Конечные разности

Численные методы решения различных задач фильтрации газа на основе уравнения Л. С- Лейбензона также достаточно хорошо обоснованы в приложениях к проблемам разработки месторождений природных газов. При этом наибольшее распространение получили методы конечных разностей и конечных элементов. Вместе с тем, развитие теории фильтрации газов, вызванное требованиями практики разработки газовых месторождений, и, в частности, изменением горно-геологических условий их залегания (большие глубины, высокие давления и температуры, многокомпонентность газа и т.д.) потребовало учета в основном уравнении, предложенном Л. С. Лейбензоном, многих дополнительных факторов. Так, оказалось, что использование функции Лейбензона в форме (6.2) допустимо при небольших давлениях, в условиях недеформируемых пластов. При достаточно больших давлениях в условиях деформируемых коллекторов под знак интеграла в формуле (6.2) необходимо внести зависимости изменения проницаемости, вязкости и коэффициента сверхсжимаемости газа от давления. При неизотермической фильтрации во многих случаях необходимо учитывать также изменение свойств газа от температуры. [c.183]

Важный фактор эффективного использования численного моделирования— специально разрабатываемые методы вычислений. Наиболее широкое применение для решения краевых задач подземной гидромеханики получили метод конечных разностей и метод конечных элементов. [c.381]

В этих случаях для решения задач целесообразно использовать метод конечных разностей. Дискретный аналог области, в которой ищется решение, представляется в виде сетки (см. рис. 13.2), поэтому метод конечных разностей иногда называют методом сеток. Отдельные точки сетки называются узлами. Если шаги сетки Ал и Дг постоянны, то сеточная область (сетка) называется регулярной. В общем случае использование регулярной сетки предпочтительно, но иногда целесообразно использовать и нерегулярные сетки с переменными шагами. [c.385]

После дискретизации области и построения дискретного аналога краевой задачи необходимо оценить сходимость конечно-разностного решения к точному решению исходной задачи, а также получить конечно-разностное решение, т.е. решить систему конечно-разностных уравнений. Реализация этих двух этапов представляет основные принципиальные трудности при практическом использовании метода конечных разностей. [c.387]

Будем рещать задачу приближенно с использованием метода конечных разностей. Для этого заменим непрерывную область ее дискретным аналогом - квадратной сеточной областью (рис. 13.8) [c.391]

По методу Эйлера, производная в дифференциальном уравнении заменяется отношением конечных разностей. Пусть нужно решить уравнение [c.145]

Метод проб и ошибок наиболее распространен при решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако во многих случаях этот метод поиска начальных условий приводит к задаче с неустойчивым решением. Тогда единственно возможным методом решения краевых задач на АВМ становится метод конечных разностей, приводящий к алгебраическим уравнениям. Моделирование же последних связано с большими трудностями и значительными погрешностями. Поэтому, несмотря на ряд очевидных достоинств, применение аналоговых машин для целей математического моделирования химических процессов из-за указанных причин является весьма незначительным по сравнению с цифровыми вычислительными машинами. [c.12]

Сущность метода Биндера — Шмидта заключается в том, что уравнение неустановившегося потока в частных производных преобразуется в уравнение конечных разностей. Рассмотрим плиту (например, кирпич) толщиной Ь (площадь поперечного сечения Р), через которую осуществляется нестационарный теплоперенос. Следовательно, изменение температуры вдоль толщины плиты Ь будет происходить не линейно, а по какой-либо, также изменяющейся во времени, зависимости (рис. 14-1). Толщину плиты Ь можно представить состоящей [c.296]

До сих пор мы не останавливались на вопросе вычисления производных 5//39, полагая, что они могут быть вычислены точно. Однако при приближенном (численном) интегрировании исходной системы дифференциальных уравнений (3.141) вычисление производных — наиболее тонкое место во всей обратной задаче. Методы вы числения производных можно разделить на две группы. Первая группа — методы универсальные, не связанные со схемой интегрирования. Сюда относится метод конечных разностей (см. разд. 3.5), точность которого не всегда достаточна для успешного проведения минимизации. В работе [108] предлагается для оценки производных использовать план первого порядка в пространстве параметров около точки 0 . Применение этого метода требует, так же как и метод конечных разностей, (р—1) вычисления функции по крайне мере. Пауэлл [118, 119] предложил численный метод оценки градиента, в котором при каждой итерации переоцениваются компоненты лишь в направлении, задаваемом уравнением.(3.171) или G GS = —G h. Здесь 0 — решение уравнения, фиксирующее стационарную точку системы (3.171) h — вектор [t —/ (0 )], i = 1,.... .., N G — вектор 5/(0 )/39 , j = i,. . R. Симплекс-метод [12, 92, 115] не обладает быстрой сходимостью [117, 124], тем не менее он с успехом используется для оценки производных. [c.224]

При переходе к конечным разностям приобретает форму [c.399]

Систему уравнений (У1П-367) и (УП1-368) обычно решают методом конечных разностей, получая распределения температур и степени превращения как функции расстояния от входа в реактор. [c.337]

Пользуясь для расчета методом конечных разностей и применяя вычислительную машину. Роз и сотрудники [421 вычислили изменения состава юри адсорбции на неподвижных адсорбентах. [c.154]

Решение. Если перейти к конечным разностям, то уравнение (1) примет вид [c.250]

Решение этих уравнений сводится к нахождению соответствующих уравнений в конечных разностях и численному решению последних ка основе исходных данных, соответствующих известным условиям на входе в реактор. Решение осуществляют дво -ным ступенчатым интегрированием для небольшого участка реактора, начиная от его входа, уравнения сначала интегрируют ступенчато по радиусу, а затем процедуру повторяют д. я второго элемента по длине и т. д. [c.58]

Приведенные выше нелинейные дифференциальные уравнения не могут быть решены аналитически. Для их решения Лин Шин-лин и Амундсон 3 использовали метод численного интегрирования с применением конечных разностей. Для проверки сходимости и устойчивости решения, а также оценки ошибки округления необходимы контрольные расчеты. [c.287]

Равенство (IV.75) получается также из сопоставления уравнений материального баланса диффузионной и рециркуляционной моделей [21] путем замены дифференциального уравнения второго порядка уравнением в конечных разностях. [c.104]

Равновесный процесс является предельным типом процесса, абстракцией реальные физические и химические процессы всегда в большей или меньшей степени неравновесны. Примерами крайних случаев неравновесных процессов являются переход энергии горячего тела к холодному в форме теплоты при конечной разности температур, переход механической работы в теплоту при трении, расширение газа в пустоту, самопроизвольное смешение газов или жидкостей путем дис узии, взрыв смеси горючего с окислителем. Эти процессы не могут быть проведены в обратном направлении через те же промежуточные состояния, что и прямые процессы. [c.36]

Дифференциалы можно заменить конечными разностями. Тогда [c.40]

Метод Гроссмана заключается в численно-графическом способе решения дифференциальных уравнений, записанных в виде конечных разностей. [c.161]

Производные, фигурирующие в выражении (И, 158), можно вычислить приближенно как конечные разности в п-ом осевом интервале. Величину Хр можно считать постоянной. [c.194]

Ниже в качестве примера приведена разностная схема в применении к одному члену уравнения для Т. Все приведенные здесь конечные разности являются правильными и имеют второй порядок [c.205]

По этой причине интегрирование методом конечных разностей вблизи 2 = 0 невозможно, и приходится прибегать к аналитическому решению. В решениях, обычно встречающихся в литературе, [c.213]

Явные разностные схемы для интегрирования градиентных систем дифференциальных уравнений. Идея численного интегрирования таких систем состоит в сведении задачи интегрирования систем дифференциальных уравнений к задаче решения систем алгебраических уравнений путем замены производных конечными разностями. В методах этого тида все выражения для оценок можно обобщить формулой [17] [c.214]

Уравнения (У,13) и (У,14) были решены методом конечных разностей На рис. У-9,а демонстрируются кривые для осесимметричной системы. [c.181]

Здесь X — степень превращения, а производную можно заменить отношением конечных разностей. [c.77]

В связи с этим были даны [29] три упрощенных способа расчета. Первый отличается от точного тем, что в нем для нахождения продолжительности фильтрования применяется метод конечных разностей вместо графического интегрирования во втором используется приближенная линейная характеристика насоса вместо кривой в третьем применяется приближенная двухступенчатая характеристика насоса (кривая заменена горизонтальным и вертикальным участками, соответствующими фильтрованию при постоянных разности давлений и скорости процесса). [c.43]

Созданы и более эффективные, чем такой пристрелочный , методы. В частности, широко используется метод конечных разностей. Проиллюстрируем его на примере решения уравнения второго порядка [c.148]

Теперь легко осуш ествить итерационную программу вычислений Mj, Nj, а затем по ним и у в точках 1, 2,. .., и—1. Создан ряд вариантов сочетания методов конечных разностей и прогонки, когда краевые условия заданы не только в виде чисел, но и в виде функций. [c.149]

Уравнения типа (У.9) относят к параболическим и, как и любые уравнения в частных производных, решают методом сеток. По этому методу всю область изменения г и а делят сеткой (рис. У-1). В узлах сетки рассматриваются функции дискретного аргумента (сеточные функции) на сетке производные заменяют отношением конечных разностей. Точность метода зависит от выбора сетки и способа аппроксимации производных. Координаты узла сетки в точке г/, очевидно, следующие [c.149]

Последнее уравнение легко интегрируется, переходя в уравнение в конечных разностях [c.162]

Для данной суспензии при определенной температуре и постоянной разности давлений величина К является постоянной. После дифференцирования уравнения (IV,9) по q, замены первой производной отнощением конечных разностей и несложных преобразований получается следующее основное уравнение [c.130]

На основании проведенных таким образом опытов можно построить график уменьшения-скорости фильтрования для процесса при постоянной разности давлений или повышения разности давлений для процесса при постоянной скорости фильтрования в зависимости от времени. Такой график позволит установить для производственного фильтра продолжительность процесса, при которой достигается наименьшая целесообразная величина конечной скорости фильтрования или наибольшая допустимая величина конечной разности давлений [156]. [c.153]

Методом конечных разностей (МКР) и элементов (МКЭ) проведены расчеты напряженного состояния со- [c.283]

Для определения характера прогрева конструкций при пожаре и фиксирования времени достижения критической температуры при различных значениях ijj и Vt может быть использован метод конечных разностей [см. формулы (6.19) —(6.22)]. [c.189]

Астарита и Марруччи [9] предложили решение уравнения (4.11) в конечных разностях, которое является очень простым в использовании и дает хорошую аппроксимацию для любого практического случая. Его применение к случаю, в котором Со = с, показывает, что уравнение (3.24) с хорошим приближением описывает предельное распределение концентраций при [c.53]

Ин г a уравнение в конечных разностях можно упростить удачным выбором кик. Так, дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее теплопередачу [c.399]

Точность зависимости (III.26) повышается с увеличением числа ячеек п, так как при этом становится корректнее принятая в работе [21] для диффузионной модели замена производных конечными разностями. Однако при п—уоо и / = onst правая часть [c.45]

Неравновесные процессы возникают при наличии между разными частями системы конечных разностей зиаченнй таких параметров, как температура, аавление, концентрации, электрический потенциал. [c.110]

Уравнения (11,64) и (11,65) следует решать совместно, так как скорость реакции Г зависит от всех у , а также от температуры 1. Можно принять, что исходные вещества всегда находятся в стехио-метрическом соотношении. Ввиду этого последние уравнения можно отнести только к веществу, определяющему скорость реакций, а затем представить их в виде конечных разностей и решить совместно графическим или численным методом. Вместо мольной доли можно ввести степень превращения истодного вещества /. Тогда [c.169]

Это дифференциальное уравнение не поддается аналитическому решению ввиду отсутствия данных о зависимости температур 0 и I2 от длины слоя. Для его рещения Паштори, Шугерл и Бакос воспользовались методом конечных разностей. Слой катализатора был разбит на несколько частей вдоль оси. Тепловой баланс для каждой части имеет вид [c.173]

При расчете по методу Крэнка производные в радиальном направлении заменяются средними конечными разностями в точках I и ( +1) при направлении [c.205]

Производную (дТ1д ) 1 находим из уравнения (11,211). Выражение для Т 1 в конечных разностях содержит величины, +Т- [c.206]

На рис. ИМ представлена зависимость функций fl и /г от т] здесь же даны численные рещения Фана и Байлье , полученные по методу конечных разностей при X — 0,2. [c.224]

Поскольку уравнения (V,26) и (V,27) являются приближенными, было проведено численное решение уравнений (V,19) и (V,20) относительно области PQSRO (рис. V,3) для граничных условий, заданных выражениями (V,21)—(V,23). Все уравнения были преобразованы в безразмерную форму путем введения Р/ = PfIPpga и г/ = у1а, г = г а (или х = ж/а) в этом случае уравнение (V.23) принимает вид dpfldy = 1. Эквиваленты конечных разностей для результирующих уравнений приведены в цитируемой работе Стюарта . При расчете по этим уравнениям на вычислительной машине были получены значения р и определена скорость и по уравнению [c.187]

С двухточечными краевыми условиями у (а) = а, у (Ь) = Заменим производные у" и у конечными разностями для участка А = Ь а)1п. Для точек /—1, / и + 1, отстояш,их на расстоянии и, имеем [c.148]

Подставляя в (XI.6) вместо производной отношение конечных разностей, полученных из опытных данных при х = onst, можна рассчитать энергию активации реакции. [c.425]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология