Координаты Якоби

Чтобы отделить переменные, отвечающие импульсу Р, введем так называемые координаты Якоби, причем сначала введем их для подсистем ядер и электронов отдельно. Если для ядер в исходной инерциальной системе координат радиусы-векторы обозначить как то далее можно линейным преобразованием перейти к следующим векторам [c.233]

Рис. 5.1.1. Координаты Якоби для трех частиц.

Естественно, можно было бы не вводить отдельно переменные центров масс ядер и электронов, а сразу ввести единую систему координат Якоби для всех частиц молекулы. Выше это сделано не было по следующей причине. В гамильтониане (10) после отделения переменных центра масс можно вместо трех независимых переменных X подставить три независимые переменные Л, что формально эквивалентно совмещению начала системы координат с центром масс ядер. Существенно подчеркнуть, что такая эквивалентность в действительности формальна, поскольку при этом центр масс всей системы полностью не отделяется, так что волновая функция должна была бы иметь сомножитель рассмотренного выше типа (е ), причем в этой новой системе координат полный импульс системы уже не должен быть сохраняющейся величиной, а волновая функция - обладать интегрируемым квадратом модуля. Введение же указанной подстановки проводится при условии, что она не меняет характера получаемого решения, и ищется такая волновая функция, которая интегрируемым квадратом модуля обладает. Найдя такое решение, в нем далее необходимо выделить переменные Л, заменить их на после чего полученная подобным образом функция и будет представлять собой искомую волновую функцию исследуемой молекулярной системы. [c.235]

Одним из наиболее простых методов вычисления собственных значений и собственных векторов симметричных матриц является метод, предложенный Якоби Метод этот заключается в следующем Не лежащие на главной диагонали элементы матрицы А последовательно приводятся к нулю с помощью поворота системы координат на угол а, определяемый из уравнения [c.223]

Во избежание недоразумений отметим, что парциальные функции распределения записаны формулами (2.65) и (2.66) уже с учетом якобиана преобразования от координат ф к координатам arj, т. е. для получения среднего значения функции / (ф) следует записать ее в координатах xi и получить среднее значение по формуле [c.74]

Возражения А. В. Киселева вызывают у меня большое удивление. В самом деле, А. В. Киселев говорит, что нельзя наклон кривой испарения считать просто равным — L/R), что якобы делаем мы. Но достаточно-посмотреть на наше уравнение (7) в статье, чтобы убедиться, что мы утверждаем диаметрально противоположное тому, что нам приписывается. Соображения А. В. Киселева о том, что нельзя кривую испарения в общем случае рассматривать как прямую, пе относятся к делу, так как линия gPs — / (Т ) на рис. 3—5 является эмпирической кривой, а то, что она в этих координатах и в этом масштабе практически неотличима от прямой, только показывает, насколько законна ее аппроксимация прямой линией. [c.435]

Теория переменных действие — угол основана на более общих представлениях, называемых теорией Гамильтона — Якоби. В этой теории стремятся найти каноническое преобразование, которое приводит к гамильтониану, циклическому по всем новым координатам. Преимущество такого преобразования огромно. Если все новые координаты циклические, то все новые импульсы — константы движения. С другой стороны, новый гамильтониан Н р) является функцией только новых постоянных импульсов. Поэтому, продифференцировав его по этим импульсам, полу- [c.34]

Таким образом, решение данной динамической задачи заключается в нахождении такого канонического преобразования (т. е. производящей функции), чтобы новые импульсы были константами движения. А эта последняя задача тесно связана с непосредственной проблемой интегрирования уравнений движения, что является в свою очередь не более чем формальной операцией отображения начальных координат и импульсов на их величины в момент времени t. Действительно, для всех динамических задач, кроме особого класса, теория Гамильтона — Якоби более важна своей близкой причастностью к нейтральной области между классической динамикой и квантовой механикой, чем своими приложениями. [c.34]

Кривые, на которых х и у являются соответственно постоянными, образуют координатную сетку в плоскости х, у). Они также изображены на рис. 1.10, а. Площадь поверхности А у естественно, не зависит от того, какой координатной сеткой она покрыта. Это обеспечивается наличием якобиана, который дает правильное значение элемента площади в новой системе координат. [c.41]

Тот факт, что это решение похоже на решение задачи о свободном движении N тел, не является неожиданностью. В новой системе координат — системе Гамильтона — Якоби — все новые импульсы постоянны. А это эквивалентно ситуации свободно-молекулярного течения. [c.74]

Поскольку значение якобиана не изменяется при повороте системы координат, получим, используя уравнения (4), (5), (8) [c.31]

Следующий шаг в теории колебательных спектров комплексов может быть сделан, если совершенно отказаться в тон части, которая соответствует степеням свободы лиганд — металл, от привычного при исследовании органических соединений способа введения колебательных координат, основанного на положениях валентной схемы, вводя с самого начала представление о колебании лиганда в поле неподвижного центрального атома. При таких условиях для описания собственных колебаний лигандов следует ввести обычные валентно-силовые координаты, а для описания колебаний всего лиганда по отношению к центральному атому либо декартовы координаты, либо координаты типа Якоби и углов Эйлера, которые применяются для описания движения всего тела в целом. [c.7]

Зубр также рассмотрел задачу роста пузырька и его разрушения в недо-третой жидкости и сравнил данные, полученные по модели Бошняковича — Якоба с опытными данными Эллиота [40]. На рис. 18 в координатах радиус — время приведены данные Эллиота, а на рис. 19 — те же данные, но нормированные на максимальный радиус и время т , за которое этот радиус достигается. [c.168]

Таким образом, решение уравнений Гамильтона—Якоби для той или иной задачи является целиком вопросом правильного выбора переменных. Задача, неразделимая в одной системе координат, может быть сделана разделимой с помощью соответствующего канонического преобразования координат к таким, в которых (д,.). [c.335]

Интегрируемость геодезического потока на эллипсоиде была установлена Якоби. Он использовал разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби после введения эллиптических координат и некоторых ухищрений. Этот вывод может быть найден в разных источниках, начиная с самого Якоби. [c.96]

Особенность указанного подхода состоит в отсутствии простой связи новой системы внутренних координат с действительными декартовыми координатами молекулы. Это значит, что поиск в пространстве углов вращения (случайным образом или с помощью постоянных приращений) не эквивалентен поиску в реальном конформационном пространстве, определяемом декартовыми координатами всех атомов. Математическая связь частных производных по декартовым переменным и внутренним координатам обеспечивается с помощью элементов специального определителя (якобиана), который можно считать корректировочным множителем при выполнении вычислений. На практике якобианом почти всегда пренебрегают, за исключением тех случаев, когда его вычисление достаточно просто, например нри учете вращения молекул воды в случае моделирования методом Монте-Карло поведения растворов. Можно предположить также, что пренебрежение якобианом впол- 1е оправдано для молекул с глубоким минимумом потенциальной энергии и в особенности в случаях, когда интерес представляет только минимальное значение функции (например, в процедуре минимизации). [c.581]

В дальнейшем нам понадобится выражение якобиана в биполярных координатах найдем его. [c.14]

Чтобы получить начальное приближение Яо для обратной матрицы Якоби [системы (11,118) — (11,123) или (11,126), производные левых частей систем нелинейных уравнений аппроксимировались с помощью конечных разностей (с последующим обращением полученной матрицы). В соответствии с рекомендациями [24] прираде-ния независимых переменных Дх выбирались равными Ах = = 0,001хо, г (здесь л о,г — -тая координата начальной точки лго). При этом затраты на вычисление разностной аппроксимации матрицы Якоби в начальной точке эквивалентны (я + 1)-му расчету левых частей системы уравнений. [c.49]

Попробуем развить эту мысль. Кое-кому статистика представляется методикой, к которой следует прибегать лишь тогда, когда дают осечку нормальные экспериментальные методы — ну, ска-жеА1, в областях, где неприменимы известные правила и требуется сугубо эмпирический подход (например, при сопоставлении показателей ряда порошковидных разбавителей, входящих в состав инсектицида, или при разработке абсолютно эмпирической модели процесса). Следствием такого взгляда на статистику является, выделение некоторых экспериментальных областей, якобы неподвластных статистике. Типичным примером такого подхода может служить определение констант скорости реакций при проведении кинетических исследований. Здесь химик в полном соответствии с тем, чему его обучали в университете, осуществляет серию реакций, замеряя изменения концентраций реагентов со временем. Построив на основе своих измерений различные графики, он определяет порядок реакции, а по крутизне соответствуюпщх кривых находит к — константу скорости реакции. Затем эти операции будут повторены нри различных температурах. Это позволит найти энергию активации по кривой, построенной в координатах ]п к, 1/Г. [c.180]

Изменения в составе алканов могли быть также вызваны процессом битуминизации, происходившим после отложения осадков. Битуминизация, по Якобу (Ja ob, 1960), является процессом окислительного расщепления и восстановления. Величины отношений Н/С и О/С для керогена и растворимого в бензоле битумоида горючих сланцев свиты Грин-Ривер находятся в зоне битуминизации на диаграмме в координатах Н/С и О/С. Среднее значение отношения Н/С для керогена в породах свиты Грин-Ривер около 1,6, а для керогенов морского происхождения 0,68—0,90 (Hunt and Jamieson, 1956). [c.245]

Попытка использовать уравнение Гамильтона—Якоби для решения задачи химической бимолекулярной реакции ЛВ- -С A- y B была предпринята в цикле работ [117—119]. В этих работах задача динамического описания движения системы по поверхности потенциалъв Ш энергии для реакции AB- - А , ВС рассмотрена для случая линейных соударений [117] и для случая соударений в плоскости [119]. Вводилась система координат, названная Маркусом естественными координатами соударений , характеризующаяся тем, что переход от системы реагирующих частиц до соударений к системе продуктов реакции после соударений оказывается гладким. [c.335]

Собственные значения последнего уравнения представляют собой эллиптические координаты ж, в то время как собственные значения М — ортогональные координаты у на сфере у = 1, которые мы уже использовали выше. В любом случае, изоспектральное многообразие Ш матрицы Ру А — X х)Ру приводит к многообразию Якоби гиперэллиптической кривой [c.169]

Матрица Якоби (47) определяет на многообразии всех финитных векторов (то есть векторов с конечным числом отличных от нуля координат) пространства симметричес- [c.75]

Понятие температуры пришлось вводить из-за невозможности использовать методы классической механики. А отказ от механистического описания молекулярного ансамбля был вызван непомерно огромным числом участни> ков движения. Настолько огромным, что состояние индивидуальной частицы почти не сказывается на состоянии ог-стемы в целом. Всего для полного описания системы из V частиц необходимо задание Ш — 3 координат н ЗЛ — 3 скоростей (3 значения координаты и 3 значеиия скорости соог-ветствуютдвижеиию системы как целой). Эволюция системы может быть представлена траекторией в (6Л — 6)-мерно 1 пространстве, называемом фазовым. Нам, жителям реального трехмерного М)1ра, нет необходимости пытаться представить себе это многомерное пространство. Это пространство — категория не физическая, а математическая. Тем не менее некоторые современные провидцы и провидицы , зиакомые с естественными науками, объясняют свой дар тем, что якобы видят мир во многих измерениях. На их клиентов такое объяснение предсказателей производит, конечно, большее впечатление, чем версия связи с потусторонними силами. [c.40]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология