Представление линейного пространства

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА [c.322]

Следовательно, для всех возможных линейных комбинаций (в том числе и с бесконечным числом членов) функции Ч Дл ) образуют своего рода базис, в котором и записываются эти линейные комбинации. По аналогии с обычными векторными пространствами (например, в трехмерном случае, когда любой вектор Ь записывается в виде (bi + e i + Ь)а), функции Р (х) называют базисными, либо говорят о них как о базисных векторах (по своей роли аналогичных векторам i, j и к, только в бесконечномерном пространстве). На этом языке формула (12) интерпретируется следующим образом все возможные (конечные или бесконечные) линейные комбинации базисных векторов Р (х) образуют линейное пространство 8,, в котором любой вектор /(л ) может быть представлен в виде (12). [c.51]

Т.е. верхний правый блок в каждой из матриц С равен нулю. В таком случае говорят, что представление Г приводимо на пространстве 91. Верхний диагональный блок С,, размерности кхк действует на подпространстве 91, и не выводит векторы этого подпространства за его пределы. Если к тому же и = О для всех операций группы, то представление Г называется вполне приводимым оно по существу составлено из двух представлений Г, и меньшей размерности, определенных на двух линейных пространствах 91, и 91 , что записывается следующим образом 91 = 91, 91 и Г = Г, . Итак, в этом случае [c.203]

Возьмем две функции и (х) и у(у), зависящие каждая от своего набора переменных (обозначаемых символами х к у) к принадлежащие двум линейным пространствам Э1 и размерности и 5,, на которых действуют два представления Г, и Г , соответственно [c.206]

В книге представлен важный раздел современного математического аппарата физической химии, основанный на использовании методов линейной алгебры для описания сложных химических превращений. Рассмотрены методы решения наиболее часто встречающихся в физической химии задач, связанных с линейными комбинациями стехиометрических уравнений и с нахождением ряда линейных и степенных функций. Определяются линейные пространства для множеств атомов, молекул, реакций и дается описание мето- [c.2]

Те или иные классы или гомологические ряды молекул, выделяемые при классификации в химии, не образуют сами по себе в общем случае отдельных линейных пространств или подпространств. Молекулы ряда лежат в некотором пространстве, натягивающемся на векторы этих молекул. Однако это пространство существенно шире и включает множество элементов, не соответствующих векторам молекул гомологического ряда. Такое положение связано с тем, что числа атомов в молекулах ряда связаны не только условием быть целыми, но и одним или несколькими дополнительными соотношениями. Например, гомологический ряд предельных углеводородов С Н2 +2 ограничивается в векторном представлении ( , /) (1 — число атомов Н / — число атомов С) условием [c.162]

Теорема о представлении вектора через базис. Если множество векторов е, , г = 1,..., и - базис в п-мерном линейном пространстве, то любой вектор х выражается единственным образом как линейная комбинация базиса этого пространства, т. е. [c.317]

Поясним, какие следствия можно, в частности, извлечь из подобных спектральных представлений (0.5) подобные следствия изложены в гл. 4. (Предварительно заметим, что все сказанное справедливо и для нормальных коммутирующих операторов, при этом IR заменяется на С .) Пусть, например, операторы А ограничены и при различных X X связаны определенным образом. Например, X — коммутативная группа и Ах+у = А Ау (х, у X) или X — линейное пространство [c.204]

X Э X >- реализует представление того или иного алгебраического объекта группы, линейного пространства, алгебры и т. п. Более того, связи могут быть менее традиционными, например X = и А Ау = [c.205]

В 1 рассматриваются подобные представления в случае, когда X — коммутативные группа, полугруппа, алгебра или линейное пространство. В этой главе мы не будем обсуждать важные связи полученных спектральных представлений с теорией положительно определенных функций, проблемой моментов и т. п.— это будет сделано в гл. 5. [c.305]

Геометрическое подобие. Простейшее представление о геометрическом подобии двух фигур известно из геометрии. Если рассматривать линейные размеры фигуры не только как скалярные величины, но и как имеющие определенное направление, то подобные фигуры должны быть так расположены в пространстве, чтобы их аналогичные размеры были параллельны друг другу. [c.121]

Рассмотрим электрон, расположенный на МО нейтральной молекулы, в тот момент времени, когда он находится вблизи ядра некоторого атома т. В этой области пространства потенциальное поле создается, в основном, ядром атома тп и находящимися вблизи электронами. Поскольку молекула в целом нейтральна, притяжение между рассматриваемым электроном и каким-либо другим ядром п приблизительно компенсируется отталкиванием между рассматриваемым электроном и электронами, находящимися вблизи ядра п. Значит, вблизи ядра движение электрона будет приближенно таким же, как и в отсутствие остальных атомов. Поэтому в орбитальном приближении МО вблизи ядра тп должна быть похожа на одну из АО этого атома. Поскольку АО имеют существенные значения только вблизи своих ядер, можно приблизительно представить МО Фi в виде линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО) отдельных атомов. Такое представление Ф получило название приближения МО ЛКАО. [c.106]

Из соотношений ортогональности (2.7) следует, что число таких векторов равно сумме квадратов размерностей неприводимых представлений. Известно, однако, что в пространстве размерности Л существует ровно Н линейно независимых ортогональных векторов. Отсюда следует, что сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы [c.26]

Размерность матриц, представления равна кратности вырождения уровня энергии и числу линейно независимых вырожденных волновых функций. Кроме того, закон преобразования волновых функций под действием преобразований пространства — элементов данной группы симметрии — легко определяется с помощью матриц неприводимых представлений по формуле (2.14). [c.32]

Что касается измерителей то измеримые величины системы являются отображениями вида П = где — линейный функционал в пространстве С(. ) всех непрерывных функций на У. Согласно теореме представлений Риса в функциональном анализе, каждый линейный функционал в С(.У) может быть представлен интегралом Стилтьеса от некоторой функции а ограниченной вариации. Следовательно, можно альтернативно постулировать, что данному ферменту соответствует функция а ограниченной ва- [c.510]

Пусть теперь задано линейное векторное пространство 91 размерности пг, на котором определено представление Г. В этом пространстве имеется ортонормированный базис из векторов, которые будем записывать в виде строки (е,, е2,...,е ), тогда как произвольный вектор х есть произведение этой строки на столбец из проекций вектора х на базисные векторы [c.201]

Полная энергия молекулы состоит из потенциальной и кинетической энергий составляющих ее ядер и электронов. Потенциальная энергия, под влиянием которой ядра совершают свои колебания, равна сумме кулоновской энергии ядер и энергии электронов. Поскольку энергии основного и возбужденных электронных состояний различаются, каждое состояние имеет свою собственную поверхность потенциальной энергии. Обычно нас интересует поверхность с низшей потенциальной энергией, что соответствует основному состоянию молекулы, В молекуле, содержащей N атомов, имеется 2N - 6 степеней свободы (ЗМ - 5 для линейной молекулы). В (ЗЛ/ - 5)-мерном пространстве потенциальная энергия может быть представлена гиперповерхностью размерности ЗМ — 6. Естественно, реальное представление такой поверхности невозможно в силу ограниченности нашего действительного пространства. [c.315]

Как видно из электронного строения хлора, его валентность (один неспаренный электрон) соответствует его структурной формуле, поэтому его выражают графически в виде симметричной гантели (восьмерки), в противоположность бериллию. Бериллий здесь должен быть представлен в виде двух гибридных облаков (несимметричные гантели зр-гибридизация), имеющих линейную направленность (установлено экспериментально). Ниже приводим перекрывание облаков и геометрическое строение в пространстве молекулы ВеСЬ [c.13]

График, отражающий указанное линейное соотношение, представлен на рис. 4.24, из которого видно, что существуют две области пространства, разделяющие изученные лиганды. Более отрицательные значения и относятся к 18-краун-б, а более положительные - к Р-ЦД. Кроме того, видно, что точки, относящиеся к одинаковым АК, но разным лигандам, находятся в диаметрально противоположных концах графика (L-Phe и L-His). Для обсуждения данных особенностей необходимо подробнее остановиться на природе энтальпийно-энтро-пийной компенсации. [c.247]

В упрощенном виде механизм эксклюзионной хроматографии может быть представлен следующим образом. Неподвижная фаза — пористый материал, причем средний размер пор сопоставим с размерами молекул разделяемых веществ. Молекулы смеси в колонке, заполненной таким материалом, будут вести себя по-разному, в зависимости от размеров. Наиболее крупные молекулы, не способные диффундировать внутрь пор неподвижной фазы, могут находиться только в пространстве между частицами и, следовательно, их удерживаемый объем будет равен объему колонки минус суммарный объем частиц неподвижной фазы (Ко). Молекулы, размеры которых меньше наиболее мелких пор сорбента, способны диффундировать внутрь частиц, поэтому удерживаются в колонке дольше, чем более крупные молекулы. Объем их элюирования равен полному объему растворителя в колонке, т. е. сумме объема пор и объема между частицами (К/). Молекулы промежуточных размеров, для которых доступна та или иная доля пор сорбента, будут выходить из колонки между объемами Уо и I//. Если ввести в колонку смесь веществ с известными и в достаточной степени различающимися молекулярными массами, из хроматограммы можно получить калибровочную кривую, подобную изображенной на рис. 111.40. Следовательно основная сфера применения эксклюзионной хроматографии — фракционирование смесей в соответствии с их молекулярными массами. Калибровочная кривая эксклюзионной хроматографии в своей средней части содержит линейный участок, в котором разделяющая способность колонки и точность измерений максимальны. Эта линейная часть обычно охватывает примерно два порядка молекулярных масс. Рабочий диапазон эксклюзионной колонки зависит от размера пор и смещается в область больших масс при увеличении среднего размера пор сорбента. Поэтому для работы в широком диапазоне масс обычно последовательно соединяют две или более колонок, различающихся по размеру пор. [c.333]

Наиболее мелкие поры, или микропоры, линейные размеры которых соизмеримы с размерами адсорбируемых молекул. Эффективные радиусы микропор обычно существенно меньше 15 А. Как уже отмечалось, для заполнения микропор характерен объемный механизм представления о послойном заполнении и о поверхности микропор теряют физический смысл [5—8]. Параметрами микропористой структуры являются константы уравнения адсорбции теории объемного заполнения микропор предельный объем адсорбционного пространства или объем микропор и константа В, связанная с размерами микропор, имеющими определяющее значение для адсорбции. [c.253]

Особенно просто эта программа может быть выполнена для случая равновесия между газовой фазой и микропористым адсорбентом. Для таких систем мы можем приближенно рассматривать вещество в объеме адсорбционного пространства как трехмерную фазу, находящуюся под действием адсорбционного ноля и поэтому отличающуюся по своим свойствам от нормальной объемной фазы адсорбата. Как будет показано ниже, исходя из представления об объемном заполнении адсорбционного пространства микропористого адсорбента и положив в основу факт линейности изостер, возможно определить по одной изотерме адсорбции наклоны изостер и, следовательно, основные термодинамические характеристики адсорбционного равновесия, т. е. дифференциальные теплоты и дифференциальные энтропии адсорбции как для области больших заполнений, так и для области малых заполнений адсорбционного объема. Идя этим путем, удается показать, что изотерма адсорбции (во всяком случае для микропористых адсорбентов) содержит гораздо больший объ- [c.387]

Описание явлений, происходящих при больших энергиях, должно базироваться на релятивистских волновых уравнениях, т. е. на уравнениях, инвариантных относительно преобразования Лоренца. Переход от нерелятивистского описания к релятивистскому связан с необходимостью пересмотра ряда понятий нерелятивистской квантовой теории. Прежде всего требует изменения понятие координаты отдельной частицы. Нерелятивистская квантовая механика допускает возможность как угодно точной локализации частицы в пространстве и времени. В релятивистской квантовой механике одной частицы невозможна локализация частицы в пространстве, линейные размеры которого меньше Ь1 Атс), где т — масса покоящейся частицы, так как в противном случае в силу соотношения неопределенностей ( 13) частице будет сообщаться энергия р 1 2т) > 2тс , которая достаточна для образования пары частиц. Таким образом, представление об одной частице можно сохранить только при отсутствии внешних воздействий, приводящих к локализации частицы в пространстве, линейные размеры которого меньше комптоновской длины волны (Ь/ тс)) соответствующей частицы. Для предельно релятивистских частиц — световых квантов (т. = О, ц = с) — понятие координаты частицы в обычном смысле полностью отсутствует. [c.235]

Вклад -орбиталей в гибридные р-орбитали, или процент -характера, можно рассчитать результаты таких расчетов приведены в табл. 2. На основе представления о -характере металлической связи сделано много корреляций, связанных с адсорбционными и каталитическими свойствами переходных металлов. Согласно орбитальной модели, процент -характера, по-видимому, отражает линейную протяженность в пространстве гибридной р-орбитали. Описание структуры металлов и металлической связи в свете представлений метода валентных связей см. также в статье Альтмана и др. [10]. [c.17]

Для объяснения этого была выдвинута новая идея — представление о гибридизации. Волновые функции, описывающие 5- и р-орбиты, получаются в результате решения дифференциального уравнения в частных производных, а из математики известно, что любая линейная комбинация таких решений также является решением уравнения. [Выражение 7 (х + Зу -Ь 7) + 5 (2х + у 9) является линейной комбинацией функций (х + Зу 4- 7) и (2х -Ь у -Ь 9).] Другими словами, набор решений не является единственным. Для изолированного атома наиболее удобным рядом решений является такой, при котором электроны описываются 5- и р-функциями, но когда речь идет об образовании ковалентных связей, наиболее подходящим набором решений может оказаться другой. Один из возможных наборов волновых функций можно построить, взяв линейные комбинации 5- и р-функций для данного квантового уровня. Такой набор будет соответствовать четырем орбитам, совершенно эквивалентным друг другу и симметрично ориентированным в пространстве к четырем вершинам тетраэдра. (Естественно, что число отдельных смешанных орбит, возникающих при таком составлении линейных комбинаций, должно быть равно числу используемых исходных орбит.) Каждая из этих орбит включает частично 5- и р-орбиты, так что они называются 5р -гибридными орбитами . Электроны в молекуле метана могут находиться на з- и р-орбитах, или зр -гиб-ридных орбитах, или на орбитах какого-либо другого [c.106]

Молекулы и ионы с двойными и тройными связями также могут быть рассмотрены в рамках этих представлений, если предположить, что все обобществленные пары кратной связи расположены в одном и том же направлении в пространстве. Тогда необходимо только сосчитать число связей и число неподеленных пар вокруг центрального атома. Плодотворность таких рассуждений можно продемонстрировать на примерах некоторых трех- и четырехатомных молекул. Атомы углерода в двуокиси углерода и синильной кислоте, 0=С=0 и —С=Н, не имеют неподеленных пар, так что эти молекулы должны быть линейными. В отличие от этого в двуокиси серы и нитро-зилхлориде каждый центральный атом имеет неподелен-цую пару, занимающую одну из вершин равностороннего треугольника. Поэтому обе эти молекулы должны быть угловыми [c.114]

В четвертой главе изложены некоторые приложения проекционной спектральж.й теоремы. В 1 этой главы рассматривается ситуация, когда данное семейство комм -тнрующих операторов осуществляет представление некоторой алгебраической структуры (группы, полугруппы, линейного пространства и т, п.). В этом случае проекционная спектральная теорема позволяет получить спектральные представления для операторов семейства В качестве типичного примера упомянем об аналоге теоремы Стоуна для унитарного представления вещественного гильбертова пространства, который доказан в этом параграфе. В 2 рассматриваются семейства коммутирующих [c.9]

Если семейство коммутирующих нормальных операторов А = = (Ах)хел произвольно, то его совместным р. е. может служить произвольное р. е. Е на (С . Однако если между операторами А имеются алгебраические связи, то р. е. В уже не будет произвольным — оно будет сосредоточено на определенных множествах из (С . Ниже рассмотрим специальные случаи таких связей X — группа, полугруппа, алгебра (коммутативные) или линейное пространство, а А реализует представление этих структур. Иными словами, отображение X В х >- -> Ах должно быть таким, чтобы алгебраические операции в X переводились в соответствующие операции над операторами Ах (например, Ах+у = АхАу в случае группы). Для простоты формулировок будем часто пользоваться схемой с ядерным оснащением. [c.306]

Теорема 1.5. Пусть X — линейное пространство, X х Ах — его ядерное представление коммутируюищми нормальными операторами. Тогда справедливо предсттление в виде спектрального интеграла [c.322]

Предельный переход при стремлении к нулю параметра разбиения по пространству (линейному размеру, площади поверхности или объему области) позволяет перейти от конечно-разностной формы топологического изображения системы к новой форме представления структуры ФХС, основанной на так называемых инфи-нитезималъных операторных элементах [191. Термин инфини-тезимальный подчеркивает тот факт, что диаграммный элемент получается в результате предельного перехода при стремлении к нулю параметра разбиения по пространству и соответствует бесконечно малому преобразованию точек сплошной среды. [c.56]

Подпространство конфигурации, образованное одной канонической цепочкой, назьшают уровнем. Вся конфигурация в представлении /Л/у разлагается, таким образом, в прямую сумму уровней. Важно понять, чем, в силу принципа Паули, задача такого разложения отличается от задачи сложения моментов (см. гл. 1, 2). Оператор момента количества движения Л действует в пределах заданной конфигурации, в то время как суммарный момент количества движения действует в прямом произведении пространств, в которых определены слагаемые моменты. Это разные пространства. Так, прямое произведение оболочек (пр) ф (п р) при п Ф п, определенное как совокупность линейных комбинаций функ-п рт вообще не содержит ни одной антисимметричной функции, а следовательно, ни одной функции конфигурации прпр. Если же л = п, то пространство (пр) (пр) содержит как функ- [c.129]

Равноконтрастными колориметрическими системами называют такие, в которых между визуально наблюдаемым различием в цвете и расстоянием между точками в цветовом пространстве существует линейная зависимость. Не каждая колориметрическая система пространственного представления цветов удовлетворяет этому требованию и может быть использована для определения АЕ. Не удовлетворяет вышесформулированно-му принципу и цветовое пространство международной колориметрической системы, основанной на цветах XYZ. В настоящее время разработано несколько равноконтрастных колориметрических систем. В СССР принята система Шкловера расчет АЯ при этом проводится по формуле ВНИСИ (ГОСТ 18 055—72). [c.232]

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Точные аналитические решения уравнения (25,1) могут быть найдены только для некоторых видов оператора потенциальной энергии, который в координатном представлении изображается функцией от координат частицы. Простейшие решения относятся к системам, в которых потенциальная энергия постоянна во всем пространстве (свободное движение) либо имеет разные постоянные значения в отдельных областях пространсгва, переходя скачком от одного значения к другому на поверхностях, разделяющих такие области. На поверхностях разрыва потенциала волновая функция должна быть непрерывной, чтобы плотность вероятности была непрерывна. Если энергия частицы ограничена и скачок потенциальной энергии на поверхности разрыва конечный, то из (25,1) следует необходимость непрерывности grad на поверхности разрыва. Итак, граничные условия на поверхностях а с конечным скачком потенциала сводятся к требованию [c.108]

Кроме того, что такой подход дает возможное объяснение волокнистой кристаллизации, он позволяет получить также некоторое представление о том, как происходит разветвление волокон под малыми углами. Главной особенностью такого режима кристаллизации, который приводит к ячеистой структуре металлов и, как считают, обусловливает рост волокон в сферолитах, является то, что выступы на поверхности растущего кристалла устойчивы, по-видимому, тш1ько в том случае, если они имеют размеры того же порядка, что и б. Те из них, которые имеют меньший размер, исчезают, а те, которые имеют больший размер, расщепляются на ряд меньших. Следовательно, если линейные размеры мозаичных блоков в субструктуре растущего волокна почти равны по величине б, т. е. если они приближаются к размерам поперечного сечения волокна, то существует вероятность того, что некоторые из них вблизи конца волокна будут способны инициировать рост устойчивых ответвлений. В соответствии с относительной случайностью взаимного расположения индивидуальных мозаичных блоков каждое разветвление должно иметь кристаллографическую ориентацию, несколько отличающуюся от ориентации других разветвлений и от средней ориентации родительского волокна те разветвления, для роста которых имеется достаточное пространство, будут давать ветви, образующие небольшие углы (до нескольких градусов) с родительским волокном. С этой точки зрения волокнистая кристаллизация должна неизбежно сопровождаться разветвлениями под малыми углами, если волокна являются достаточно тонкими — диаметром по крайней мере около 1 мк или меньше. Таким образом, рассмотренные свойства расплавов оказываются благоприятными для такого режима кристаллизации, что первичные зародыши начинают давать фибриллы сразу, как только они вырастают до размеров, близких к величине б, причем образующиеся тонкие волокна проявляют склонность к разветвлениям под малыми углами. Как мы видели раньше, этого достаточно, чтобы при кристаллизации получались сферолиты. [c.465]

Полости для вмещения молекул- гостей в тригидрате хлорида гексаметилизоцианжелеза(П), [Ре(СКСНз)в)С12 ЗН2О образуются комплексными ионами, т. е. они как бы несут ответственность за образование клатратного соединения. Этот катион является октаэдрическим, причем его геометрическая форма обусловлена расположением групп Ре—СК—СН3 [22]. В этом соединении атомы Ге—СК—С образуют почти линейную группу с небольшим отклонением атома углерода метильной группы от прямой. Этот комплексный катион может быть представлен в виде октаэдра, который поставлен на треугольную грань и слегка приплюснут, так что связи, соединяющие центральный атом железа с группами СК—СНд и направленные вверх и вниз, смещены на несколько градусов. Тригональная симметрия сохраняется, и вершина, и основание каждой грани октаэдра образованы треугольниками из метильных групп. Если эти ионы упакованы настолько плотно, насколько возможно при гексагональном строении, то метильные группы одного октаэдра находятся в контакте с близлежащими метильными группами, расположенными в одной плоскости, и с метильными группами ионов, расположенными в подобных плоскостях непосредственно выше и ниже первых. Расположенные выше и ниже метильные группы проникают (насколько это возможно) между ветвями комплексных ионов. Эта вероятно наиболее плотная упаковка катионов занимает пространство, равное объему целой элементарной ячейки, [c.423]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология