Евклид

Z/= Z/-t- Zs Zr = Z/n = 27 Z, = Z n = 15, по алгоритму Евклида 50 = 1 Л гО = 2 лг, = - Zs = [-] 4 Nr = NrO Z/ = [-] 7. Соотношение Zr/Zj = 27/15 обеспечивает получение СПИ с п = [c.82]

Одним из характерных признаков кристаллов является их симметрия. Симметрией называется свойство бесконечного пространства или его конечной области (фигуры, тела) совмещаться самим с собой после выполнения некоторых преобразований или операций называемых преобразованиями или операциями симметрии. Пространством может быть не только пространство Евклида, но и любое физическое пространство, нанример, поля тяготения, электрических зарядов и т. д., анизотропные кристаллические пространства и их части — кристалл, упруго-напряженные пластинки и т. п. [c.39]

Трехмерное пространство Евклида гомогенно, непрерывно, изотропно и бесконечно. В нем нет ни особых точек, а при отсутствии в нем тел — ни меток, ни реперов. Пространство Евклида совмещается само с собою при любых преобразованиях симметрии отражениях в любых плоскостях симметрии, поворотах около любых прямых на любые углы, при трансляциях по любому направлению на отрезки любой длины, включая бесконечно малые переносы. Симметрия пространства Евклида полностью вырождена. Каждая точка пространства Евклида обладает симметрией шара. Сплошная упругая, изотропная среда (например, плексиглас) является примером физического пространства с вырожденной симметрией. Поле ориентированных механических напряжений делает такую среду анизотропной и снимает вырождение. В неоднородном поле напряжений (изгиб, кручение) характер и степень анизотропии меняются от точки к точке. В однородном поле (растяжение, сдвиг) они одинаковы во всех точках среды, симметрия которой в этом случае определяется ее симметрией в одной точке. [c.49]

Трансляции размножают элементы симметрии кристаллического класса в семейство параллельных элементов симметрии (см. рис. II.9) и преобразуют поворотные оси симметрии в винтовые, а зеркальные плоскости — в плоскости скользящего отражения. В результате из каждого кристаллического класса образуется несколько пространственных групп. Общее число пространственных групп 230. Это значит, что помимо одного непрерывного и изотропного пространства Евклида существует 230 типов дискретных и анизотропных периодических пространств, представителями которых являются кристаллы. В числе 230 [c.60]

Маккей [25] считает формализм Международных таблиц для рентгеновской кристаллографии [19] слишком жестким и цитирует историка математики Белла, который описывает строгость формализма евклидовой геометрии Ковбои умеют связывать молодых бычков или необъезженных лошадей так, что животное не может двигаться. Это своего рода мертвый узел , и именно так поступил Евклид с геометрией . [c.433]

Наибольший общий делитель двух чисел можно найти, пользуясь алгоритмом Евклида, использующим рекурсивно равенство х,у) = = [у,х mod у). Если делить большее число иа меньшее, то за каждые два шага длина записи меньшего числа уменьшается на константу. [c.40]

Шаг. 3. Выбираем случайное а среди чисел от 1 до у, вычисляем г = реГу(а) (используя имеющийся по предпо.чожению алгоритм нахождения периода) и, если г — нечётное, то ответ у — простое . В противном случае находим d = — 1, у) (скажем, алгоритмом Евклида) и переходим к шагу 4. [c.94]

В геометрии Евклида прямая, соединяющая точки Л и В, [c.25]

В котором ( 8 определяется соотношением (1,5). В пространствах, не подчиняющихся геометрии Евклида, условие [c.25]

Итак, мы перечислили все основные законы термодинамики, разъяснив их и даже сделав некоторые выводы ка их основании. Однако исходные утверждения заключают в себе все возможные выводы. Эти четыре закона служат такой же основой для всех термодинамических соотношений, какой, например, являются постулаты Евклида в евклидовой геометрии или законы Ньютона в ньютоновской механике. Но в отличие от евклидовой геометрии и ньютоновской механики термодинамика в настоящее время, по-видимому, не является только лишь одной из нескольких систем постулатов, пригодных для изучения взаимосвязи материи и энергии. [c.327]

Наличие трансляции, характерной для винтовой оси спирали, не ограничивает частицы по длине. Частицы с подобной симметрией всегда имеют удлиненную форму. В случае ВТМ длина частицы ограничивается только РНК, но не элементами симметрии. Для сферических вирусов характерны другие элементы симметрии, а именно не винтовые, а простые поворотные оси симметрии. Взаимное расположение субъединиц в сферических вирусах соответствует одной из пяти правильных фигур Платона, описанных еще Евклидом. Как показывают рентгенографические данные и прямые наблюдения с помощью электронного микроскопа, белковые субъединицы расположены таким образом, что вирус принимает форму икосаэдра. Симметрия белковой оболочки вируса, лишенной РНК, может отличаться от симметрии полной вирусной частицы. [c.365]

Массовость алгорифма Евклида заключается в том, что его можно применить к любой паре целых положительных чисел. Результативность его состоит в том, что он определяет процесс, приводящий для любой пары положительных чисел к получению их общего наибольшего делителя. Определенность алгорифма Евклида обеспечивается тем, что исполнитель умеет выполнять определяемые пунктами алгорифма действия и однозначно понимает, каких действий требует каждый пункт, [c.55]

Пример 1.32. Вернемся к алгорифму Евклида. Обозначим его элементарные предписания в порядке их номеров, указанных в примере 1.31 соответственно через Q,, Q Qi, Q , С,. [c.56]

Дальнейшее выполнение алгорифма Евклида представляет собой нижеприведенную последовательность преобр азований [c.56]

Евклид — древнегреческий математик. Работал в Александрии в [c.281]

Скажем несколько слов о самой теории чисел. Она состоит из двух частей. Одна часть содержит важные, фундаментальные результаты. Среди них теорема Евклида о суш,ествовании бесконечного множества простых чисел и теорема о единственности разложения любого целого числа на простые множители. [c.21]

Впрочем, и события прошлого не оправдывали оптимизма Пуанкаре. Речь идет о получивших к тому времени признание неевклидовых геометриях. Можно было спорить о том, каким является реальное физическое пространство, но бесспорным оставался факт, что умозрительно установить справедливость геометрии Евклида и, в частности, его пятого постулата невозможно. Для математиков это означало, что они в течение двух тысячелетий принимали на веру недоказуемый факт. Впору было задать вопрос, сколько еще недоказуемых утверждений содержит математика и нет ли среди них ошибочных Девятнадцатый век оставил в наследство двадцатому все тот же вопрос об основах математики. По не только его. [c.87]

Первое, что бросается в глаза — разделение труда (и ответственности) между естествоиспытателем (физиком, биологом, статистиком и пр.) и математиком. Математик выбирает важный объект исследования, описывая его с помощью системы аксиом, а естествоиспытатель, имея дело с реальной системой, решает, достаточно ли хорошо она описывается этими аксиомами и можно ли пользоваться вытекающими из них следствиями. Поэтому, например, вопрос о справедливости геометрии Евклида, возникший после открытия неевклидовых геометрий, должен решаться и действительно был решен физиками. Этот вопрос находится вне юрисдикции математики. [c.89]

О непротиворечивости систем аксиом мы уже говорили. Что же такое полнота Начнем с примера. Если в геометрии Евклида отбросить аксиому о параллельных прямых, то, опираясь на остальные аксиомы, невозможно ни доказать ее, ни опровергнуть. В этом смысле система оставшихся аксиом — неполная. Дадим определение полноты системы аксиом. [c.94]

Это неплохое определение, но у него есть очевидный серьезный недостаток. Приведем возможно более тривиальный пример. Вернемся к геометрии Евклида (включая и постулат о параллельных прямых). Абсурдно ожидать, что, опираясь только на геометрию, можно судить, скажем, о возрасте Земли. Поэтому в данном определении следует как-то ограничить круг рассматриваемых утверждений. [c.94]

Евклид (ок. 330—275 до н. э.), древнегреческий математик — 74, 75. [c.612]

Идея аксиоматического метода зародилась в математике. Первой совершенной аксиоматической системой явилась геометрия Евклида. Аксиоматическая структура, сформулированная более 2000 лет назад Евклидом, до сих пор просматривается во многих учебниках по элементарной геометрии. [c.61]

Возьмем опять элементарную геометрию. Современное аксиоматическое построение этой дисциплины было дано Д. Гильбертом, в системе которого понятия точка , прямая вводятся по иному, чем у Евклида. Эти понятия определяются следующим образом точки , прямые — объекты, удовлетворяющие определенным аксиомам (приводятся 20 аксиом Гильберта). Если говорить не очень серьезно, то слова точка , прямая в геометрии Гильберта можно заменить словами пиво , пивная кружка . Если при этом сохранить все правила оперирования терминами, то ничего не изменится. [c.62]

Массу алгоритмов содержит любая отрасль науки, в том числе математика. Вспомним, например, алгоритм сложения десятичных дробей, с которым каждый из нас знакомится в школе, или алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух целых положительных чисел. [c.21]

Прежде всего, очевидно, что каждый алгоритм предполагает наличие некоторых исходных данных и приводит к получению определенного результата. Многие алгоритмы остаются в силе для различных вариантов исходных данных. Например, алгоритм сложения применим к любым парам десятичных дробей, алгоритм Евклида — к любым парам натуральных чисел и т.п. Таким образом, для каждого алгоритма существует некоторое множество допустимых исходных данных и, аналогично, множество допустимых результатов. Элементами обоих множеств могут быть объекты любой природы, однако с математической точки зрения можно считать, что ими могут быть, например, предложения (слова) некоторого языка. Сам алгоритм также можно считать сформулированным на некотором языке, называемом алгоритмическим, в отличие от языка операндов, на котором записаны исходные данные и результаты. [c.22]

ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДА И ЛОБАЧЕВСКОГО [c.65]

В этой главе будет дано краткое построение геометрий Евклида и Лобачевского, исходя из теоретико-групповой точки зрения на геометрию. Этот подход к изучению различных геометрических теорий был предложен известным немецким математиком Ф. Клейном в 1872 г. [c.65]

В следующих двух параграфах мы покажем, как с теоретико-групповой точки зрения строятся геометрии Евклида и Лобачевского. [c.71]

Алгоритмом решения линейных диофантовых уравнений является хорошо известный алгоритм Евклида [243]. Суть этого алгоритма заключается в разложении коэффициентов при неизвестных в цепные дроби с получением подходящих дробей. В этом случае числитель и знаменатель подходящей дроби будет искомым решением уравнения. В общем виде это решение записьтают в виде [c.79]

НО оно не единственно возможное. Выбор способа измерения можно облегчить, если признать, что определение Евклида — это по существу сравнение точек ( 1, Х2) с помощью семейства концентрических окружностей. То, что мы называем евклидовым отрезком, представляет собой радиус окружности, которая проходит через точку, о которой здесь идет речь. Можно видоизменить такое опредет [c.60]

Подобно тому, как геометрия Евклида является лишь одним вариантом геометрии, наряду с которым закономерны, как показал великий русский математик Н. И. Лобачевский, и другие варианты, химия также может существовать в разных вариантах, из которых мы отдаем предпочтение кисло-родно-водному варианту, потому что мы обитаем на планете, в природе которой на первый план выступают кислород как количественно преобладающий элемент и химически активная составная часть ее газовой оболочки — атмосферы, и вода в качестве господствующего растворителя. [c.198]

Пример 1.31. Алгорифм Евклида предназначен для нахождения общего наибольшего делителя двух положительных целых чисел. Если обозначить два положительных целых числа соответственно через X к у, а искомый результат — через г и если считать, что исполнитель алгорифма умеет выполнять операции сложения и вычита- [c.54]

На этом процесс выполнения алгорифма Евклида окончен, и получен искомый результат 2=3, вхождением которого (в данном случае) кон-чаетса последнее полученное слово. [c.56]

Этот период, продолжавшийся вплоть до VIII в., дал нам таких великих ученых, как Архимед (287—212 гг. до и. э.) и Герои (II в. до н. э.), Евклид (III в. до и. э.) и Эрастофен (276—194 гг. до и. э.), прославившихся своими открытиями в области механики, геометрии и астрономии. Химия возникла в конце этой эпохи в результате союза греческой философии и мистических тайных наук Востока. [c.15]

Доказать непротиворечивость какой-либо теории представляется на первый взгляд очень трудной, почти невыполнимой задачей. В самом деле, как проследить все мыслимые следствия из аксиом данной теории и убедиться, что никакие два из них не противоречат друг другу К счастью, имеется простой общий метод, который упрощает эту задачу и часто приводит к цели. Вспомним, что противоречивая система аксиом не имеет ни одного реального или мыслимого объекта, который бы ей удовлетворял. Поэтому теория непротиворечива, если удалось найти хотя бы один подобный объект. Именно таким образом в 1860 г. итальянский математик Эженио Бельтрами (1835-1899) доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского-Болиаи. Он открыл поверхность, на которой действительно выполняются все аксиомы этой геометрии. Существование такой поверхности и ее свойства вытекают из аксиом геометрии Евклида [c.93]

В этом нет парадокса, поскольку из геометрии Евклида вытекает не истинность геометрии Лобачевского-Болиаи, а только ее непротиворечивость. Поясним, что непротиворечивость является свойством системы аксиом. Непротиворечивыми могут быть одновременно обе системы геометрии. Истинность той или иной геометрической системы аксиом — свойство окружающего нас физического пространства. Поэтому невозможно, чтобы обе системы были истинными, они не могут обе правильно описывать физическое пространство. Работа Бельтрами принесла новой геометрии признание математического сообщества. Все согласились с тем, что геометрия Евклида не единственно мыслимая и не обязательно именно она правильно описывает свойства физического пространства. [c.94]

Какой свет способна возжечь в спагирической науке математика, может предвидеть тот, кто посвящен в ее таинства и знает такие главы естественных наук, удачно обработанные математически, как гидравлика, аэрометрия, оптика и др. все, что до того было в этих науках темно, сомнительно и недостоверно, математика сделала ясным, достоверным и очевидным. Правда, многие отрицают возможность положить в основание химии начала механики и отнести ее к числу наук, но отрицают они это, заблудившись в потемках скрытых свойств и не зная, что в изменениях смешанных тел всегда наблюдаются законы механики, а также испытывая недоверие к пустым и ложным умозрениям, которые навязывают ученому миру без какого-либо предварительного опыта иные теоретики, злоупотребляющие своим досугом. Если бы те, которые все свои дни затемняют дымом и сажей и в мозгу которых господствует хаос от массы непродуманных опытов, не гнушались поучиться священным законам геометров, которые некогда были строго установлены Евклидом и в наше время усовершенствованы знаменитым Вольфом, то несомненно могли бы глубже проникнуть в таинства природы, истолкователями которой они себя объявляют. В самом деле, если математики из сопоставления немногих линий выводят очень многие истины, то и для химиков я не вижу никакой иной причины, вследствие которой они не могли бы вывести больше закономерностей из такого обилия имеющихся опытов, кроме незнания математики. [c.75]

Аксиоматический подход за пределами математики встретился со значительнымп трудностями. В области естествознания аксиоматическому построению поддаются лишь такие теоретические системы, которые отличаются максимальной стабильностью понятийного аппарата. К таковым относятся в первую очередь фундаментальные теоретические построения физики. Так, в духе старой аксиоматики Евклида строилась ньютоновская механика. По более формальному образцу строятся некоторые современные математизированные теории аналитическая механика, квантовая механика и т. д. При этом имеются в виду далеко не все изложения названных теорий, а лишь наиболее строгие. Так, в случае квантовой механики об аксиоматическом изложении имеет смысл говорить только по отношению к системам Дирака, фон Неймана и близким к ним по степени строгости. [c.63]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология