Аттракторы

Мы лишь вкратце покажем, как эта теория связана с квантовой механикой и как такая связь позволяет дать определение средних значений атомных свойств. Атом является открытой квантовой системой, допускающей обмен зарядом и импульсом с соседними атомами. Такие системы можно описать, распространив вариацию квантовых интегралов действия на открытую систему. Следствием определения атома как объединения аттрактора и его бассейна является то, что атом ограничен поверхностью S(r), поток Vp(r, X) через которую локально равен нулю [c.63]

О, которое сводится к точке покоя д при 6 = 0. Однако поведение при возмущении может быть соверщенно отличным, если система (22) имеет устойчивое периодическое решение у(() для 5 = 0. Это решение генерирует притягивающий инвариантный цилиндр Mq в ( f - / )-пространстве и (как результат определения последовательных интервалов времени величины Г) притягивающий инвариантный тор Т1. Известно, что при малой величине 5 существует инвариантная поверхность около так как Tq имеет гиперболическую структуру. Однако, когда амплитуда возмущающей функции достаточно большая, инвариантный тор может утратить гладкость и выродиться в странный аттрактор. Это происходит, например, в случае уравнения Ван-дер-Поля с периодической вынуждающей силой. [c.345]

Отсутствие глобального притяжения обычно означает присутствие других аттракторов, таких, как предельные циклы (колебания) или хаотические аттракторы. [c.389]

В последних случаях наличие других аттракторов может быть установлено с помощью функций, подобных функции Ляпунова это может быть использовано для демонстрации того, что динамика остается в пределах конечных областей динамического пространства. Сейчас для этой цели разрабатываются функции АПЛ. [c.389]

Показано, что при наличии в технологической схеме рецикла в системе появляется сгранный аттрактор. [c.37]

Согласно чисто эмпирическому правилу, хаотические режимы, порождаемые при модельном описании обыкновенными дифференциальными уравнениями (как, например, в химических реакторах с хорошим перемешиванием) , склонны к низкому порядку (самое большое п — 2, если п — число переменных), тогда как режимы, порождаемые дифференциальными уравнениями в частных производных (трубка тлеющего разряда, или неоновая трубка, соединенная с затемнителем, или химический осциллятор без перемешивания), стремятся к очень высокому порядку. Использование отображения последовательных амплитуд [4] может послужить простым средством для решения вопроса, является ли аттрактор сильно притягивающим. Экстремум последовательности амплитуд на некото- [c.407]

СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЯХ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ [c.415]

Построено двумерное отображение для периодически возмущенного осциллятора, представленного линейной периодической передаточной функцией с отрицательным угловым коэффициентом. Итерирование отображения при малой интенсивности возмущения и изменения частоты обнаруживают регулярную структуру окон с малым целочисленным периодом колебаний. В больщинстве окон существуют две различные моды колебаний, иногда с разными периодами. При увеличении интенсивности возмущения все окна фрагментируются в результате бифуркаций удвоения периода, вне окон существует странный аттрактор. [c.415]

Потеря устойчивости, таким образом, характеризуется переходом системы от области притяжения одного аттрактора к другому. Термин бифуркация в наиболее значимом его смысле, — пишет [c.175]

Э. Ласло, — относится к переходу системы от динамического режима одного набора аттракторов, обычно более устойчивых и простых, к динамическому режиму набора более сложных аттракторов [174]. [c.175]

Формирование научного мировоззрения. Историческое развитие научного мышления - это хронологический порядок познания естественных законов и все более глубокое проникновение в суть структурной организации природы. Данное обстоятельство делает развитие научного мышления объективным и, казалось бы, четко предопределенным в отношении направленности и конечной цели процессом познания. Этот процесс имеет также свою структурную организацию, которая с течением времени совершенствуется и приближается к структурной организации своего оригинального источника - природы, являющейся, таким образом, для процесса познания аттрактором. [c.24]

Далее, будем считать, что на протяжении всего процесса структурной самоорганизации белка наша система не обменивается с окружающим пространством ни энергией, ни веществом, т.е. принадлежит к замкнутому типу систем. Исходим из того, что в начальный момент белковая молекула находится в состоянии флуктуирующего клубка. Аттрактором спонтанно возникающего изотермо-изобарического процесса свертывания белковой цепи является равновесное состояние, в котором белок приобретает [c.94]

У —[Ь (г — 1)] /, 2 -V г — 1 при i оо начинается конвективное движение жидкости, возникают стационарные ячейки Бенара (рис. 7.16, б). Наконец, при а>Ь-1-1иг>а(а + + > 4- 3)/(о -Ь 1 — Ь) решение не выходит ни на стационарный, ни на периодический режим. Такое решение показано на рис. 7.16, Ь. Таким образом, система из трех уравнений (7.20) описывает стохастические процессы без введения каких-либо флюктуирующих сил. Решение, показанное на рис. 7.16, Ь называют странным аттрактором. Аттракторы — это множество значений, на которые система выходит при оо. Поскольку до модели Лоренца аттракторы обычно представляли как множество изолированных особых точек или замкнутых кривых на фазовой плоскос- [c.321]

РАЗРАБОТ1СА ПРИНЦИПОВ СОЗДАНИЯ ЭНЕРГОРЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА, МЕТОДОВ СИНЕРГЕТИКИ, НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ, ГИБКОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ (Колебания в режиме странного аттрактора в реакторе с рециклом в процессе получения экстракционной фосфорной кислоты) [c.37]

При расчете процесса разложения апатита по второй технологической схеме с рециклом получили, что фазовые траектории лежа на странном аттракторе. На рис. 2 приведены фазовая траектория решения системы уравнений математической модели процесса получения ЭФК в десятисекционном экстракторе. Глобальный фазовый портрет второй технологической схемы напоминает странный аттрактор Лоренца. Видно, что фазовая траектория имеет два неустойчивых предельных цикла. Фазовые траектории, начинающиеся справа, накручиваются на правый предельный цикл, затем через некоторое время, осуществляя автоколебания, сдвигаются влево и накручиваются на левый предельный цикл. Через некоторое время начинается сдвиг вправо, и траектория вновь накручивается на правый предельный цикл и т. д. Наличие рецикла приводит к наложению на собственные автоколебания системы за счет обратной связи между механизмами разложения апатита и кристаллизации дигидрита сульфата кальция еще и колебаний, связанных с наличием цикла в экстракторе. Механизм колебаний за счет обратной связи по кинетике процесса был описан выше. Когда система, пройдя левый предельный циют, стремиться выйти на устойчивое положение - отрицательный режим по SO3, рецикл дает повышение концентрации SO3, что заставляет систему двигаться вправо, накручиваясь на правый предельный цикл. Затем система, проходя через правый предельный цикл, за счет образования пленки стремится ко второму устойчивому состоянию - повышению концентрации SO3 и понижению концентрации СаО, но рецикл приводит к понижению концентрации SO3, и фазовая траектория сдвигается влево. Было рассчитано, что странный аттрактор наблюдается при времени цикла в интервале 30-60 мин. При этом увеличение рецикла (время цикла менее 30 мин) приводит к уменьшению расстояния между предельными циклами, а уменьшение рецикла (время цикла более 60 мин) приводит к увеличению этого расстояния. Увеличение рецикла [c.44]

РИС. I. Вид векторного поля градиента р(г, X) в плоскости, содержащей четыре ядра атома бора и четыре ядра атома водорода в октаэдрической молекуле В Н . Каждая линия представляет собой траекторию, образуемую вектором У р, начинающимся из некоторой исходной точки. Критические точки связей бор—бор и бор—водород (3, - 1) отмечены темными кружками. Пространство, пересекаемое всеми траекториями, оканчивающимися у данного ядерного аттрактора (отмеченного крестиком), является бассейном этого аттрактора. Это свойство р(г, X) приводит к тому, что полное пространство системы полностью разбивается на атомные домены. Бассейны соседних атомов разделяются (в этой плоскости) парой траекторий, оканчивающихся у промежуточной критической точки (3, - 1). Они описывают взаимодействие межатомной поверхности с этой плоскостью. Пары траекторий, начинающихся у каждой критической точки (3, - 1) и заканчивающихся у соседнего ядра, определяют линию атомного взаимодействия или, что в этой ограниченной системе эквивалентно, связевый путь. Вследствие симметрии этой молекулы вид в этой единственной плоскости свидетельствует о том, что каждый атом бора связан с четырьмя другими атомами бора и с одним атомом водорода (см. рис. 6 — молекулярный граф для системы связей бор—бор). Центральной критической точкой является (3, + 3), т. е. критическая точка клетки . Это точка пересечения всех шести бассейнов атомов бора. Траектории Vp начинаются у этой точки и оканчиваются у любых ядерных аттракторов либо у критических точек связи или цикла (в этой.ппоскости не показаны). [c.55]

В реальных химических осцилляторах может возникать высший хаос — с более чем одним положительным значением характеристического показателя Ляпунова (т. е. более чем с одним направлением экспоненциальной дивергенции на аттракторе). Описан новый способ порождения высшего хаоса. Он представляет собой обобщение метода создания хаоса путем добавления еще одной переменной к осциллятору с предельным циклом (метод медленных переменных). Поскольку новая добавленная переменная является химически неэкзотической (не вводит в схему никаких новых стрелок регулирования скорости каталитических реакций) и, кроме того, ее положение не является очень критическим, весьма вероятно, что она предопределяется уже в любой конкретной хаосообразующей реакционной системе. [c.407]

Природа динамики, существующей в полосе, разделяющей два каскада бифуркаций (рис. 2, в), была изучена путем построения графика зависимости от sin (2irFi ) для фиксированных значений параметров. Результирующий график, показанный на рис. 4, имеет характеристики странных аттракторов , таких, как аттракторы двумерного отображения Хенона [14] и дифференциального уравнения Дуффинга (см. [15]). [c.420]

Понятие странного ( хаотического ) аттрактора (введенное Рюэлем и Таксисом) и вопрос о классификации странных аттракторов при использовании показателей Ляпунова рассмотрены в [16 ]. — Прим. перев. [c.420]

После того, как началось необратимое свертывание фрагментов графитовых листов (возникновение полирадикалов типа 62-64), образовавшиеся кластеры оказьшаются неплоскими, из-за чего возврат от них к графиту становится невозможным, по крайней мере без разрыва возникших связей С-С. Поэтому для дальнейших реакций этих кластеров остается только один, термодинамически допустимый канал — дальнейшее свертывание и образование замкнутых фуллереновых систем. Иначе говоря, конфликт с термодинамикой, состоящий в том, что для фуллеренов >0 (а для графита Д// = О по определению), разрешается тем, что после испарения графита его фрагменты (полирадикалы) уходят из горячей зоны в газовую фазу и там, будучи предоставлены сами себе, вне воздействия внешнего источника энергии, подвергаются необратимому (кинетический контроль) превращению в фуллерены, которых, разумеется, меньше, чем ЛЯ этой горячей полира-дикатьной плазмы (иначе говоря, в терминах синэргетики фуллерены в этой системе являются аттрактором). Нам представляется, что Крото имел в виду именно нечто подобное, но его подвело стремление к лаконизму, из-за которого формулировка гипотезы оказалась столь мало убедительной и внутренне противоречивой. Так или иначе очевидно, что исчерпывающая трактовка образования фуллеренов при испарении графита требует еще серьезных экспериментальных и теоретических исследований. [c.401]

Колебания физико-химических параметров, таких, как температура, концентрации компонентов реакции и т. д., соответствуют колебательным решениям динамических уравнений (дифференциальных уравнений рассматриваемых систем). Как указывалось выше, различные реакции характеризуются различными типами колебательных математических решений. Хорошо известные предельные циклы впервые были исследованы и названы так Пуанкаре сто лет назад. Другие математические )ешения, хотя и были сформулированы в общем виде Луанкаре, лишь недавно были исследованы и названы математиками. Так, аттракторы и точки взрыва в приложении к химическим реакциям были изучены намного лозднее, чем предельные циклы. [c.80]

Аттракторы. Некоторые из колебательных решений, в частности найденные для абстрактных моделей Росслера, представляют собой аттракторы, более того, они хаотичны. Эти математические решения интересны тем, что, вероятно, многие экспериментально наблюдаемые колебания имеют ту же природу. Можно теоретически описать реакции, если изучать математические модели, правильно отражающие их поведение. Такие хаотические аттракторы проиллюстрированы примерами, приведенными в разд. 3.9. [c.81]

Используя противоположный подход, заключающийся в том, что постановка эксперимента производится на основании рещения математической модели, Олсен и Дегн (80] показали, что абстрактные модели могут привести к пониманию колебательных химических реакций, для которых характерны не только колебания типа предельного цикла, но и хаотические колебания типа аттрактора. [c.82]

Другая точка зрения на моделирование перемежаемости может Ьыть основана на понятии о странных аттракторах. Проблеме странных аттракторов посвящен специальный сборник переводов Странные аттракторы под редакцией Синая и Шильникова [1981], а также обзоры Рабиновича [1978] и Монина [1978]. [c.29]

Основной результат, достигнутый в этой области, можно сформулировать следующим образом. Решения детерминированных систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с числом уравнений, равным или большим трех, часто оказываются плохо прогнозируемыми (и стохастическими с точки зрения экспериментатора) даже в том случае, когда решение существует и единственно и, следовательно, в лом решении не возникает никаких особенностей. Такая структура решений обусловлена тем, что каждая фазовая траектория неустойчива (т.е. с течением времени расстояние между двумя первоначально бли чими фазовыми траекториями экспоненциально растет). Множество фазовых траекторий (странный аттрактор) компактно в том смысле, что все его точки не выходят за пределы некоторого конечного фазового объема. Для неконсервативных систем фазовый объем (точнее, лебегова мера) равен нулю, подобно тому, как равен нулю объем турбулентной жидкости при Re OO. Распределение фазовых точек также напоминает распределение точек, принадлежащих турбулентной жидкости, в физическом пространстве. Связь между странными аттракторами и фракталями прослеживается вполне отчетливо (Мандельброт [1976 ). [c.29]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология