Оператор Фоккера Планка

Спектральная теория оператора Фоккера — Планка и задача Штурма — Лиувилля [c.189]

Для этого функции, на которые действует оператор Фоккера — Планка, должны быть интегрируемы на пространстве состояний, т. е. [c.191]

В качестве первого приложения спектральной теории оператора Фоккера — Планка мы рассмотрим броуновское движение в пространстве скоростей, т. е. процесс Орнштейна — Уленбека, задаваемый СДУ [c.196]

Xt не содержит членов dWt, то в общем случае невозможно получить точные аналитические выражения для стационарного решения УФП, именно (8.45), или для плотности вероятности р (х). Последняя же функция представляет главную цель нашего исследования, поскольку именно она описывает стационарное состояние системы. Сталкиваясь с невозможностью получения общего выражения для стационарного решения (8.45), мы должны прибегнуть к приближенной процедуре для исследования влияния шума, близкого к белому шуму. В нашей задаче имеется очевидный малый параметр — масштабный множитель е, измеряющий степень отклонения шума от белого. Вид оператора Фоккера — Планка предполагает следующее разложение для плотности вероятностей переходов [c.274]

Отметим, что Р — это оператор Фоккера — Планка для ОУ-процесса 5/, который действует, конечно, лишь на вторую переменную г. Это означает, что плотность вероятности р (х, г) факторизуется в низшем порядке теории возмущений. Другими словами, в низшем порядке по г переменная, описывающая систему, и флуктуирующий параметр стохастически не зависят друг от друга в один и тот же момент времени [c.275]

Обратный оператор Колмогорова является сопряженным к оператору Фоккера — Планка, если диффузионный процесс имеет естественные границы. Действие сопряженного оператора в данном случае означает интегрирование по частям. ОУ-процесс действительно имеет естественные границы, и мы получаем [c.277]

Этот оператор не обладает удобными для вычислений свойствами оператора Фоккера — Планка для ОУ-процесса, играющего основную роль в пределе белого шума. Действительно, поскольку (8.125)—это функция двух переменных, то совместная плотность вероятности ро х,г) не факторизуется в низшем порядке. Кроме того, поскольку этот оператор не описывает эволюцию диффузионного процесса, а является оператором детерминированного движения, то в (8.123) следует использовать обобщенные функции типа б-функции Дирака. Это приводит к тому, что явное вычисление поправочных членов более высокого порядка становится практически невыполнимой задачей. [c.290]

Приведение кинетического оператора к форме обобщенного оператора Фоккера — Планка. Оператор (20) или (21) можно привести к различным конкретным формам. Выведем одну из таких форм. Используя (4), (12), запишем оператор (21) подробнее [c.435]

Уравнение Фоккера—Планка является частным случаем основного кинетического уравнения, в котором W представляет собой оператор второго порядка, а именно [c.195]

Это — искомое кинетическое уравнение Больцмана. Таким образом, на основании общего уравнения для марковских процессов можно получить частный вид кинетического уравнения. Ранее на основании уравнения Смолуховского было выведено уравнение Фоккера — Планка. Последнее может быть получено и из кинетического уравнения Больцмана путем разложения интегрального оператора уравнения (1.89) по дифференциальным операторам и ограничения лишь дифференциальными операторами до второго порядка. При этом мы получаем явный вид для коэффициентов А и В уравнения Фоккера — [c.25]

Недавно Башкиров [16] получил для описания изменения размеров капли со временем уравнение типа Крамерса — Фоккера — Планка более строгим методом — неравновесного статистического оператора Зубарева. Было, в частности, доказано, что степени свободы [c.111]

П.П. 11. Решение уравнения Фоккера — Планка на кинетической стадии эволюции макросистемы 383 П.П. 12. Некоторые важные свойства линеаризованного оператора столкновений Больцмана 388 П.П. 13. Вывод формулы (7.2.34) 398 [c.397]

Вывод выражений для коэффициентов вязкости с помощью кинетического уравнения Фоккера-Планка содержится также в [199, 200], где развиваются идеи, заложенные в работах [123, 124], а также в [201], где в операторе поворота Ё учтены угловые градиенты. [c.98]

Традиционный вывод уравнения Фоккера — Планка (10.1.5) или (8.1. ) основывается на математическом доказательстве Колмогорова, в котором предполагается, что имеется бесконечно много бесконечно малых скачков. Однако в природе все скачки имеют некоторый конечный размер . Следовательно, не бывает дифференциальным оператором, а всегда имеет вид типа (5.1.1). Обычно У содержит подходящий параметр разложения и имеет канонический вид (9.2.3). Если оказывается, что выполняется равенство (10.1.1), то разложение в нижнем приближении приводит к нелинейному уравнению Фоккера— Планка (10.1.5). Уравнениям Фоккера — Планка и Ланжевена нельзя приписать более фундаментального смысла, чем тот, который приписывается ему настоящим приближением. [c.261]

Впервые задача построения оператора кинетического уравнения (уравнения Фоккера—Планка) по закону релаксации в линейном приближении на примере броуновского движения была решена Эйнштейном [85]. В нелинейных приближениях эта задача рассматривалась в [50]. В [25] проведено восстановление вида кинетического уравнения по феноменологическому уравнению в линейно-кубическом приближении для одного конкретного примера. Там же полученное кинетическое уравнение решалось приближенным методом. [c.129]

Здесь фигурирует оператор Фоккера — Планка, соответствующий трактовке (8.39) в терминах белого шума, т. е. это стохастическое дифференциальное уравнение Стратоновича [c.278]

Рассмотрим теперь основные черты этой немарковской приближенной процедуры. Для явного нахождения по крайней мере стационарного решения для приближенного оператора эволюции последний должен обладать определенными свойствами. Наиболее удобным был бы случай, когда этот оператор соответствовал оператору типа Фоккера — Планка, т. е. содержал бы производные первого и второго порядка с неотрицательными коэффициентами при дхх- Это представляется удобным по двум причинам. Во-первых, это гарантирует положительность стационарного решения, которое можно тогда интерпретировать как плотность вероятности. Во-вторых, форма этого оператора известна явно, поскольку она задается также формулой (6.15) с подходящими граничными условиями. Оба этих достоинства в общем случае теряются, если в операторе фигурируют производные третьего и более высоких порядков. В таком случае оказывается невозможным не только гарантировать положительность решения, но и получить его в явном виде. Отметим, что оператор эволюции типа Фоккера — Планка совместим с немарковским характером процесса как это отмечалось Ханги и др. [4.4]. Этот оператор описывает временную эволюцию лишь одновременной плотности вероятностей р(х, а не плотности вероятностей переходов. Как подчеркивалось в гл. 4, это свойство, т. е. то, что р(х, 1) подчиняется уравнению типа Фоккера— Планка, не означает, что процесс обязательно обладает какими-либо марковскими свойствами. В последующем мы будем употреблять названия оператор Фоккера — Планка и уравнение Фоккера — Планка только для диффузионных процессов. Добавление же слова типа ( типа оператора. .. ) мы будем производить при обозначении оператора или уравнения эволю- [c.291]

Рассмотрим хорошо изученную диссоциацию двухатомных молекул, масса которых М значительно больше массы т атомов инертного газа т]М 1). В этом случае интегральное уравнение ( .50) сводится к соответствующему дифференциальному уравнению Фоккера — Планка. Авторами работы [3] переход к уравнению Фоккера — Планка выполнен в предположении, что взаимодействие молекул с атомами инертного газа описывается моделью твердых сфер. Разлагая интегральный оператор в уравнении ( .50) в ряд по производным и ограничиваясь производными второго порядка [члены с высшими производными будут иметь порядок малости не ниже т[Му1Ц, получаем сопряженное уравнение Фоккера — Планка для функции W р, д, t) . [c.131]

Вывод кинетических уравнений для макроскопических величин является основной задачей неравновесной статистической механики. Последовательный подход к этой проблеме приводится в работе Цванцига [1], который получил для классического случая уравнение Фоккера — Планка из уравнения Лиувилля методом проекционного оператора. Аналогичное уравнение для квантового случая было выведено Сьюзлом [2]. Несколько другой, более простой вывод кинетического уравнения Фоккера — Планка, основанный на методе Зубарева [3], приведен в работе [4]. Во всех этих работах вывод кинетического уравнения проводится для подсистемы, слабо взаимодействующей с термодинамической равновесной системой — термостатом. Уравнение, описывающее эволюцию такой подсистемы, в общем случае оказывается немарковским. Однако достаточно медлен- [c.188]

В ряде работ Немцова используются методы современной статистической термодинамики — метод проектирующих операторов Цванцига-Тори и неравновесного статистического оператора Зубарева. В этом случае коэффициенты вязкости и другие кинетические коэффициенты выражены временными корреляционными функциями, точный вид которых рассчитывается с помощью некоторого кинетического уравнения или другими методами. Хотя такой подход не привязан к определенному виду кинетического уравнения, для расчета коэффициентов вязкости обычно используется уравнение Фоккера-Планка. [c.80]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология