Фазовые переменные ограничения

Ограничения, встречающиеся в задачах оптимизации химикотехнологических процессов, можно подразделить на две группы. К первой группе отнесем ограничения, которые налагаются на зависимые переменные ХТС (выходные и промежуточные переменные, а также фазовые переменные внутри аппаратов с распределенными параметрами). [c.143]

Варьируемые параметры и фазовые переменные реактора, как правило, должны лежать в определенных пределах или, как говорят, на переменные налагаются ограничения. [c.55]

Иногда ограничения налагают на фазовые переменные [c.55]

Случай, когда имеются ограничения на фазовые переменные 2 .(t), рассмотрен ниже (стр. 133). [c.130]

Пусть имеется какая-то совокупность кусочно-постоянных управлений ( ) , при которых фазовая переменная х (г) выходит на ограничение [c.133]

Начальные условия имеют вид х (0) = — 1 и г/ (0) = 0. На управляющую переменную и и фазовую переменную у наложены ограничения [c.138]

Наличие ограничений на фазовые переменные, как правило, значительно усложняет решение оптимальных задач. Существуют два пути решения задач с фазовыми ограничениями. Первый путь состоит в получении точных необходимых условий оптимальности и построении на их основе вычислительных процедур. Необходимые условия оптимальности при наличии фазовых ограничений получены в работе [19, с. 285—347], а также в работе [3, с. 130]. Использование метода Ньютона для построения вычислительной процедуры на основе указанных необходимых условий обсуждается в работе [23]. Однако считается, что вычислительные процедуры, найденные на основе необходимых условий для задач с фазовыми ограничениями, достаточно сложны и трудно применимы. Поэтому чаще применяется второй путь, при котором задача с фазовыми ограничениями посредством метода штрафов сводится к задаче без фазовых ограничений 24, 25]. Это делается таким образом. [c.118]

Начальные условия будут (0) = — 1 и х (0) = 0. На управление и фазовую переменную х наложены ограничения и [ 1 и Ха 0,5. Требуется найти такое управление и ( ), чтобы величина [c.119]

Разберем теперь более общий случай, когда на фазовые переменные наложены ограничения типа [c.150]

Чтобы вывести зависимость для второй выходной переменной (fXi), нужно рассмотреть сопряженное математическое описание для приведенного на рис. 70, б сложного блока (VII,97)—(VII,102) с учетом ограничений на фазовые переменные (VII,103). В соответствии с формулами (VII,36)—(VII,39), (VII,61), (VII,65) (приняв Ue = W3), имеем [c.160]

Задачи с дополнительными ограничениями. При наличии ограничений на фазовые переменные анализ задачи с точки зрения получения необходимых условий оптимальности значительно осложняется. Число возможных постановок задач здесь чрезвычайно велико. Причем общая теория таких задач пока отсутствует. Ниже рассмотрен один из случаев, когда удается найти необходимые условия оптимальности в форме, аналогичной выражениям (Х,51) — (Х,55). [c.222]

К первой группе отнесем те, которые налагаются на зависимые переменные системы. К ним относятся выходные и промежуточные переменные системы, а также фазовые переменные аппаратов, являющихся объектами с распределенными параметрами. Ограничения первой группы появляются в случае [c.105]

Случай 2. Наличие фазовых ограничений (I, 11) также существенно затрудняет применение МСП. В работе [131 ] было показано, что применение этого метода в задаче синтеза теплообменных систем может дать неоптимальное решение при наличии ограничений на входные и выходные температуры теплообменников. Такая же ситуация может возникнуть и при его применении для синтеза более общих схем в случае наличия ограничений на фазовые переменные. Действительно, подставим в уравнение (I, 811) выражение для из формулы (1,6) [c.205]

Таким образом, задача оптимизации формулируется следующим образом требуется найти уравнения (координаты) и (/ = 1, 2,..., г) (к = , 2,..., М), удовлетворяющие ограничениям, при которых фазовые переменные (координаты) удовлетворяют уравнениям типа 2.22, 2.23, а также соотношениям связи вида 2.24, при которых критерий Ф (2.54) принимает экстремальное значение. [c.78]

Проблеме оптимизации процессов в химических реакторах посвящен ряд монографий [8—10], поэтому мы ограничимся рассмотрением и обоснованием решения задачи А. Применим для решения этой задачи аппарат динамического программирования при условии соблюдения достаточной общности в постановке задачи. Эти условия сводятся к следующим четырем требованиям 1) управление процессом осуществляется s-вектором 2) процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка при этом порядок исследуемых реакций может быть произвольным, и, следовательно, система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (1) в общем случае не линейна 3) исследуемый процесс является многомерным, т. е. число реагентов может быть произвольным 4) на переменные управления и фазовые переменные наложены ограничения. [c.145]

Ранее был рассмотрен ряд задач оптимизации химического реактора. Нетрудно видеть, что все эти задачи являются частным случаем задач, описанных выше, если не учитывать ограничений на фазовые переменные. Ниже мы рассмотрим отдельно задачу с фазовыми ограничениями и получим для нее условия оптимальности. [c.127]

Первый подход состоит в непосредственном задании ограничения на параметрическую чувствительность фазовых переменных [c.138]

Ограничение может задаваться при этом не на все фазовые переменные, а лишь на те, которые являются критическими с точки зрения нарушения технологического режима. Так, для химического реактора такой переменной является температура внутри реактора. [c.138]

Будем здесь предполагать, что, помимо ограничений на управления [см. (1,12)], имеются также ограничения на некоторые фазовые переменные схемы. Для простоты рассуждений примем, что ограничения на фазовые переменные имеют следующий вид [c.196]

Рассмотрим теперь возможности использования одного только метода проектирования градиента (и. г. 1). Основное преимущество его в данном случае будет состоять в том, что все переменные принимаются равноправными, а это в свою очередь очень просто позволяет учесть как ограничения на управления и входные переменные, так и на фазовые переменные (см. стр. 76). [c.197]

Будем предполагать, что ограничения на фазовые переменные и управления имеют вид [c.198]

В заключение необходимо отметить, что благодаря равноправности переменных учет ограничений на фазовые переменные про- [c.205]

Аналогично можно проанализировать случай, когда некоторые из выходных переменных i/p) схемы будут заданы, но ограничения по-прежнему налагаются только на управления. В этом случае более целесообразным оказывается совместное применение методов и. 3. п. и п. г. 1 (см. стр. 76), чем использование просто метода и. 3. п. Если же имеются ограничения на фазовые переменные (VII,64), то использование метода и. з. п. с соответствующими коррективами, вообще говоря, возможно, но оно намного усложнится, поскольку ограничения будут накладываться на зависимые переменные (см. стр. 76). Поэтому в данном случае эффективнее может оказаться применение только метода п. г. 1. [c.206]

Фазовыми переменными модели (5.48) являются " (i), jg(i), а управлениями u p(t), Ujg(t). Возможные значения управлений определяются типом перемещающейся боевой единицы и рельефом местности в окрестности точки перемещения. Вид зависимости ограничений на скорость перемещения от типа единицы состояния рельефа местности будет описан ниже. [c.121]

Прежде чем дать доказательство, следует отметить также, что адиабатическое постоянство фазовой площади, ограниченной гамильтонианом системы с одной степенью свободы, также имеет место и в случае систем со многими степенями свободы с сильно различающимися периодами колебаний. В таких системах исследование движения с самым быстрым периодом возможно после рассмотрения всех других движений, соответствующих медленно изменяющимся частям гамильтониана для одной степени свободы, т. е. фактически после разделения гамильтониана по этой переменной. [c.57]

Введение. В 1.1 отмечено, что одной из главных причин введения фазового пространства является наша способность следить скорее за движением ограниченных областей в фазовом пространстве, чем за индивидуальными траекториями, которые образуют эту область. Так как фазовые траектории не могут пересекать одна другую, то группы фазовых точек, ограничивающих первоначально некоторую область, будут оставаться граничными все время. Таким образом, зная поведение границы, мы можем сделать заключение о положениях и импульсах всех частиц, находящихся в этой области. Такие заключения можно сделать как для колебательных, так и для неколебательных систем. Дополнительные преимущества имеются в случае колебательных систем, обладающих либо одной, либо несколькими степенями свободы, по которым переменные разделяются. Если гамильтониан частицы постоянен-, то интеграл движения локализует пучок частиц в фазовом пространстве Траектория одной частицы однозначно ограничивает всю группу траекторий. Как показано в гл. 2, при медленном изменении параметров частицы, первоначально лежащие на кривой постоянного гамильтониана, продолжают оставаться на ней и после того, как гамильтониан изменяет свое значение. Таким образом, частица, орбита которой, взятая за один период, ограничивает группу траекторий, продолжает оставаться граничной, несмотря на тот факт, что гамильтониан частицы и форма орбиты изменились. В силу теоремы Лиувилля площадь в фазовом пространстве,ограниченная этой орбитой, остается постоянной, что, как показано в гл. 2, также озна-" чает адиабатическое постоянство интеграла действия. [c.91]

В отличие от 12, где на движение в и-мерном пространстве наложено ограничение, здесь этого ограничения пет, все фазовые переменные независимы и их можно [c.147]

Применение классических методов математического анализа и вариационного исчисления для оптимизации химических реакторов наталкивалось на значительные затруднения, связанные с наличием в реальных задачах ограничений на фазовые и управляющие переменные. Аналогичные трудности возникали при постановке оптимальных задач в других областях науки и техники. Это способствовало развитию таких мощных методов, как метод динамического программирования принцип максимума методы нелинейного программирования 2о-22 [c.10]

Наконец, мы принимали, что при начальном приближении переменная х (г) уже выходит на ограничения. Если же при начальном приближении во всех точках выполняется строгое неравенство XI < а , то вначале поиск ведем по всем и без учета фазовых ограничений XI ах- Как только в процессе поиска переменная х (() выйдет па ограничение, сразу в число искомых параметров включаем абсциссы точек схода с этого ограничения. [c.138]

В дальнейшем описанный метод условно назовем методом, основанным на исключении одной из управляющих переменных, поскольку для выполнения фазового ограничения приходится на участке выражать какую-то управляющую переменную через другие. [c.138]

Сравнение метода, основанного на исключении одной из управляющих переменных, и метода штрафов показывает, что первый метод более эффективен как по количеству итераций, так и по точности выполнения фазовых ограничений. [c.141]

Рассмотрим поставленную в этом разделе оптимальную задачу при условии, что на фазовые и управляющие переменные не наложено никаких ограничений. Управляющие переменные будем аппроксимировать кусочно-постоянными функциями [см. уравнение (IV, 14)1. Пусть N — достаточно большое число и, следовательно, интервалы разбиения х достаточно малы. Выше (см. стр. 111) было показано, что при этом производные [c.141]

Из этого соотношения видно, что наличие фазовых ограничений в й-том блоке по существу накладывает ограничение на работу всех блоков схемы, поскольку в левую часть неравенства (VI, 29) входят выходные переменные всех блоков схемы. Пусть задача синтеза ХТС решена с помощью МСП и получено ы< = 0. Несмотря на то, что в этом случае = О, А-тый блок будет формально влиять на остальную схему вследствие необходимости соблюдения неравенства (VI, 29), Следовательно, ответ на вопрос о включении к-то блока в схему может быть дан только в результате решения двух задач синтеза, в одной из которых к-тый блок заранее учитывается в задаче, а во второй не учитывается. Поскольку ограничения на входные переменные могут существовать в нескольких блоках, возникает комбинаторная проблема выбора оптимальной комбинации из всех возможных вариантов включения или невключения в схему блоков, имеющих ограничения на входные переменные. Простой перебор может привести к очень большим величинам времени счета. [c.205]

Максимизирующая последовательность является решением оптимальной задачи не только в тех случаях, которые приводят к скользящему режиму, но и тогда, когда класс функций, среди которых отыскивается решение, недостаточно широк. Примером может служить поиск решения в классе кусочно-непрерывных ограниченных функций при условии, что критерий оптимальности достигает максимума на решении, содержащем б-фупкции. В этом случае максимизирующей является последовательность кусочнонепрерывных функций, стремящаяся к 8-функции в некоторых точках отрезка [О, Т]. Аналогичная ситуация возникает и в задаче со связями в форме дифференциальных уравнений, когда фазовые переменные определяются в классе кусочно-гладких функций, между тем решением является траектория, имеющая разрывы на отрезке [О, Т. [c.179]

Как было показано выию, уравнение (5) может иметь такие решения, которые избегают диффузионной деградации, типичной для уравнений параболического типа, что вмзвано периодичностью фазовой переменной 0 и ограничением на первую производную от 0. Введение нами решений в форме двигаю-щи.хся с постоянной ср оростью спиралевидных волн — продви-гающи.хся кернов — в этой модели являются основой для интерпретации эле.ментарных частиц как стабильны-х коллективных фазовых возбуждений, генерируемых этими кернами. [c.76]

Простейшим видом ограничений являются приведенные выше услоиия (V,62), которые соответствуют случаю отыскания экстремали, соединяюш,ей две заданные точки фазового пространства переменных (см. рнс. V-1), отвечающих начальному и конечному состояниям процесса. [c.203]

Существование прямоугольника или, в общем случае, цикла без контакта, охватывающего все положения равновесия, допускает простую физическую интерпретацию, связанную с законами сохранения массы и энергии Следствием этих законов яв ляется ограниченность переменных х и у, характеризующих состояние реактора. В самом деле, из закона сохранения массы следует, что при протекании иеавтокаталитических реакций безразмерная концентрация х не может превосходить Хо — значения атой величины на входе в реактор, а из закона сохранения энергии — невозможность значений безразмерной температуры у, равных бесконечности. Но в этом случае изображающая точка на фазовой плоскости реактора не может удаляться в бесконечность, наоборот, она должна покидать удаленные части фазовой плоскости. [c.84]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология