычислительную машину для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Сергей Алексеевич Лебедев родился 2 ноября 1902 г. в Нижнем Новгороде в семье учителей. [c.146]

Аналоговые машины рассчитаны на решение обыкновенных дифференциальных уравнений цифровые машины быстрее и точнее решают алгебраические уравнения. Аналоговые машины практически не выполняют логических операций, поэтому сложные логические операции производятся только на цифровых машинах. Можно полагать, что совместное использование обоих типов машин для решения важных технологических задач, которые требуют проведения всех трех видов математических операций, окажется весьма эффективным. Устройства, связывающие оба типа вычислительных машин в ходе их работы, используются в системах, предназначенных для оборонных целей модели, применимые для решения технологических проблем, находятся еще в стадии разработки. [c.19]

Ниже в качестве примера более подробно рассмотрена работа некоторых элементов аналоговой машины типа МН-7. Эта машина предназначена для решения дифференциального уравнения шестого порядка или системы из шести дифференциальных уравнений. Машина МН-7 состоит из восемнадцати операционных усилителей, четырех блоков перемножения функций и четырех нелинейных блоков. Восемнадцать усилителей включают в себя шесть интегра- [c.162]

Метод проб и ошибок наиболее распространен при решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако во многих случаях этот метод поиска начальных условий приводит к задаче с неустойчивым решением. Тогда единственно возможным методом решения краевых задач на АВМ становится метод конечных разностей, приводящий к алгебраическим уравнениям. Моделирование же последних связано с большими трудностями и значительными погрешностями. Поэтому, несмотря на ряд очевидных достоинств, применение аналоговых машин для целей математического моделирования химических процессов из-за указанных причин является весьма незначительным по сравнению с цифровыми вычислительными машинами. [c.12]

Известно несколько способов воспроизведения ядра F (р Р) при решении уравнения (5.1) на аналоговых вычислительных машинах [129—131] решение дифференциального уравнения для сомножителей ядра или моделирование ядра по асимптотическим свойствам его сомножителей. [c.128]

Аналоговые машины большей частью используются для решения дифференциальных уравнений. Однако их можно применить и для решения алгебраических уравнений. В действительности они будут решать дифференциальные уравнения, но интерес будет представлять только решение для установившегося состояния, что соответствует решению алгебраических уравнений. Пример итеративного расчета от тарелки к тарелке для многокомпонентной дистилляции описан в работе [5]. [c.411]

Математические машины можно эффективно применять в тех случаях, когда необходимые для вывода расчетных зависимостей решения дифференциальных уравнений осуществить другими способами очень сложно или практически невозможно. На машинах такие решения получают либо в виде непрерывных зависимостей (аналоговые машины ), либо в цифровом виде (дискретные, или цифровые, машины). [c.75]

Для решения относительно простых задач по обработке эксперимента используют аналоговые вычислительные машины (АВМ). В них результаты химического процесса исследуют с помощью его математической (электрической) модели, набираемой из различных блоков, имеющихся на АВМ. Главное назначение аналоговых машин состоит в решении дифференциальных уравнений скорости и подборе их параметров. Несколько таких вариантов, выведенных на основе вероятных предположений о механизме реакции, программируют на электрической модели машины и подбирают вручную параметры уравнений так, чтобы кривые, получаемые на осциллографе, или данные, наблюдаемые по стрелкам приборов, наилучшим образом совпадали с экспериментом. Недостаточная точность получаемых величин и ограниченность возможностей АВМ делают целесообразным их применение лишь для предварительной отбраковки неадекватных моделей и приблизительной оценки параметров уравнений, удовлетворительно описывающих эксперимент. [c.297]

В итоге можно сказать, что дифференциальные уравнения можно решать как на аналоговых, так и на цифровых вычислительных машинах. Выбор типа машины диктуется видом и объемом решаемой задачи, возможностями машины, требованиями к точности решения, а иногда такими факторами, как наличие той или иной машины или квалификацией программистов. Наибольшая информационная производительность будет достигнута, несомненно, при соответствии решаемой задачи возможностям применяемой машины. Вообще вопрос о преимуществах аналоговых вычислительных машин по сравнению с цифровыми не относится к компетенции исследователя. [c.40]

Выше показана в общем виде и на конкретных примерах равноценность (с точки зрения результатов расчета). математического описания процесса в форме дифференциальных уравнений массопередачи и в форме алгебраических уравнений теоретической тарелки. Таким образом, при решении задачи механизации расчетов с помощью вычислительных машин могут быть применены оба метода. Очевидно, при использовании аналоговых машин целесообразно применять метод расчета по уравнениям массопередачи. [c.117]

Непрерывный характер решения дифференциального уравнения возможен при непрерывном формировании старшей производной, что обеспечивается решающими блоками аналоговой машины, работающими в замкнутом контуре. [c.44]

В простейших случаях, когда возможно аналитическое решение системы уравнений математического описания, необходимость специальной разработки моделирующего алгоритма, естественно, отпадает, так как вся информация получается из соответствующих аналитических решений. Когда математическое описание представляет собой сложную систему конечных и дифференциальных уравнений, от возможности построения достаточно эффектив--ного моделирующего алгоритма может существенно зависеть практическая применимость математической модели. В особенности это важно при использовании модели для решения задач, в которые она входит составной частью более общего алгоритма, например алгоритма оптимизации. Как правило, в таких случаях для реализации математической модели приходится применять средства вычислительной техники — аналоговые и цифровые вычислительные машины, без которых фактически нельзя ставить и решать сколько-нибудь сложные задачи математического моделирования и, тем более, задачи оптимизации, где расчеты по уравнениям математического описания обычно повторяются многократно. [c.53]

Пропорционально увеличивая или уменьшая коэффициенты передачи интеграторов, можно соответственно ускорить или замедлить процесс интегрирования, что дает возможность проводить решение дифференциального уравнения на аналоговой машине в различных временных режимах [c.73]

Цель работы — показать характерные приемы получения на элементах аналоговой машины функций внешних воздействий, заданных аналитически и в графической форме, а также методы решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. [c.115]

Принцип работы современных аналоговых машин основан на использовании аналогии между электрическими явлениями и математическим действиями. Таким образом, применение принципа аналогии превращает-в данном случае модель в счетно-решающее устройство. Это в значительной степени устраняет различие между теоретическим исследованием (решение дифференциальных уравнений) и экспериментальным исследованием (постановка опытов на моделях и последующее обобщение их результатов). [c.78]

Кинетические уравнения можно проинтегрировать для целого ряда реакционных механизмов, включающих параллельные, последовательные и обратимые стадии первого и второго порядков. Однако для более сложных механизмов решения дифференциальных уравнений нельзя получить в явном виде, так что необходимо или использовать цифровые и аналоговые счетные машины, или вводить физически обоснованные допущения, чтобы упростить математические выражения. Ценные сведения можно получить уже при написании кинетических уравнений сложных реакций, даже если эти уравнения и нельзя точно решить. С их помощью часто оказывается возможным показать почему иногда обнаруживается индукционный период, во время которого реакция идет очень медленно почему сложные реакции могут идти по первому, второму или дробному порядку как эти кажущиеся порядки могут изменяться в ходе реакции и т. н. [c.336]

Другой задачей, возникающей при проведении расчетов на аналоговых машинах, является моделирование систем с распределенными параметрами. Эти системы представляются дифференциальными уравнениями в частных производных или большим числом обыкновенных дифференциальных уравнений. Их решение требует применения крупных аналоговых машин. Однако если предварительные результаты можно запомнить в ходе решения, то задача такого типа может быть решена на значительно меньших по размерам машинах при использовании легко программируемой методики последовательного приближения. Эти устройства разрабатываются фирмами, выпускающими вычислительные машины. [c.19]

Широко проникли в кинетические исследования числовые и аналоговые машины. С применением машин ведется обработка полученных результатов, анализ спектров ЭПР и ЯМР, решение систем дифференциальных уравнений, описывающих кинетику сложных реакций. [c.3]

В настоящее время практически ни одно кинетическое исследование не обходится без применения газо-жидкостной хроматографии, обладающей высокой чувствительностью и большой универсальностью. Определенные перспективы открываются благодаря применению в химии резонансной гамма-спектроскопии. Все шире проникают в кинетические исследования различные математические методы обработки результатов. К ним относятся и анализ полученных спектров ЭПР и ЯМР, и решение систем дифференциальных уравнений, описывающих кинетику сложных реакций с использованием числовых и аналоговых электронных вычислительных машин. [c.4]

Выше было показано (см. стр. 17), что такие различные по природе явления, как трение жидкости, теплопроводность, диффузия, поток электричества и другие описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, т. е. выражают изоморфность математических моделей разных процессов. Таким образом, пользуясь указанной. аналогией математических описаний, уравнения физикохимических процессов можно решать как электриче( кие уравнения при помощи аналоговой вычислительной техники. В этом смысле процесс, протекающий в химическом реакторе, аналогичен решению математической модели его на АВМ. Исследуя процесс на аналоговой машине, можно получить такие же результаты, как если бы мы воспроизводили работу реактора. [c.84]

Применение АВМ не исключает возможности использования ЦВМ, и наоборот. Например, если для решения задачи требуется провести большой объем вычислений с высокой д-очностью, то можно сначала грубо прикинуть возможные варианты решения на АВМ, а затем получить окончательный ответ, вводя полученные данные в ЦВМ. Существуют также комбинированные (гибридные) аналого-цифровые вычислительные машины. Такие машины позволяют сочетать преимущества АВМ (быстрота решения дифференциальных уравнений, относительная легкость поиска переменных параметров) и ЦВМ (высокая точность, универсальность, возмол<-пость осуществления логических операций, запоминание и хранение информации). Обычно в комбинированных машинах аналоговые блоки выполняют интегрирование, а цифровые рассчитывают нелинейные функции, запоминают промежуточные результаты, дают управляющие команды аналоговым блокам и выполняют другие логические операции. Поскольку способы ввода, обработки и выдачи информации в АВМ и ЦВМ резко различаются, в комбинированные машины необходимо вводить аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи. [c.326]

В аналоговых машинах использовались электрические, магнитные, оптические и другие сигналы, называвшиеся машинными переменными. Причем помимо простых счетнорешающих приборов в рассматриваемый исторический период существовало производство мощных и дорогсетоящих аналоговых вычислительных мапгин, обеспечивающих значительно лучшие харакгеристики при решении дифференциальных уравнений, чем цифровые вычислительные машины. [c.148]

Рассмотрено решение дифференциальных уравнений неизотермической абсорбции на аналоговой электронно-вычислительной машине. Результаты решения представлены в виде графика, на котором изображена заии-симость между концен-ррацией жидкости, ее температурой и числом единиц переноса. Значения с графика снимаются посредством специального транспаранта. [c.125]

Важный вопрос о соответствии значений констант скоростп реакций эксперпментальным данным вынесен в этой главе в упражнения. Сделано так потому, что, с одной стороны, этот вопрос относится скорее к области чистой, чем прикладной кинетики, и, с другой стороны, его решаюш,ее значение для всей проблемы расчета химических реакторов не вызывает сомнений. Если кинетические зависимости изображаются прямыми линиями, как на логарифмическом графике для реакции первого порядка в упражнении У.2, то оценка точности найденных значений констант скорости реакций может быть получена из отклонения экспериментальных данных от прямой линии, наилучшим образом оиисываюш ей ход процесса. Если дифференциальные уравнения, описывающие систему реакций, должны с самого начала интегрироваться численно, то провести оценку значений констант скорости и их точности значительно труднее. В простейших случаях уравнения можно решать с помощью аналоговой вычислительной машины, где константы скорости представляются переменными сопротивлениями. Эти сопротивления можно изменять вручную, пока не будет достигнуто наилучшее возможное соответствие между расчетными и экспериментальными данными. Если решение проводится на цифровой вычислительной машине, следует использовать метод проб и ошибок. Предположим, [c.116]

Системы (7.29) н (7.30) состоят из нелинейных дифференциальных уравнений, не имеющих общего решения. Поэтому интегрирование этих систем может быть выполнено численными методами на ЭВМ (либо моделированием на аналоговых вычислительных машинах). Для их интегрирования необходимо задать начальные условия. В начале открытия клапана (угол Фоткр) перемещение и скорость тарелки равны нулю. Равно нулю также ускорение тарелки, так как ее движение начинается в момент, когда равнодействующая всех действующих на нее сил равна нулю. Тогда начальные условия для систем (7.29) и (7.30) Ф = Фоткр X = 0 (1х/<И = 0 Хо = г Хо/5. [c.209]

Хотя цифровые машины решают дифференциальные уравнения в основном методом последовательных приближений, для сложных систем уравнений существуют более тонкие методы численного интегрирования. Ошибка вычисления существует и при решении на аналоговых вычислительных машинах, и исследователь должен уметь оценивать точность получаемого решения, особенно при Ентегрпрова-нип, где ошибки также интегрируются. [c.39]

Чтобы решить на аналоговой машине дифференциальное уравнение для описанной ранее задачи с емкостью, в которой изменение-уровня во времени определяется уравнением dhldt = Q i) — Kh /г, нужно соединить необходимые для решения элементы так, как показано на рис. П-15. Интегрирование осуществляется с помощью операционного усилителя, выход которого является интегралом от суммы входов, т. е. /г = —j2nx dt, а функции (t) я h воспроизводятся с помощью блоков, вырабатывающих нелинейные функции. [c.39]

Таким образом, здесь, как и в предыдущих примерах, учитываются причинно-следственные связи изучаемого явления, что значительно облегчает построение математической модели и способствует ее вычислительной устойчивости. При решении на аналоговой вычислительной машине уравнение Г = К (Р — 2 PqYi) преобразовывается в дифференциальное уравнение dTidt = K Pq PqY )-На рпс. V-3 показана блок-схема решения модели на аналоговой вычислительной машине. В качестве интегратора здесь применен операционный усилитель с большим коэффициентом усиления и с конденсатором малой емкости (0,001 мкф), включенным в цепь обратной связи. Выбрав величину К = -j-lO (что определяется допустимой ошибкой интегрирования), получим время интегрирования порядка 10" 3 сек, а разность между Р и 2 Ро Y сводится практически к нулю. [c.92]

Микрокинетические исследования позволяют определить маршруты реакций и выбрать наиболее достоверный и.з них, а также рассчитать порядок и константы скоростей реакций. Эти исследования проводят в лаборатории таким образом, чтобы изучить кинетику химической реакции в чистом виде , без влияния условий перемешивания реагентов, тепловых и диффузионных эффектов и дифференциальных, проточно-интегральных или циркуляционных реакторах. При постановке лабораторных микрокинетических исследований опыты осуществляют с использованием современных научных методов экспериментирования — направленного многофакторного эксперимента, при котором одновременно изменяют несколько наиболее существенных параметров и целенаправленно обеспечивают выход процесса в оптимальны11 режим . При проведении микрокинетических исследований обязательно применяют ЭВМ, на которой быстро просматривают все возможные решения кинетических уравнений и выбирают наиболее достоверный маршрут химической реакции при разных температурных условиях. Использование научного метода направленного многофакторного эксперимента ЭВМ резко сокращает число необходимых опытов и позволяет определить оптимальные условия течения химической реакции. В связи с этим обязательной составной частью оборудования химической лаборатории должна быть ЭВ1 [ (на рис. УН-18 аналоговая машина). - [c.483]

На сложность решения еще существеннее влияет линейность или нелинейность уравнений. Линейные обьжновенные дифференциальные уравнения решаются гораздо проще для них разработан ряд специальных методов, например операционное исчисление. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами имеют простое аналитическое решение. Решение систем линейных дифференциапьных уравнений - задача, к решению которой хорошо приспособлены аналоговые вычислительные машины. [c.17]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология