Макроскопические граничные условия

Уравнение (14) является точным, но для получения макроскопического граничного условия (2) надо ввести теперь подходящие приближения. Внутри объемной фазы [где (14) также справедливо] в этом месте анализа обычно разлагают подынтегральное выражение в обеих частях (14) в ряд Тэйлора по степеням х, у, г около средней точки рассматриваемого объема. Однако, когда мы имеем дело с межфазной областью, это выполнимо не полностью поскольку, как мы уже отмечали, локаль- [c.48]

Уравнения (32) и (33) справедливы при произвольном положении математической поверхности г = 0. Интегралы у, Г, т) и к меняются при каждом выборе разделяющей поверхности так, чтобы уравнения (32) и (33) оставались справедливыми. Таким образом, выбор положения этой поверхности — исключительно вопрос удобства следуя Гиббсу, мы хотим выбрать ее так, чтобы упростить вид макроскопических граничных условий. При таком выборе существенно руководствоваться тем, чтобы плоскость 2 = 0 проходила через зону максимальной анизотропии межфазной поверхности и А2 могла быть выбрана маленькой (А2 10 ч-10 см), а величины О (Аг) в уравнениях (32) и (33) были пренебрежимо малыми. Такой выбор должен также помочь интерпретировать величины типа [c.56]

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ [c.57]

Анализ макроскопических граничных условий [c.111]

О течении газа вблизи зеркально отражающей поверхности. Анализ макроскопических граничных условий, проведенный выше, ставит вид граничного условия на поверхности тела в непосредственную зависимость от физических условий взаимодействия молекул газа с поверхностью, что может иметь существенное практическое значение. Например, в области = 1 сила сопротивления, испытываемая телом из-за проскальзывания, должна быть значительно меньше, чем в области ga 1. Поэтому представляет определенный теоретический интерес рассмотреть течение газа около тела с гипотетической зеркальной поверхностью при а = 0. [c.117]

Можно показать, что этот результат будет верен не только для объема куба, но и для любого объема V другой формы, т. е. при макроскопических размерах кристалла граничные условия не влияют на функцию распределения частот. [c.75]

При постоянной температуре теплоносителя Тс распределение концентраций реагентов и температуры по длине реактора определяется решением системы уравнений ( 111.38), ( 111.39) с граничными условиями СДО) = С, д, Т (О) = Т , заданными на входе аппарата, т. е. решением задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Известно, что в случае, когда правые части уравнений зависят от переменных непрерывным образом, задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений всегда имеет единственное решение (см., например, [2]). Более того, это решение всегда устойчиво, так как в реакторе идеального вытеснения возмущение стационарного режима в некотором сечении реактора не влияет на реагирующую смесь в соседних сечениях и любое бесконечно малое возмущение вымывается из реактора за конечное время, не успевая разрастись до макроскопических размеров. Таким образом, всегда имеется единственный устойчивый стационарный режим реактора идеального вытеснения. [c.336]

В настоящее время разработано достаточное количество моделей коалесценции капли у поверхности раздела фаз жидкость— жидкость. Уравнения моделей выводятся на основе макроскопических балансов массы, силы и энергии и уравнений изменения микроскопических объемов жидкости и изменения поверхностей раздела фаз. Граничные условия и выражения для потока вместе с уравнениями состояния позволяют замкнуть систему уравнений для данной физической ситуации. Однако обобщенная полная система уравнений сложна для решения. Поэтому использование аппроксимирующих решений различной точности является наиболее распространенным методом. К сравнительно простым моделям можно отнести модели жесткой капли и жесткой поверхности раздела [32] и модели с учетом деформации капли и поверхности раздела с образованием углубления в центре капли [33, 34]. В [351 показано, что модели коалесценции, основанные на представлении однородной пленки, отделяющей каплю от поверхности, приводят к степенной зависимости времени коалесценции капли, пропорциональной пятой степени эквивалентного диаметра. Эти модели отрицают влияние разности давлений, возникающих вследствие искривления пленки, и поэтому дают завышенные значения показателя степени. [c.290]

При условии замкнутости система может переходить из одного состояния в другое только посредством упругих столкновений частиц. Поскольку мы не рассматриваем конфигурационное пространство, временное поведение системы не является детерминированным, последовательность переходов системы из одного состояния в другое — случайный процесс, а сами эти состояния образуют марковскую цепь. Вероятности переходов между различными состояниями не зависят от времени и полностью определяются набором скоростей всех частиц. Чтобы получить возможность описания макроскопических систем, нужно было бы положить N равным примерно числу Авогадро. Ввиду ограниченных возможностей современных ЭВМ воспользуемся несколько модифицированным методом периодических граничных условий. При описании системы набором скоростей всех частиц он сводится к разбиению бесконечной системы частиц на Л/групп таким образом, что скорости всех частиц в каждой группе близки по величине и направлению друг к другу. В каждой группе выделяется "типичная" частица и считается, что остальные частицы в группе ведут себя аналогично этой частице. Таким образом, если п — физическая концентрация частиц, величина л/Л/будет соответствовать концентрации каждой из N "типичных" частиц. Отметим, что частицы системы могут быть разного сорта — а, (3.....Т, но при [c.202]

Решение подобных задач даже при известных граничных условиях связано с фундаментальными исследованиями, как правило, осуществляемыми на стыке различных наук. Важное значение приобретает экспериментальное обнаружение взаимосвязи между макроскопическими и микроскопическими свойствами сложных объектов, к числу которых принадлежат нефтяные дисперсные системы. [c.174]

Таким образом, поверхностные эффекты исключаются, и на сравнительно небольшой ячейке удается моделировать свойства макроскопической системы. Конечно, размеры основной ячейки не должны быть слишком малыми, чтобы периодические граничные условия не исказили результатов. [c.206]

Определим спектральную функцию g (V) для случая упругих колебаний непрерывной изотропной среды. Показано, что при макроскопических размерах кристалла граничные условия не влияют на спектральную функцию. Можем принять, что кристалл является кубом с неподвижными стенками (длина ребра I, объем куба V = 1 ). В результате отражения упругих волн от неподвижных стенок в упругой среде устанавливается система стоячих волн. [c.325]

Давление Др и общая сила, сжимающая поверхности пленки Р = л.г Ар могут иметь различную природу в зависимости от типа пленок (жидкие прослойки между твердыми поверхностями, смачивающие пленки на твердых подложках, свободные симметричные пенные и эмульсионные пленки и др.), от характера граничных условий в области соприкосновения пленки с макроскопической фазой, а также от степени отклонения от равновесности. Так, во всех упомянутых случаях большую или меньшую роль играет расклинивающее давление П для тонких пленок, удаленных от состояния термодинамического равновесия, величина Ар может практически целиком определяться значением П. Для систем с легкоподвижными границами раздела между дисперсной фазой и дисперсионной средой роль Ар может играть капиллярное давление, особенно существенное для сравнительно толстых пленок и для тонких пленок, приближающихся к состоянию термодинамического равновесия. Сближение твердых частиц, разделенных прослойкой среды, может происходить под действием внешней силы f, например силы тяжести. [c.255]

Важность термодинамических и гидродинамических методов как раз и заключается в том, что они дают нам упрощенное описание или упрощенный язык , для описания макроскопических систем. Во многих случаях, представляющих интерес, такого упрощенного описания оказывается вполне достаточно. Например, для определения изменения температуры в некотором куске металла достаточно решить уравнение Фурье с соответствующими начальными и граничными условиями. Так как температура в каждой точке — результат усреднения по большому числу молекул, согласие между результатом решения уравнения Фурье и экспериментом означает, что более детальное описание в терминах механических величин излишне. Анализ взаимосвязи между механическим и макроскопическим описанием не является целью данной книги. Такой анализ может быть проведен только с помощью статистической механики системы многих частиц. Мы же будем иметь дело исключительно с макроскопическими методами. [c.7]

Следует отметить, что флуктуации могут иметь как внутреннее, так и внешнее происхождение например, они могут быть результатом временного нарушения граничных условий. Однако в макроскопической системе с большим числом степеней свободы всегда существуют спонтанные флуктуации. Условие затухания флуктуаций становится условием устойчивости данного процесса. [c.10]

В этой главе мы установим общее неравенство, справедливое во всей области макроскопической физики при постоянных граничных условиях в предположении, что выполняется локальное равновесие. Обладая высокой степенью общности, такое неравенство представляет собой по существу универсальный критерий эволюции. Линейная теория устойчивости, развитая в предыдущих главах, здесь оказывается простым частным случаем, соответствующим движению вблизи рассматриваемого состояния, как было показано Б работах [142, 153]. Поэтому здесь мы не будем останавливаться на обсуждении устойчивости при малых отклонениях от равновесия, за исключением вывода некоторых дополнительных ре- [c.109]

Граничное условие (2.33) выражает макроскопический баланс (постоянство расхода газа) вдоль пленки, а условие (2.36) следует из симметрии течения. Знаки и Т здесь и всюду [c.22]

Выражение (3.19) для компонент скорости подставляют в уравнение (1.1). Отсюда можно с необходимой точностью определить компоненты и а v в зависимости от максимальной степени в усеченных рядах (3.19). После умножения (1.1) поочередно на 1, у, у .....y - и последующего интегрирования по г/ в пределах толщины пленки, а также используя уравнение макроскопического баланса (1.4) и граничное условие баланса тангенциальных сил (1.6), получают систему обыкновенных уравнений. [c.61]

Скольжение жидкости. Совсем иначе используются молекулярные представления при объяснении нарушения граничного условия (прилипания жидкости) (6), когда средняя длина свободного пробега молекулы сравнима с макроскопическими размерами. Можно отметить при этом три важных частных случая течение через щели, свободное падение мельчайших капель (опыт Милликена с каплей масла) и торможение спутника. Во всех этих случаях весьма заметно отклонение от законов механики континуума ) наблюдаемые усилия сдвига значительно меньше, чем предсказываемые формулами (13) и (15). [c.73]

Все исследователи, работавшие в этой области, использовали метод меченых частиц. В кипящий слой основного материала дискретно (порцией) или непрерывно подавали частицы, одинаковые по своим гидродинамическим свойствам с основными, но отличающиеся от последних какими-либо другими характеристиками (цветом, химическим составом, температурой, диэлектрическими или магнитными параметрами и т. п.). Далее, отбирая пробы на разных расстояниях от места подачи, определяли концентрацию в них меченых частиц через определенные промежутки времени. Считая правильной диффузионную модель движения частиц в кипящем слое, сравнивают результаты измерений с решением дифференциального уравнения диффузии при соответствующих начальных и граничных условиях и отсюда рассчитывают макроскопический эффективный коэффициент диффузии О - [c.92]

Решение уравнения (19-11) с такими граничными условиями получено для области вокруг суспендированной частицы. Из расчета диаграммы потока определена величина энергии, рассеянной вязкими силами, и произведено сравнение с соответствующей энергией, рассеянной в отсутствие суспендированной частицы. Найдено, что суспендированная частица увеличивает так что если коэффициент вязкости определить через W (как во всех макроскопических способах измерения вязкости), то этот коэффициент также увеличивается. Результат, полученный Эйнштейном для любого числа суспендированных частиц, достаточно удаленных друг от друга (чем предотвращается взаимное влияние нарушений линий потока, вызываемых каждой индивидуальной частицей), выражается следующим уравнением [c.386]

Для определения макроскопической скорости реакции во внутренней диффузионной области необходимо вычислить интегрированием уравнения (П-116) производную дс ду на поверхности раздела фаз при следующих начальных и граничных условиях. Концентрация диффундирующего через поверхность раздела фаз реагента в приближающемся к этой поверхности элементе жидкости [c.122]

Не вдаваясь в детали метода, с которыми можно познакомиться в монографиях [93, 94] и обзорах [95, 96], отметим, что суть его заключается в численном интегрировании уравнений движения всех частиц, составляющих данную систему и взаимодействующих по выбранному межмолекулярному потенциалу. Так как интегрирование осуществляется на ЭВМ, то число частиц системы оказывается ограниченным обычно в пределах 10 . Для того чтобы результаты могли быть распространены на макроскопические системы, используют периодические граничные условия, которые реализуются следующим образом. Выбирается кубическая ячейка объемом V, содержащая N частиц, взаимодействующих по заданному закону. В периодической структуре выбранная ячейка будет окружена 26 аналогичными кубическими ячейками с идентичным расположением частиц. Если в процессе счета одна из частиц основной ячейки выйдет, например, через правую грань, то аналогичная ей частица войдет в основную ячейку через левую грань из соседнего куба. Таким образом, плотность и энергия системы сохранятся, т.е. имеет место имитация бесконечности системы. [c.335]

Конечно, значительно более общее описание различных молекулярных областей и их ориентации получается с помощью трехмерных элементов. В случае поперечной симметрии молекулярные элементы должны определяться пятью константами упругости (или податливостями), ориентацией в одном или двух направлениях и граничными условиями для напряжения и деформации на границе элемента. Фохт [63] исходил в своих расчетах из предположения отсутствия разрыва деформации на всех границах. Реусс [64] предполагал однородность напрялсе-ния. Используя пространственное усреднение констант упругости с,/,п или податливостей 5,,тп молекулярных областей по Фохту или Реуссу, соответственно получают верхний и нил<ний пределы макроскопического модуля [83]. Для пространственной деформации совокупности таких элементов Уорд [84], а позднее Кауш [85] рассчитали зависимости макроскопических модулей упругости от ориентации областей. Расчетные кривые изменения модулей упругости от коэффициента вытяжки, в частности, характеризуются скоростью начального изменения модуля и его предельным значением. Если при вытяжке происходит только переориентация неизменных в других отношениях молекулярных областей, то свойства полностью ориентированного образца долл<ны соответствовать свойствам этих областей. На рис. 2.16 модуль Юнга, рассчитанный в направлении вытяжки в зависимости от коэффициента вытяжки и анизотропии областей, сравнивается с экспериментальными данными [13, 85]. Результаты Уорда и Кауша можно обобщить следующим образом [c.48]

Граничное условие задачи вытекает из того факта, что слои движущ ейся среды, непосредственно соприкасающиеся с твердой поверхностью, неподвижны относительно этой поверхности. Из-за хаотического взаиморасположения зерен в слое истинная топография поля скоростей, т. е. распределения локальных скоростей потока в пространстве и по направлению, достаточно сложна. Поэтому при макроскопическом описании процессов переноса в зернистом материале, когда среда представляется однородной (и часто изотропной), пользуются усредненными понятиями координат и скоростей. [c.62]

Исследование слоя Кнудсена на неравновесных поверхностях типа (22) показало, что макроскопические граничные условия для релаксационных уравнений энергии в многотемпературном пограничном слое могут быть записаны в виде следующих соотношений [19, 21, 22] [c.120]

Кузнецов М. М. Исследование макроскопических граничных условий методами кинетической теории газов. Канд. дис., МФТИ, 1975. [c.136]

Система уравнений (2.40) - (2.47) макроскопической электродинамики позволяет найти однозначное решение конкретной зэдачи при наличии краевых (начальных и граничных) условий. В зависимости от поведения во времени характеристик электромагнитного поля различают частные случаи. В статических полях (электростатическое и магнитостатическое поля) напряженности полей не зависят от времени, т. е. в вышеприведенных уравнениях выполняется условие вида 9 (.. . . )/dt = 0. Кроме того, электростатический случай характеризуется дополнительным равенством 7 = О, в отличие от стационарного, когда 7 = onst. Медленно изменяющиеся во времени поля называют квазистационарными. [c.34]

Таким образом, рассматриваются произвольные конфигурации системы из малого числа частиц и в то же время исключаются поверхностные эффекты. Резумеется, рассмотрение макроскопической системы как совокупности подсистем одинаковой конфигурации является приближением возможные конфигурации макроскопической системы учитываются при этом далеко не полностью. Действительно, в системе с периодическими граничными условиями возможны лишь флуктуации плотности внутри одной ячейки в. то же время средняя плотность во всех ячейках одинакова. Все конфигурации, связанные с крупномасштабными флуктуациями, исключаются. Степень искажения результата зависит от того, насколько велик статистический вес конфигураций, которые не учитываются, и насколько отличны соответствующие этим конфигурациям значения М от величины М для учтенных конфигураций. Приближение будет тем точнее, чем больше число частиц в ячейке (напомним для сопоставления, что в теории свободного объема одинаковые ячейки были размера v = V/N и включали одну частицу). Влияние периодических граничных условий можно оценить, производя расчеты при различных значениях числа частиц N в ячейке. Точный результат для макроскопической системы будет соответствовать экстра- [c.393]

Прежде чем комментировать содержание монографии, мы хотели бы обратить внимание на другой важный результат нашего подхода. Мы выводим общее неравенство, справедливое для любого изменения состояния макроскопической системы при фиксированных граничных условиях из-за высокой степени общности мы называем это неравенство универсальный критерий эволю- [c.12]

Однако с функциями, содержащими члены типа бГй бГ или б (ре) 6 (ре), было бы очень трудно оггерировать в общей теории. В первом случае потому, что д[8Т не вытекает непосредственно из уравнений баланса, а во втором — потому, что 6(ре) ие связана прямо с граничными условиями. По той же самой причине другие квадратичные формы, встречающиеся в (2.63), не могут быть выбраны в качестве функций Ляпунова, так как они приводят к очень громоздким выражениям, которые вряд ли могут быть полезны. Из этих же соображений мы не начали исследование устойчивости с обобщенного принципа Ле Шателье — Брауна (разд. 6.4). Чтобы оценить по достоинству эти замечания, необходимо прочесть сначала следующую главу, где выведены точные условия устойчивости. В конце концов, оказывается, что только 6 5 или 6 (р5) и некоторые другие знакоопределенные функции, тесно связанные с этими выражениями ), представляют интерес в теории устойчивости. Вместе с тем и по физическому смыслу теория устойчивости должна исходить из свойств величины 6 5. В самом деле эта величина по формуле Эйнштейна непосредственно связана со статистической макроскопической теорией флуктуаций (гл. 8). Таким образом, наш подход приводит [c.74]

Если частицы-реагенты, встретившись в растворе, реагируют друг с другом быстрее, чем расходятся, то такого типа реакция является диффузионно-контролируемой. Роль диффузии в протекании быстрых химических реакций и физико-химических процессов в жидкости рассмотрел М. Смолуховский (1917 г.), анализируя задачу роста коллоидных частиц. Позднее решением этой задачи занимались С. Чандрасекар (1943 г.) и Ф. Коллинз и Г. Кимбал (1949 г.), Т. Уайт (1957 г.), Р. Нойс (1961 г.). Существенное затруднение в решении задачи заключается в том, что каждый элементарный акт быстрой реакции -микроскопический процесс, а для его описания используются законы макроскопической диффузии. Тем не менее удается решить эту задачу, сделав ряд оговорок и внимательно рассмотрев граничные условия. [c.183]

Задача решалась при следующих предположениях. Частицы-реагенты А и В находятся в состоянии теплового равновесия со средой, которая рассматривается как непрерывный изотропный континуум. Эти частицы диффундируют согласно законам макроскопической диффузии, т.е. в согласии с законами Фика, что справедливо при отсутствии больших градиентов. Это, однако, нарушается при сближении и взаимодействии частиц А и В, которые быстро вступают в реакцию. Граничные условия определяет протекающая в системе химическая реакция. Частица В рассматривается как закрепленная, а частицы А перемешаются с коэффициентом диффузии D = D + D . Концентрация с частиц А в окрестности частиц В, которая рассматривается как сфера с радиусом A = гд + зависит от расстояния г и времени /и описывается следующим уравнением (с . - концентрахщя молекул В на расстоянии гаг А, J- диффузионный поток) [c.183]

В соответствии с принятым способом нумерации вмe тJ обычно используемых циклических граничных условий здесь введены спиральные систему, описываемую выражением (20), можно представить себе как спираль, намотанную па цилиндр так, что ближайшими соседями к-то узла оказываются узлы с номерами /с 1 и 1с п. В статистической механике интересен макроскопический случай N 00, оо, оо и из физических соображений ясно, что перекос на одну постоянную решетки, возникающий при замене циклических условий спиральными, не должен сказываться на результате. Также не должно влиять на асимптотические свойства отсутствие соседей у узлов на крайних витках спирали (чего можно, впрочем, избежать, если рассмотреть спираль, намотанную на тор и покрывающую его одним слоем). [c.132]

Таким образом, для вычисления макроскопической скорости реакции, идущей на неравнодоступной поверхности, недостаточно знать химическую кинетику процесса и средний коэффициент массопередачи. Единственно строгим методом расчета, как отмечалось в п. 1, является решение уравнения конвективной диффузии в пограничном слое с граничным условием, учитывающим скорость химических превращений. Решение этой задачи для полубесконечной пластины, обтекаемой ламинарным потоком жидкости [1], показывает, что эффективная толщина пограничного слоя зависит не только от физических свойств потока и скорости его движения, но и от скорости химической реакции на поверхности. Приближенное решение той же задачи для газового потока с ламинарным и турбулентным пограничным слоем получено в работах [5, 6]. Попытки строгого решения задачи для тел более сложной формы, а также учета разогрева реагирующей смеси и поверхности катализатора за счет тепла реакции наталкиваются на серьезные затруднения.-Поэтому до сих пор все расчеты и исследования диффузионной [c.123]

В области переходной между внешнедиффузионной и внеш-некинетической, приповерхностная концентрация вычисляется из формул типа (111.21) и (111.22), после чего определяется макроскопическая скорость процесса. В области, помежуточной между внешнедиффузионной и внутрикинетической, используется та же формула с подстановкой ка вместо а в области, переходной между внешне- и внутридиффузиопной, правая часть уравнения (111.21) заменяется на выражение (111.46). В последнем случае для учета внешнедиффузионного торможения можно также сразу решать уравнение ( 11.40) с комбинирован ным граничным условием [c.128]

В настоящей работе рассматривается общая проблема получения замкнутого гидродинамического описания течения газа на основе систем макроскопических уравнений движения и соответствующих граничных условий, следующих из исследования кинетической постановки задачи об обтекании тел разреженным газом при малых значениях числа Кнудсена К (К 1, К = IL , где [c.108]

Для описания течений газа с малыми значениями числа Кнудсена (в так называемом режиме сплошной среды), когда макроскопические параметры газа мало меняются на длине свободного пробега и в интервалах времени порядка времени соударения молекул, в работах Гильберта, Чепмена, Энскога, Н. Н. Боголюбова, В. В. Струминского были предложены асимптотические методы решения кинетических уравнений [2 — 5]. В последние годы в работах [6 — 12, 17, 26] эти исследования были продолжены развиты соответствующие модифицированные асимптотические методы малого параметра, применимые к рассмотрению сильно неравновесных высокотемпературных течений газа за ударными волнами, в пограничных и энтропийных слоях и т. д. Эти методы позволяют определить единственный вид гидродинамических уравнений движения и соответствующих граничных условий, рассчитать необходимые параметры, содержащиеся в уравнениях и краевых условиях (такие, как диссипативные коэффициенты [c.108]

Это означает, что Тмакро можно назвать макроскопическим масштабом времени эволюции системы. Ясно, что если опорное состояние X асимптотически устойчиво, то все Ке (ОА> должны быть отрицательны. Следовательно, возникновение перехода можно определить просто исследуя поведение Не (о как функции значений управляющих параметров X и наложенных на систему граничных условий. Для простоты предположим, что мы исследуем свойства системы, имея в своем распоряжении только один [c.23]

Законы распределения скоростей между зернами для данного режима течения определяются только одним критерием — числом Рейнольдса, который постоянен в любом макросечении слоя. Это условие эквивалентно утверждению, что зерна сорбента уложены хаотически, т. е. статистически распределение линий тока относительно зерен каждого последующего слоя повторяет распределение линий тока относительно зерен предыдущего слоя. Оно не выполняется только в лобовых и замыкающих слоях, о чем уже упоминалось выше, а также около стенок аппаратуры (пристеночный эффект), что должно учитываться граничными условиями макроскопической задачи. [c.69]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология