Системы уравнений пограничного слоя для различных

Различные формы представления уравнений пограничного слоя. То, что система уравнений пограничного слоя более проста, чем исходная система уравнений Навье-Стокса, становится особенно очевидным, если ввести функцию тока х, у) соотношениями х = дф/ду, у = —дф/дх, автоматически удовлетворяющими уравнению неразрывности. Применение операции го1 к уравнению движения в общем случае позволяет получить для функции тока следующее уравнение в частных производных четвертого порядка [1] [c.166]

Для удобства читателя теория ламинарного пограничного слоя, представленная со многими ее разветвлениями, излагается на основе единой формы записи системы дифференциальных уравнений, полученной путем преобразования общепринятых уравнений пограничного слоя. Теория турбулентного пограничного слоя излагается также на основе единой системы уравнений пограничного слоя. Это позволяет избежать утомительных преобразований уравнений пограничного слоя. При этом не происходит потери общности, так как учет влияния химических реакций, массопереноса, плавления поверхности, взаимодействия ударной волны с пограничным слоем, формы тела и градиентов давления делается без применения преобразований к различным граничным условиям. [c.8]

Глава 5 посвящена методам численного моделирования течений в пограничных слоях, струях и каналах. Теория пограничного слоя — один из важнейших разделов современной гидрогазодинамики. Она нашла широкое распространение и применение для расчета трения и теплопередачи на телах, движущихся в потоке жидкости и газа. Методы теории пограничного слоя используются также для анализа течений в следах за движущимися телами, течений в струях и течений в каналах. В главе 5 сначала формулируются основные математические задачи, которые моделируют указанные течения, затем на примере простейшей системы уравнений теории пограничного слоя — уравнений Прандтля — строится разностная схема и приводится алгоритм расчета. Далее этот метод обобщается п дается описание схемы (получившей название основной) для интегрирования систем уравнений типа пограничного сдоя. Решение стационарных задач пограничного слоя разностными методами получило в настоящее время широкое распространение. Методы, описанные в этой главе, оказались легко применимыми к различным задачам этого класса и достаточно эффективными с точки зрения скорости счета и загрузки оперативной памяти ЭВМ, что позволяет применять их на машинах малой и средней мощности. [c.13]

Для описания математических моделей химико-технологических процессов используются системы дифференциальных уравнений в обыкновенных либо в частных производных с различного типа граничными и начальными условиями. Причем нелинейности, как правило, входят в свободные члены уравнений п описывают кинетические закономерности процессов, а коэффициенты перед производными зависят только от пространственных координат и времени либо вообще выбираются постоянными. В настоящее время [1, 2] достаточно полно разработаны и исследованы численные методы приближенного решения краевых задач такого вида. Однако численный анализ моделей химической технологии сталкивается со значительными трудностями, связанными с наличием у большинства процессов больших, сильно изменяющихся градиентов температурных и концентрационных нолей, вследствие чего применение традиционных конечноразностных методов решения задач с большими градиентами требует слишком мелкого шага дискретизации, что ведет к чрезмерно большому объему вычислительной работы и затрудняет численный анализ математических моделей каталитических процессов на ЭВМ. Большие градиенты искомых решений в задачах химической технологии возникают либо из-за малых параметров перед старшими производными (явление пограничного слоя), либо из-за наличия мощных источников тепла в случае сильноэкзотермических процессов. В вычислительной математике наметились два дополняющих друг друга подхода, позволяющих бороться с указанными трудностями. Первый из них состоит в построении [c.144]

Теплоотдача при умеренных и малых числах Грасгофа. Имеется много прикладных вопросов и экспериментов, в которых реализуются такие условия. Метод пограничного слоя в этих случаях неприменим. Преобладающими оказываются весьма существенные при малых числах Грасгофа явления, связанные с кривизной пограничного слоя, которыми пренебрегают в анализе методом пограничного слоя. В этом случае требуется получить более детальное решение полной системы двумерных уравнений Навье — Стокса совместно с уравнением энергии. В работе [133] получено одно из таких численных решений при Рг=0,72 для чисел Грасгофа Ог от 10 до умеренных величин порядка 10 . Использовано преобразование типа преобразования Блазиуса (см. выражения (5.4.24) и разложения (5.4.28) — (5.4.30)), и уравнения относительно главных членов разложений, функций /о и фо, решены численным методом. На рис. 5.4.4 показаны расчетные профили температуры и скорости при различных величинах ОТ . С уменьшением числа Грасгофа профили температуры, по-видимому, почти перестают зависеть от Ог . Но приведенные в следующей таблице величины о(О) значительно изменяются в зависимости от Сг [c.264]

Расчет характеристик устойчивости развивающихся при естественной конвекции течений различного типа, которые рассматривались в разд. 11.2, 11.8—11.10 и 11.12, основан на обычных предположениях теории пограничного слоя и параллельности течения. С помощью этих предположений из системы полных уравнений устойчивости (11.2.11) — (11.2.13) были получены путем исключения некоторых членов порядка 0(0- ) уравнения Орра — Зоммерфельда (11.2.30) и (11.2.31). Члены такого же порядка малости исключались и из уравнений основного осредненного течения. Можно показать, что эти члены уравнений содержат производные более низкого порядка, чем члены в правой части уравнений (11.3.30), (11.2.31), и поэтому ими можно пренебречь. [c.109]

При моделировании процесса ионного обмена, по какому бы из указанных выше направлений не велось исследование, один из самых его ответственных этапов — это качественный и количественный учет неравновесности ионного обмена, обусловленный элементарными диффузионными процессами как в пограничном слое, окружающем зерно ионита, так и внутри самого зерна, а также собственно химическим актом между обменивающимися ионами и матрицей ионита (см. гл. И). Учет этот может быть осуществлен различными путями либо кинетическим анализом процесса и его механизма — путем использования экспериментальных данных и зависимостей для установления численных значений отдельных параметров модели и связи между ними, либо непосредственной оценкой перечисленных выше факторов неравновесности при составлении системы дифференциальных уравнений описывающих процесс. Широкое использование ЭВМ позволяет объединить эти пути, не упрощая при этом излишне модели, например, при описании переноса вещества через пограничный диффузионный слой. Так, модель массопереноса при ионном обмене включает в общем случае описание диффузии внутри ионита, переноса вещества на границе раздела взаимодействующих фаз, конвективной диффузии в сплошной фазе с учетом гидродинамической обстановки в слое ионита и т. д. [c.94]

Когда скорость переноса в пограничном слое (застойной зоне) частиц значительно больше скорости обмена между дискретной и непрерывной фазами, упрощенная система уравнений модели (с. 90) будет также очень близкой к полученной системе (П-68). Поэтому дальше будем рассматривать только одну модель, описываемую системой уравнений (П-68), структура которой обобщает различные гидродинамические модели процесса. [c.96]

Случай Рг=5 1. Для большинства теплоносителей число Прандтля отлично от единицы. При Рг ф 1 поля продольной скорости и температуры в пограничном слое не совпадают, поэтому первое и третье дифференциальные уравнения системы (4.24) имеют различные численные значения коэффициентов при конвективных слагаемых. Общая методика решения здесь остается прежней— с использованием результатов решения гидродинамической задачи. Значения производных избыточной температуры д = выражаются через комплексную переменную [c.63]

Ранее (см. 9.4) это значение Nu было получено другим способом. Выражение типа (10.10) может быть получено и для течения в кольцевом канале (в пространстве между двумя коаксиальными трубами). Наряду с интегралом Лайона для нахождения чисел Нуссельта используют метод непосредственного интегрирования уравнения энергии, а при переменных свойствах жидкости и для условий течения на начальном гидродинамическом участке — полную систему уравнений конвективного теплообмена. Для замыкания системы применяют различные модели турбулентности (составляют уравнение баланса турбулентной энергии, вводят гипотезы для V.J, и др.). Иногда привлекают методы теории пограничного слоя. [c.267]

Структура теорий, помещенных над горизонтальной чертой и под ней, характеризуется выбором различного рода. С математической точки зрения расчетные методы, расположенные выше черты в табл. 0.2-1, должны включать тот или иной из известных способов решения параболической системы дифференциальных уравнений в частных производных. Теории, помещенные ниже линии, опираются на конечную совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений, выбранных расчетчиком из множества уже используемых и тех, которые можно использовать. Выбор физических предпосылок в одинаковой мере обширен. Теории, находящиеся над линией, позволяют сделать выбор из нескольких выражений для эффективной вязкости, а для явно интегральных теорий выбор должен быть сделан из соответствующих соотношений, полученных обобщением экспериментальных данных, которые связывают различные интегральные характеристики пограничного слоя. [c.11]

Система уравнений пограничного слоя и его основные свойства. Применительно к задачам химической технологии наибольший интерес представляет взаимодействие течений вязкой жидкости с различными телами элементами технологического оборудования, стенками труб, колонн, реакторов, насадкой. Как правило, эти течения характеризуются большими значениями числа Рейнольдса. Рассмотрим особенности асимптотики Ке-> оо, моделирующие так называемую жидкость с исчезающей вязкостью. Однако не следует- понимать этот термин буквально, как [c.164]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-пии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энерпш для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Мотулевич В. П. Система уравнений ламинарного пограничного слоя с учетом химической реакции и различных видов диффузии. Тепло- и массообмен в истоке несжимаемой жидкости при гетерогенных химических реакциях. — В кн. Физическая газодинамика, теплообмен и термодинамика газов высоких температур.—М. Изд-во АН СССР, 1962. с. 159— 180. [c.221]

Анализ основных положений приведенных выше взглядов различных исследователей по вопросу массопередачи в системе газ — жидкость, проведенный А. М. Розеном, Б. А. Кадером и В. С. Крыловым, освещен в монографии Астариа [180]. Авторы считают, что значительная часть существующих в настоящее время теорий массопередачи использует слишком грубые допущения и подменяет учет конкретных гидродинамических условий введением не поддающихся расчету и недоступных для непосредственного наблюдения и количественного определения различных параметров. С их точки зрения представляется перспективной теория диффузионного пограничного слоя, дающая возможность введением физически обоснованных упрощений преодолеть математические трудности, связанные с решением уравнения конвективной диффузии и подойти к описанию турбулентного режима массопередачи. [c.270]

Кинетика гетерогенных процессов обмена в общем случае определяется скоростяхми протекания целого комплекса микро-и макроскопических процессов скоростями химических реакций, интенсивностью адсорбционно-десорбционных процессов, скоростью диффузии реагентов в гидродинамическом пограничном слое и т.д. Полное и точное математическое описание всех этих процессов приводит к громоздким системам дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, решение которых с необходимой точностью не всегда удается получить не только аналитически, но даже численными методами. Трудности полного математического описания кинетики гетерогенных процессов являются причиной широкого распространения методов формальной кинетики, в которой используются линейные или нелинейные кинетические дифференциальные уравнения, в состав которых входят константы, определяемые в результате обработки экспериментальных данных. Такие кинетические уравнения удовлетворительно описывают кинетику процессов обычно только для отдельных элементов общей поверхности межфазного контакта для отдельного зерна катализатора, для единичного элемента диспергированного адсорбента и т. д. С другой стороны, расчет технологических процессов требует анализа кинетики гетерогенного обмена для всей поверхности межфазного контакта, с учетом реальных условий протекания процесса в конкретном аппарате или реакторе. На практике в большинстве случаев условия протекания гетерогенного обмена неодинаковы в различных частях общей поверхности межфазного контакта и могут различным образом изменяться во времени. Причинами этого являются застойные зоны, флуктуации скоростей относительного движения фаз, пузыри и каналообразованне в реакторах с кипящим слоем и т. д. Таким образом, даже если в распоряжении исследователя имеется адекватное математическое описание кинетики процесса для отдельного элемента поверхности межфазного контакта, переход к описанию кинетики исследуемого процесса на всей поверхности межфазного контакта в условиях реального промышленного аппарата может оказаться достаточно сложным вследствие того, что многие физические процессы, влияющие на функционирование реальных аппаратов, имеют стохастическую природу. [c.197]

Следует отметить, что система уравнений (2.2.1) достаточно громоздкая. Поэтому в работе [53] проанализировано влияние различных членов уравнений усто11чивости и предложена более простая система уравнений, пригодная при умеренных числах Маха для течения в пограничном слое. Дополнительный анализ члехгов уравнений устойчивости выполнен в [54]. Подробпо эти вопросы обсуждались в [55]. Сейчас в практических расчетах используют упрощенную систему уравнений [52, 53], называемую системой Да- [c.49]

Глава 2 содержит детальное описание конечно-разностного метода решения. Сначала разбирается новое положение данного метода ( 2.1), а именно согласование выбора системы координат с требо-гзанием, чтобы размеры сетки всегда были скоррелированы с нараста-ппем или убыванием толщины пограничного слоя. В этом случае возможна удобная трансформация дифференциальных уравнений ( 2.2). В 2.3 выводится важная формула для степени увлечения жидкости через границу слоя, с помощью которой регулируется и контролируется ширина сетки. Остальная часть главы посвящена разбору различных деталей конечно-разностного метода составлению разностных уравнений, обсуждению граничных условий, решению результирующих алгебраических уравнений и т. д. [c.23]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология