Разложения в степенные ряды

Обычным законом возрастания времени реакции будет логарифмический закон, справедливый в случае, когда производная йг/йС при С = О существует и не равна нулю. Но в случае реакции второго порядка типа 2А1 продукты, или А1 + продукты (при сте-хиометрическом соотношении между начальными концентрациями обоих реагирующих веществ) т = 2 л I — С . Более высокие значения 7 г практически не встречаются. Существуют формальные кинетические зависимости, не допускающие разложения в степенной ряд в окрестности нуля. Распространенный пример такой кинетической зависимости дает реакция дробного или отрицательного порядка [г С) — С" при п а 1]. В этом случае время, необходимое для достижения полного превращения, оказывается конечным. Однако на самом деле подобные кинетические зависимости никогда не остаются [c.64]

Прежде всего представим нелинейную систему дифференциальных уравнений (8.42) в форме системы линейных и квазилинейных интегральных Зфавнений. Как уже отмечалось, это можно сделать либо путем разложения в степенной ряд решения нелинейного дифференциального уравнения по специальным образом введенному параметру [8 ] (этот метод подробно изложен также в работе [15]), либо с помощью специальной замены переменных [15]. В данном случае к цели быстрее приводит второй метод. Последовательно преобразуем каждое из уравнений системы (8.42) к интегральному виду. [c.485]

Интересно отметить, что разложение в степенной ряд по плотности было произведено почти одновременно как экспериментаторами, так и теоретиками. Но этому не следует придавать большого значения так же, как и форме уравнения, хотя коэффициенты каждого члена уравнения имеют простую и определенную физическую интерпретацию. Правда, вириальное уравнение состояния необходимо, как воздух, но, видимо, не из-за отражения глубокого физического смысла, а из-за пути решения всех проблем (когда все, что бы вы ни пробовали, не получилось, берите степенной ряд ). Это относится и к экспериментаторам, которые не могут получить эмпирически универсальное уравнение состояния в замкнутой форме, и к теоретикам, которые не могут вычислить вириал Клаузиуса или фазовый интеграл Гиббса. Вряд ли вызывает удивление тот факт, что коэффициенты двух разложений могут быть приравнены. С позиций пристрастной критики можно было бы не без основания утверждать, что вириальное уравнение состояния есть больше акт полной безнадежности, чем изящное выражение строгого физического закона. Тем не менее к настоящему времени с помощью вириального [c.13]

Поэтому необходимо воспользоваться приближенной схемой в виде разложения в степенной ряд по некоторому физическому параметру. Таким параметром может быть V где V есть мера размера системы или полное число заключенных в ней частиц. [c.177]

Чтобы получить разложение в степенной ряд переходной функции, нужно применить обратное преобразование Лапласа к функции №(р) р, для которой из [c.113]

Воспользуемся разложением в степенной ряд экспоненты из [c.133]

В результате разложения в степенной ряд экспоненциального члена, входящего в уравнение (10.4), получаем [c.282]

Разложение в степенной ряд искомого интеграла можно получить иначе. Если мы ищем интегральную кривую, проходящую через точку (в, Ь). то полагаем [c.271]

Более сложным является анализ нелинейных систем, для которых отклик у 1) представляет собой нелинейную функцию х 1). Только небольшая часть теоретических результатов, полученных к настоящему времени, имеет универсальную применимость. В большинстве случаев здесь важную роль играют конкретные свойства рассматриваемой системы. Однако общее рассмотрение возможно, если нелинейности являются слабыми и когда разложения в степенные ряды сходятся [4.14—4.17]. [c.124]

Населенности Ммт приведены на фиг. 10.4 индексы М и. т — соответственно проекции электронного спина 8 = 2 я ядерного спина / = 1 на направление магнитного поля. Используя разложения в степенные ряды в формуле (7) и оставляя только главные члены, получаем для ядерной поляризации [c.351]

Поскольку функция Ф (х) не табулирована, проведем ее разложение в степенной ряд [c.149]

Если вычислять коэффициенты активности в виде разложений в степенные ряды по [c.40]

Если вычислять коэффициенты активности в виде разложений в степенные ряды по п с точностью до членов л включительно, то необходимо учитывать только типы произведений, изображенные на рис. 10. Соответствующие соображения [c.40]

При малых колебаниях каждое смещение атома в декартовой системе координат можно представить как функцию естественных координат, используя разложение в степенной ряд и отбрасывая высщие члены, тогда [c.187]

Формы колебаний, как уже отмечалось, нужны и для решения прямой и обратной электрооптических задач. Согласно классической теории электромагнетизма при изменении электрического дипольного момента системы с частотой V может излучаться или поглощаться электромагнитное излучение данной частоты (длины волн). Собственный дипольный момент молекулы ц или его проекции могут быть представлены при малых колебаниях в виде разложения в степенной ряд по нормальной координате Р. Если отбросить высшие члены разложения, то можно говорить об изменения собственного дипольного момента с частотой Vft, т. е. о появлении и зависимости интенсивности полос поглощения ИК излучения данной частоты от значения первой производной в точке равно- [c.189]

Важный вывод, касающийся влияния экспериментальных условий на величину и, может быть сделан исходя из формулы (1.23) после разложения в степенной ряд и использования предельного условия У а Ог О. Разложение в ряд выражения [c.21]

Уравнение (740) не решается относительно Хо в явном виде. Определение корней этого уравнения в явном виде может быть произведено лишь путем разложения в степенные ряды функции sin Pxq и os рХо-Для достижения удовлетворительного приближения необходимо сохранить в этих рядах члены вида (Рхц) При этом получается полное уравнение четвертой степени, решение которого представляет определенные вычислительные трудности. [c.270]

Предполагая, что х(гп) допускает разложение в степенной ряд, приходим к формуле [c.373]

Разность максимальных значений огибающей напряжения на выходе фильтра, найденных по СФ и АЧС воздействующего процесса, вызвана наличием четных членов в разложении модуля и аргумента СФ процесса в пределах полосы пропускания этого фильтра. Если при разложении в степенной ряд модуля и аргумента СФ процесса, воздействующего на фильтр, в пределах полосы пропускания фильтра можно без больших погрешностей ограничиться двумя членами, то методическая погрешность, обусловленная применением АЧС, стремится к нулю, в частности, это полностью справедливо для кратковременных импульсов. [c.74]

При вычислении распределений по известным производящим функциям возникает задача определения коэффициентов разложения их в степенной ряд. Однако, как следует из Дополнения У, производящие функции, получающиеся при расчете ветвящегося процесса, задаются в неявном виде, как, например, в формулах (Д.У.б), (Д.У.13) и (Д.У.12), (Д.У.14). Поэтому удобно воспользоваться формулами для разложения в степенные ряды неявных функций. Пусть зависимость и ) определяется уравнением [c.359]

Тогда разложение в степенной ряд произвольной функции Н и) по степеням 8 будет следующим [c.359]

РАЗЛОЖЕНИЯ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ [c.578]

Это уравнение можно использовать при условии Zjn i/DkT С 1. В этом случае экспоненциальный член может быть разложен в степенной ряд [c.448]

Ряды Фурье отличаются от степенных рядов во многих существенных отношениях. Интервалы сходимости степенных рядов для разных функций различны с другой стороны, для рядов Фурье (Е-1) интервал сходимости всегда есть (— я, + я). Далее, для многих функций разложение в степенные ряды вообще невозможно, тогда как ряды Фурье позволяют представить почти все функции, вплоть до самых экстраординарных. [c.22]

Диссипативная функция ФХС определяет все возможные виды энергозатрат внутри системы на протекание необратимых процессов различной физико-химической природы химической, тепловой, диффузионной, гидромеханической, магнитной, электрической и т. п. В общем случае каждый поток / , входящий в выражение (1) для диссипативной функции, является сложной нелинейной функцией сопряженных и несонряженных движущих сил б . Обычно функции такого типа обладают аналитическими свойствами и допускают разложение в степенной ряд [c.7]

Куйкен [19] рассмотрел неизотермические вертикальные цилиндры и конусы с закрытым основанием, когда температура поверхности изменяется по закону to — tao = Nx . Решение при различных числах Прандтля получено разложением в степенные ряды. Исследовано также условие постоянной плотности теплового потока на поверхности. Найдено, что температура поверхности цилиндра ниже, чем плоской пластины, что указывает на более высокий коэффициент теплоотдачи. Избыточная [c.187]

Попытаемся теперь найти цензвестную функцию R x), представив ее в виде разложения в ряд. Воспользуемся разложением в степенной ряд [c.45]

Формз ла (VI.20) получена разложением в степенные ряды функций Бесселя, входящих в точное рещеиие для 2к и щренебрежением членами высшего порядка по параметру рсо /С. С помощью формулы (VI.20) по экспериментально оиределепной величине можно найти С, поскольку эта формула является квадратным уравнением с известными (и постоянными для каждой частоты) коэффициентами. [c.125]

В. Я. Шкадов [108] предложил новый подход к анализу пленочного течения, основанный на методе преобразования Фурье. Путем представления профиля скорости в виде разложения в ряд Фурье оказалось возможным развить метод решения, отличный от общепринятого метода разложения в степенной ряд по малым волновым амплитудам. Однако в рамках этой методики два параметра из четырех, а именно числа Рейнольдса, толщины пленки, длины волны и фазовой скорости, остаются произвольными. Таким образом, в отличие от случая бесконечно малых амплитуд задача не может быть решена в замкнутой форме, без привлечения дополнительных физических гипотез. В качестве такой гипотезы было использовано условие минимума толщины пленки при заданной скорости расхода. Устанавливающийся в результате режим (для случая длин волн, значительно превышающих среднюю толщину пленки) был назван оптимальным волновым режимом на том основании, что, как это следует из проведенного тем же автором [108] анализа устойчивости методами нелинейной теории возмущений, он устойчив по отношению к возмущениям с основными волновыми параметрами, аналогичными таковым в начальном волновом режиме. Однако ряд строгих ограничений развиваемого метода имеет своей причиной использование уравнений пограничного слоя для описания распределения скорости в пленке. Можно показать, что применение системы уравнений пограничного слоя к пленочному течению обоснованно только в очень небольшом диапазоне чисел Рейнольдса [c.60]

Формулы (1.53) и (1.60) можно рассматривать как первые члены разложения в степенной ряд некоторой функции IV (Е , Е ). Добавление новых членов ряда позволяет улучпшть соответствие теории эксперименту. Так, если оказывается, что потенциал МР недостаточно хорошо описывает опытные данные, то можно ввести следующий член ряда, предполагая, что зависимость Ж Е , Е ) должна включать, например, также квадратичный член по первому инварианту. Тогда функция представится следующим образом [c.64]

Формула (4.41) по существу представляет разложение в степенной ряд контура, близкого к допплеровскому [ср. с формулой (4.2)]. Первые два члена разложения (4.41) даны Митчеллом и Земанским [1], следующие три оценены в работе [2], и, наконец, все выражение приведено Харрисом [14]. Функция Р ) протабулирована в работе [15]. При использовании первых трех членов разложения (4.41) точность результата получается порядка 0,08% и даже выше, если 0<а<0,2. Численные значения ехр (— ) и коэффициентов а, а , а и а" в разложении (4.41) затабулированы в [14] в зависимости от величины изменяющейся в диапазоне 0< <12. Эти данные воспроизведены в табл. 4.2. Для больших значений /а хорошее приближение представляет упоминавшаяся ранее асимптотическая форма. [c.55]

Требуемое соотношение получают просто разложением в степенной ряд каждого члена, стоящего под знаком суммы в уравнении (18-13). Поскольку 51пл =л —х /3 +х /5 —получим [c.350]

При расчетах Ф потенциальную энергию фдисп представляли или одним первым членом ее разложения в степенной ряд (6.7), или учитывали несколько (2 или 3) первых членов этого разложения. Эффект перекрывания зарядов на разложение (6.7) не учитывался. Для описания межмолекулярного взаимодействия силовых центров неполярных молекул с силовыми центрами неполярных твердых тел были использованы главным образом следующие модельные потенциалы ф 1) потенциал Леннард-Джонса (6, 12) [c.91]

Интересный, но еще не опробированный метод учета экстинкции (как первичной так и вторичной) предложил Чандрасекар . Ему удалось показать, что при разложении в степенной ряд теоретической формулы интенсивности, учитывающей первичную-или вторичную экстинкции, и при пренебрежении степенными членами высших порядков получается сравнительно простое соотношение, содержащее структурный и поляризационный факторы F P не только в первой, но и во второй степени [c.78]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология