Интеграл Ито стохастический

В ряде случаев при моделировании сложных объектов химической технологии необходимо учитывать процессы как детерминированной, так и стохастической природы. При этом результирующее математическое описание объекта обычно представляется в форме интегро-дифференциальных уравнений. Например, такая форма уравнений характерна для уравнения баланса свойств ансамбля частиц дисперсной фазы в аппарате, где эффекты взаимодействия (дробления—коалесценции) задаются соответствующими интегралами взаимодействия в дифференциальном уравнении для многомерной функции распределения частиц по физико-химическим свойствам. Другим характерным примером интегро-диффе-ренциальной формы функционального оператора объекта может служить дифференциальное уравнение, описывающее процесс диффузии или теплопереноса, свернутое по временной координате с помощью функции распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате. [c.202]

Обычно кинетическое уравнение рассматривается для описания эволюции систем с малой плотностью частиц. В этом случае онО может быть выведено из микроскопических представлений (см. Приложение Б). Для систем с большой плотностью частиц, в которых каждая из частиц все время взаимодействует с другими частицами,, т. е. когда само понятие столкновение теряет смысл, вывод кинетического уравнения математически весьма сложен, поэтому кинетическое уравнение постулируется. Правой части кинетического уравнения, являюш ейся аналогом интеграла столкновений для системы частиц с ма лой плотностью, ча,сто можно придать относительно простой вид. Это удается сделать, например, если эволюции состояний системы может быть представлена как случайный, или стохастический процесс. [c.23]

Применительно к приложениям неисчерпаемое множество различных определений интеграла представляется весьма печальным следствием идеализации белый шум . Однако в действительности дело обстоит не так плохо, как это могло бы показаться. Хотя при любом выборе параметра а мы приходим к математически корректному определению стохастического интеграла (5.4), большинство из таких интегралов не обладают требуемыми свойствами и поэтому не могут быть выбраны за основу стохастического интегрального исчисления . По существу имеются только два разумных выбора параметра а а = 0 и = 1/2. При а = 1/2 сохраняются обычные правила интегрального исчисления, т. е. восстанавливается соотношение [c.120]

Единственное, что может вызывать определенное беспокойство при первом знакомстве с интегралом Ито — его неординарность . Мы уже упоминали о том, что интеграл Ито не подчиняется правилам обычного интегрального исчисления. Но, как уже говорилось, удобство правил — не более чем вопрос привычки. Для того чтобы объяснить основное правило интегрального исчисления Ито, заменяющее правило дифференцирования сложных функций в обычном математическом анализе, полезно ввести понятие стохастического дифференциала. Соотношение (5.37) можно записать кратко следующим образом [c.127]

Построенного выше слабого функционального интеграла вполне достаточно для изучения р-свойств потенциальных возмущений операторов вторичного квантования. Но для исследования более тонких вопросов нам будет необходимо представление действия полугруппы, которое получается с помощью конструируемого ниже сильного функционального интеграла. Для того чтобы провести соответствующее построение, нужно показать наличие у семейства стохастических ядер Уа ,х, X Ф, t > О, двух дополнительных свойств. [c.530]

После того как задача сформулирована таким образом, вопрос сводится к непротиворечивому определению стохастического интеграла Условимся для простоты пока рассматривать только случай непрерывно изменяюпдихся внешних параметров (именно этот случай занимает центральное место в нашей монографии). Тогда в каждый момент времени флуктуации будут нормально распределены. Такая часто встречающаяся разновидность белого шума называется гауссовским белым шумом. Естественно возникает вопрос в каком смысле величина, совершающая скачки между минус и плюс бесконечностью, может иметь гауссовское распределение На этот, а также на другие вопросы, возникающие в связи с необычными свойствами белого шума, мы дадим обстоятельный ответ в последующих главах, а пока ограничимся беглым изложением наиболее важных особенностей белого шума, чтобы читатель, не знакомый с этим понятием, мог прочувствовать его необычность. [c.39]

Разумеется, излишне говорить, что оба определения стохастического интеграла (Ито и Стратоновича) математически корректны [c.40]

И могут быть положены в основу непротиворечивого исчисления. Тем не менее неединственность определения стохастического интеграла для белого шума смутила и поставила в тупик не одного ученого. Мортенсен не без основания писал в 1969 г. [1.89, с. 272] Хотя этот сюжет [исчисления Ито и Стратоновича] за последние два года обсуждался в ряде работ, по прочтении некоторых из них количество неясных мест не уменьшается, а увеличиваете . Это замечание относится и к современной литературе по системам с шумом, быть может, даже в большей степени, чем прежде. Несмотря на четкие, тщательно продуманные работы Мортенсена и других авторов, всему кругу проблем по-прежнему недостает ясности. Не прекращаются попытки доказать неверность одного определения стохастического интеграла и установить другое как единственно законное и приемлемое в научных приложениях. Большинство возникающих недора уме. -ний обусловлено тем, что слишком многие исследователи, работающие в интересующей нас области, не сознают особую природу белого шума — объекта необычного, но зато и открывающего необычайные перспективы. Они упорно закрывают глаза на то, что белый шум является обобщенным случайным процессом с совершенно иными свойствами, чем обычный случайный процесс. Широко распространено и такое мнение, будто значительная часть связанных с белым шумом тонкостей представляет интерес лишь для математиков, ставящих превыше всего безупречную строгость изложения, и не имеет особого значения для практических приложений. Сторонники такого мнения оказываются в довольно затруднительном положении, когда рано или поздно выясняется, что те самые математические излишества , к которым они относились с такИхМ предубеждением, приводят к весьма ощутимым практическим следствиям. Именно такая ситуация наблюдается ныне в исследовании систем, мультипликативно связанных с флуктуирующей средой. Для того чтобы быстро рассеять все недоразумения, в действительности требуется лишь минимальный уровень математической строгости и надлежащие меры предосторожности при обращении с характерными особенностями белого шума. [c.41]

Б которых вычисляется значение подынтегрального выражения в интегральных суммах 5 . Неоднозначность в определении стохастического интеграла (по крайней мере для рассмотренного выше примера (5.4)) исчезает, если выбор точек зафиксирован раз и навсегда. Разумеется, сделать выбор нужно так, тобы стохастический интеграл обладал хорошими свойствами. Например, при [c.120]

Рассмотрим теперь другое определение стохастического интеграла, играющее заметную роль в специальной литературе,— определение, предложенное Стратоновичем. Привлекательность интеграла Ито обусловлена его замечательными математическими свойствами, в особенности тесной связью между СДУ Ито и диффузионными процессами. Успех интеграла Стратоновича объясняется тем, что он очень точно соответствует потребностям моделирования физических систем. Этот вопрос мы обсудим подробнее после того, как будет дано строгое определение интеграла Стратоновича, а пока лишь бегло очертим ситуацию. Интеграл Ито подразумевает, что между случайным процессом Х( и случайной силой / в тот же момент времени / нет никакой [c.134]

Как уже упоминалось, преимущество интеграла Стратоновича состоит в том, что он позволяет непосредственно моделировать корреляции между случайной средой и системой. В идеализации белый шум такого рода корреляции — след стохастической зависимости между состоянием системы и флуктуациями среды, когда у последних имеется ненулевое время корреляции. Действительно, Xt зависит от предыстории среды Xt = F[X + [c.138]

ЛИЧНЫХ от выбора Ито, возникает корреляция между процессом и внешним шумом. Выбор Стратоновича самым непосредственным образом моделирует физическую ситуацию, о чем, в частности, свидетельствует то, что только определение стохастического интеграла по Стратоновичу согласуется с привычными [c.139]

Кинетика гетерогенных процессов обмена в сложных случаях определяется скоростями протекания целого комплекса микро- и макроскопических процессов. При этом полное и точное математическое описание всех этих процессов приводит к громоздким системам дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, решение которых с необходимой точностью не всегда удается получить не только аналитически, но даже численными методами. Трудности полного математического описания кинетики гетерогенных процессов являются причиной широкого распространения методов формальной кинетики. Кинетические уравнения, в состав которых входят эмпирические константы, удовлетворительно описывают кинетику процессов, как правило, только для отдельных элементов общей поверхности межфазного контакта для отдельного зерна катализатора, для единичного элемента диспергированного адсорбента и т. д. С другой стороны, расчет технологических процессов требует анализа кинетики гетерогенного обмена для всей поверхности межфазного контакта с учетом реальных условий протекания процесса в конкретном аппарате или реакторе. Методам статистической макрокинетики, т. е. методам описания кинетики гетерогенных процессов в таких макроскопических условиях реальных аппаратов и реакторов, которые не могут быть описаны только детерминированными соотношениями и требуют использования статистических подходов, посвящена третья глава книги. В качестве гидродинамического введения к развиваемым в этой главе методам статистического описания и моделирования широкого класса процессов массопереноса в условиях интенсивного перемешивания рассматриваются некоторые результаты исследования двухфазной турбулентности в псевдоон<иженном слое, стохастический характер которой приводит к ряду типичных нелинейных эффектов, [c.10]

Кинетика гетерогенных процессов обмена в общем случае определяется скоростяхми протекания целого комплекса микро-и макроскопических процессов скоростями химических реакций, интенсивностью адсорбционно-десорбционных процессов, скоростью диффузии реагентов в гидродинамическом пограничном слое и т.д. Полное и точное математическое описание всех этих процессов приводит к громоздким системам дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, решение которых с необходимой точностью не всегда удается получить не только аналитически, но даже численными методами. Трудности полного математического описания кинетики гетерогенных процессов являются причиной широкого распространения методов формальной кинетики, в которой используются линейные или нелинейные кинетические дифференциальные уравнения, в состав которых входят константы, определяемые в результате обработки экспериментальных данных. Такие кинетические уравнения удовлетворительно описывают кинетику процессов обычно только для отдельных элементов общей поверхности межфазного контакта для отдельного зерна катализатора, для единичного элемента диспергированного адсорбента и т. д. С другой стороны, расчет технологических процессов требует анализа кинетики гетерогенного обмена для всей поверхности межфазного контакта, с учетом реальных условий протекания процесса в конкретном аппарате или реакторе. На практике в большинстве случаев условия протекания гетерогенного обмена неодинаковы в различных частях общей поверхности межфазного контакта и могут различным образом изменяться во времени. Причинами этого являются застойные зоны, флуктуации скоростей относительного движения фаз, пузыри и каналообразованне в реакторах с кипящим слоем и т. д. Таким образом, даже если в распоряжении исследователя имеется адекватное математическое описание кинетики процесса для отдельного элемента поверхности межфазного контакта, переход к описанию кинетики исследуемого процесса на всей поверхности межфазного контакта в условиях реального промышленного аппарата может оказаться достаточно сложным вследствие того, что многие физические процессы, влияющие на функционирование реальных аппаратов, имеют стохастическую природу. [c.197]

Форд исследовал отображения вплоть до Е = Ь6 ООО и всегда получал гладкие кривые на ( / )-плоскости без признаков стохастического поведения. Это показывает, что траектории лежат на гладких поверхностях. В данном случав расстояние (1.2.9) в фазовом просаранстве имело в среднем линейную временную зависимость. То же самое было показано для циклической цепочки из шести частиц с экспоненциальным взаимодействием. Таким образом, вычислительная работа щрямо указывала, что цепочка с экспоненциальным взаимодействием интегрируема. Другими словами, она допускает так называемый третий интеграл помимо интегралов импульса и энергии. [c.58]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология