Тригонометрические функции

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения в частных производных может быть сведено к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение в декартовых координатах приводит к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которых выражается в виде показательных или тригонометрических функций. Цилиндрические координаты ведут к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых имеет вид бесконечных рядов, называемых функциями Бесселя. Метод решения дифференциального уравнения в частных производных может быть пояснен примером в декартовых координатах, поскольку свойства тригонометрических функций, возможно, лучше известны, чем свойства функций Бесселя. Ниже будут показаны как аналитическое, так и численное решения. [c.247]

Функции У (0 и У (0 называются бесселевыми функциями соответственно первого и второго рода. Они определяются при помощи бесконечных рядов. График этих функций напоминает график тригонометрических функций с уменьшающимися амплитудой и периодом. Таблицы бесселевых функций имеются в книге Янке и Эмде , где вместо обычного обозначения применяется обозначение Ир. Решения многих уравнений первого и второго порядка можно выразить при помощи бесселевых функций . [c.389]

Разлагая подкоренные выражения и тригонометрические функции в ряды и пренебрегая затем членами высшего порядка, можно привести уравнения (111.52) и (111.53) к одинаковому виду [c.55]

Стоящее под знаком тригонометрической функции выражение [кх — шу называют фазой волны и обо- [c.19]

При Лз < О получаются формулы, аналогичные (10.38)—(10.44), только вместо гиперболических функций в них входят тригонометрические функции, а вместо везде будет фигурировать —Ля (в этом случае тоже положительная величина). Интегрирование уравнения (10.37) дает для 2-об разной формы [c.297]

Значения тригонометрических функций возвращаются в радианах, а аргументы могут задаваться в радианах или градусах в последнем случае имя оканчивается буквой D. [c.299]

В тригонометрических функциях принято радианное измерение угла. [c.149]

Для аргументов х < 2л вычисление тригонометрических функций быстрее, но точность 3—4 знака 1 щ <0,1-10 [c.433]

Доказать сходимость численного решения к решению дифференциальной системы уравнений (2.137) достаточно трудно. Поэтому для проверки сходимости были построены тесты. В этом параграфе мы их не будем приводить ввиду громоздкости выкладок. Аналогичный подход подробно приведен выше. В качестве исследуемых функций были выбраны экспоненциальные, тригонометрические функции. Расхождение между численным решением и истинным решением дифференциальной системы не превышало 2%. Вообще говоря, проверка тестами полностью не гарантирует сходимости, но достаточно свидетельствует о необходимом признаке сходимости. Если бы численная схема была неустойчива, то и тесты показали бы заметную расходимость. [c.184]

Из условий ортогональности тригонометрических функций иолучим выражения для коэффициентов /1, и [c.142]

Первое уравнение (с .1) имеет решение для Л в виде тригонометрических функций и обычных функций Бесселя, а уравнение второе (с Я,) — в виде гиперболических функций и функций Бесселя второго рода. [c.334]

Таблица тригонометрических функций некоторых углов [c.91]

Обратные тригонометрические функции [c.106]

Алгоритмом (применительно к ЭВМ) называется совокупность указаний - правил, определяющих последовательность арифметических и логических действий над исходными и промежуточными данными, приводящих к решению задачи и получению результатов. Алгоритмы должны удовлетворять следующим требованиям точному установлению порядка действий возможности с помощью одного алгоритма решать серию однотипных задач формальности, т.е. возможности правильно составить программу, не вникая в физический смысл задачи. При составлении алгоритма необходимо также учесть ограничения, игнорирование которых приводит к срыву работы ЭВМ I) невозможность деления на ноль, или, что то же самое, на разность равных величин невозможность представления логари ов нуля и отрицательных чисел 3) отсутствие смысла при вычислении обратных тригонометрических функций для аргумента больше единицы 4) невозможность извлечения квадратного корня из отрицательного числа и др. [c.5]

Проекция пузырька должна быть достаточно четкой и резкой. Контур пузырька на бумаге экрана аккуратно обводят тонко отточенным карандашом или же фотографируют. Для измерения краевого угла к полученному контуру пузырька проводят касательную (В точке соприкосновения трех фаз. Полученный при этом угол, направленный в сторону жидкости, измеряют транспортиром. Обрисовку контура и измерения краевого угла повторяют несколько раз. По полученному среднему значению краевого угла, пользуясь таблицами тригонометрических функций, находят косинус 0. Работу адгезии вычисляют по формуле (8), подставляя в нее поверхностное натяжение воды при 20° С. Полученные данные сводят в таблицу. [c.25]

В табл. 1 приведены выражения волновых функций для некоторых состояний электрона в атоме водорода. Они даны в атомных единицах. Кроме того, тригонометрические функции углов для сокращения записи определены через декартовы координаты х, у и г и расстояние г. Аналогичными волновыми функциями характеризуется движение электрона в одноэлектронных ионах (He Ы и т. д.) чтобы перейти к выражениям для этих ионов, нужно умножить приведенные волновые функции на 3/2 и подставить Ег вместо г. [c.40]

Решения 6-уравнения и Ф-уравнения содержат тригонометрические функции и поэтому определяют угловой характер волновой функции электрона. Оказалось, что общую волновую функцию наиболее удобно исследовать, если ее разделить на радиальную и угловую части [c.66]

В общем виде система не решается, так как искомые координатные параметры находятся в аргументах тригонометрических функций, из которых построены Р ( гЫ) выч. Можно, однако, воспользоваться тем, что приближенное решение структуры уже найдено, следовательно, известны значения г, достаточно близкие к искомым Поэтому, разложив Р (Нк1) выч в ряд Тейлора, можно оборвать его на втором члене [c.114]

После несложных преобразований, переходя к тригонометрическим функциям половинного угла, находим [c.46]

Зв. Тригонометрические функции углов от О до 90° [c.534]

Ручное программирование основано на том, что вся последовательность действий, которую необходимо выполнять для получения конечного результата, записывается непосредственно в системе команд данной машины. Причем программа, составленная для одной вычислительной машины, не может быть реализована на другой, если их системы команд различаются. При ручном программировании программа составляется на уровне отдельных команд. Исходная задача представляется таким образом, чтобы ее решение можно было получить с помощью системы команд данной машины. Если, например, в системе команд отсутствует операция вычисления некоторой тригонометрической функции, то она должна быть заменена в программе последовательностью операций сложения, вычитания, умножения. Отсюда следует, что ручное программирование настолько специфично, что программист, работающий на одном классе машин, не может без дополнительных усилий на освоение системы команд составить программу для другой машины. [c.96]

Возможны три сочетания корней характеристического уравнения третьей степени все корни действительные (вещественные) и разные два или три действительных корня равны между собой один корень действительный и два — комплексных сопряженных. С этими разновидностями корней связаны типы элементарных функций, входящих в решение дифференциального уравнения и характеризующих динамические свойства линейной модели следящего привода. При действительных корнях имеем показательные функции, отражающие апериодический характер переходного процесса. Комплексным корням соответствуют показательные и тригонометрические функции, свидетельствующие о колебательном переходном процессе. [c.216]

Заменив в амплитудно-фазовой частотной характеристике (10.77) отношение Z . (](a)lZ (/ш) его комплексным значением (J0.80) и применив формулу преобразования гиперболических и тригонометрических функций, получим [c.276]

Формулы (6.2) показывают, что эпюры амплитуд (абсолютных величин) стоячих волн v ж р изображаются отрезками тригонометрических функций sin и os. Этн эпюры показаны на рис. 6, где даны четыре первые гармоники. Видно, что при колебаниях по основному тону (первой гармонике) на длине трубы помещается половина длины волны, второй гармонике соответствует полная длина волны, третьей — полторы длины волны и т. д. Чем больше номер гармоники, т. е. чем больше частота колебаний, тем большее количество полуволн помещается на длине трубы. [c.50]

Во-вторых, можно поступить следующим образом. Полагая N = on.st и сохраняя г, изменим аргументы входящих в коэффициенты Ь ml с тригонометрических функций следующим образом [c.490]

Формулы для тригонометрических функций суммы углов могут быть вновь использованы для раскрытия со5 2л[/су + к + /)/2] и 8ш2л[/с у + + к+1)/2 , и так как [c.395]

Свойства решения уравнения (38), которое описывает распространение звуковых волн, хорошо известны (см., например, работу [ Ч). Воспользовавшись, нанример, методом разделения переменных, можно показать, что решение, описывающее распространение волн в цилиндрической камере, представляет собой сумму членов, каждый из которых является произведением функции Бесселя радиальной координаты г, тригонометрической функции аксиальной координаты 2, тригонометрической функции азимутального угла ф и тригонометрической функции времени. Окончательный вид решения для колебаний зависит, конечно, от граничных условий на торцевых поверхностях камеры и на поверхности твердого топлива. Простейшим граничным условием является условие, соответствующее абсолютно жестким стенкам в этом случае нормальная составляющая скорости до-лжна быть равна нулю [и, [c.293]

Прп обращении к стандартной тригонометрической функции аргумент должен быть представлен в радианах. Если же аргумент в градусной мере, его необходимо умножить на переходный коэффициент 0,01745329 например, sin (53 ) -, sin (53 X 0.01745329). Для получения значения обратной тригонометрической функции в градусной мере необходимо воспользоваться переходным коэффициентом 57,29578 например, 57.29578 X ar sin (0.6). Десятичный логарифм выражения может быть получен по формуле [c.62]

Ввиду многозначности обратных тригонометрических функций последние оыределепы только для главных значений. [c.63]

Таким образом, в этом простом случае г))о (а ) есть обычная тригонометрическая функция и условие, налагаемое на собственное значение, представляет собой обычное условие критичности для односкоростного приближения. Критический размер этого реактора можно получить в результате вычисления наименьшего собственного числа Шд уравнения (8.256а) и последующего варьирования размера реактора до тех пор, пока наименьшее собственное хначение уравненпя (8.261) не будет удовлетворять соотношению [c.359]

Примером таких математических моделей может служить точечная диаграмма размера обработанных деталей. Так, действие случайных факторов и систематического износа режущего инструмента описывается линейной моделью у = ах + Ь (рис. 1.71, г). Действие нескольких случайных и систематических факторов (рис. 1.71, д) можно описать моделью, представляющей собой тригонометрическую функцию А , пКхХ + -н Всо К х -ь С [c.114]

Выражая величины х у через тригонометрические функции, соот-ветствуюише полухорде у угла р, и интегрируя полученное уравнение, получим для данного случая уравнение расхода, аналогичное уравнению (1—31) [c.49]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология