Уравнение Шредингера для многих тел

На рис. 4.1 качественно показано, как изменяется потенциальная энергия двух связанных атомов в зависимости от расстояния г между ними. Точный вид межатомного потенциала в принципе можно получить путем расчета полной электронной энергии Е молекулы в зависимости от г. Однако для много-ато.мных молекул Е(г) нельзя рассчитать с достаточной точностью с помощью упомянутых приближенных методов. Поэтому координатные зависимости потенциала описываются эмпирическими феноменологическими функциями. Конечно, в данные функции входят известные молекулярные константы, например длпна связи (го), силовая постоянная растяжения связи и энергия диссоциации О. В качестве одной из таких функций используется потенциал Морзе, с помощью которого решается уравнение Шредингера [c.115]

Водородоподобная система (атом водорода или любой одноэлектронный ион) является единственной химической системой, для которой известно точное аналитическое квантовомеханическое решение. Проблемы, связанные с многоэлектронными атомами и молекулами, приходится решать другими методами. Наиболее очевидный из них заключается в прямом решении уравнения Шредингера численными способами. Многие исследователи посвятили массу времени и усилий для развития этого подхода. Однако проблема оказывается очень сложной. Хотя с помощью электронно-вычислительных машин удалось получить результаты для сравнительно простых систем, в большинстве работ, посвященных системам, которые представляют интерес для химии, используются приближенные методы. Наиболее распространенные методы, используемые в квантовой химии, основаны на применении либо вариационного принципа, либо теории возмущений. [c.102]

Приближенные способы решения уравнения Шредингера для систем, состоящих из многих ядер и электронов, интерпретация полученных решений в удобных и общепринятых терминах и понятиях, изучение и прогнозирование свойств молекулярных систем, новых веществ и материалов является объектом изучения специального раздела химии — квантовой химии. [c.100]

Химическая связь возникает благодаря взаимодействию электрических полей, создаваемых электронами и ядрами атомов, участвующих в образовании молекулы или кристалла. Независимо от типов химической связи причина ее образования — одна. Химическая связь образуется, если электроны взаимодействующих атомов получают возможность двигаться одновременно вблизи положительных зарядов нескольких ядер. Задача заключается в том, чтобы достаточно правильно описать главные детали этого движения многих частиц и научиться рассчитывать в различных участках молекулы электронную плотность, обеспечивающую связывание атомов. Оказалось, что получить даже качественно правильные решения уравнения Шредингера удается не всегда. Поэтому в настоящее время применяются для объяснения свойств химической связи разнообразные приближенные теории, часто сильно отличающиеся друг от друга. Из методов квантовой химии наиболее известны два подхода к расчету молекулярных систем — метод валентных связей (метод ВС) и метод молекулярных орбиталей (метод МО). [c.101]

Стационарные состояния, т.е. собственные функции оператора энергии, могут быть одновременно и собственными функциями операторов П, Р,. Однако стационарных состояний с заданными квантовыми числами Д У, MJ бесконечно много, и для их разделения требуется детальное исследование уравнения Шредингера. [c.117]

Энергетические уровни и распределение электронной плотности в многоэлектронных атомах, так же как и в атоме водорода, в принципе могут быть рассчитаны теоретически методами квантовой механики однако здесь встречаются огромные математические трудности. В таких расчетах приходится решать уравнение Шредингера для многих частиц. [c.51]

Для целей статистической механики достаточно знать лишь энергетические уровни молекул и их вырождение знание самой волновой функции необязательно. Поэтому знание величин ег, и для всех энергетических уровней а будет рассматриваться как знание структуры молекулы сорта г. Хотя в принципе структура молекулы определяется из решения соответствуюш его уравнения Шредингера, практически получить такое решение чрезвычайно трудно, за исключением случаев простейших молекул. Чаще структуру молекул определяют, анализируя спектроскопическим методом излучение и поглощение света молекулой (излучение или поглощение сопровождается переходом молекулы с одного энергетического уровня на другой, причем частота света V и разность энергий этих уровней связаны соотношением Ае = = V, где к — постоянная Планка). Во многих случаях спектроскопические данные удается скоррелировать с результатами, полученными из анализа простых квантовомеханических моделей молекулярной структуры. [c.440]

Подобный способ определения комплекса, когда заранее не постулируется электростатический или ковалентный характер связей, позволяет охватить обе стороны явления и получить более реальное представление об электронной конфигурации комплекса. Точного решения уравнения Шредингера для такой сложной системы, состоящей из многих ядер и большого числа электронов, в данный момент нет. Поскольку поэтому нельзя получить и распределение электронов в системе по энергии, постольку в теорию поля лигандов введены некоторые упрощения, позволяющие решить задачу. [c.81]

Квантовомеханическая модель атома не такая наглядная, как модель, предложенная Бором, а математический аппарат квантовой механики несравненно сложнее. Поэтому основные положения квантовомеханической модели строения атома будут рассмотрены чисто качественно, без использования математического аппарата. Многое из того, что будет изложено в следующем разделе, читателю придется принять на веру , без доказательств. Квантовые числа будут просто введены для описания поведения электрона в атоме, в то время как они являются следствием решения уравнения Шредингера. [c.26]

В ВОЛНОВОЙ (или квантовой) механике электрон, как и любая микрочастица, описывается с помощью волновой функции. Его движение определяется уравнением, предложенным Шредингером, - знаменитым уравнением Шредингера. Решением этого уравнения является волновая функция f, которая соответствует разрешенной энергии электрона и описывает зависимость амплитуды стационарной волны, соответствующей электрону, от трех его пространственных координат. Квадрат волновой функции определяет вероятность пребывания электрона в некоторой пространственной области. Здесь мы как раз встречаемся со случаем точного знания энергии электрона и вероятностного описания его положения в пространстве. Во многих случаях удобно рассматривать электрон как размытое в пространстве облако отрицательного заряда. Плотность такого электронного облака в любой точке пропорциональна V. Модель электронного облака наглядно описывает распределения электронной плотности в пространстве, хотя она физически несовершенна, так как одноименно заряженные части облака должны отталкиваться друг от друга, вызывая его рассеивание. На самом же деле электрон не отталкивается сам от себя . Это обстоятельство несколько ограничивает аналогию между электроном и облаком, но не мешает нам говорить об электронных облаках во всех случаях, когда мы не интересуемся деталями, связанными с их потенциальной энергией. Представлением об электронных облаках мы будем широко пользоваться в этой книге. [c.27]

Многие разделы химии связаны с изучением процессов, протекающих во времени в качестве примера укажем химическую кинетику и исследования явлений рассеяния и спектральных переходов. Для описания таких процессов приходится решать зависящее от времени уравнение Шредингера [c.119]

Мне доставляет большое удовольствие написать это предисловие к русскому изданию книги Валентность . Я только что вернулся из поездки в Советский Союз, где имел возможность встретиться со многими советскими учеными и обсудить с ними как их, так и мои работы. Я считаю, что квантовой химии принадлежит большое будущее. Многие основные представления квантовой механики оказали глубокое влияние на химические теории. Не будет преувеличением сказать, что современная химия коренным образом отличается от химии того периода, который предшествовал введению волнового уравнения Шредингера. Квантовая химия интернациональна, и ученые почти каждой страны мира внесли вклад в ее развитие. Я уверен, что и в дальнейшем советские химики будут объединять свои усилия с химиками других стран в разработке этой увлекательной новой отрасли химии, и если настоящая небольшая книга окажется им полезной, то я испытаю истинное удовлетворение. Ведь всех нас объединяет любовь к природе и стремление понять ее. [c.9]

Применение уравнения Шредингера к атомом с несколькими электронами. В принципе уравнения, подобные уравнению (32), можно составить и для атомов с несколькими электронами. Однако уже для двух электронов математическое решение задачи значительно усложняется. В этом случае в уравнение (31) входят вторые частные производные для каждой частицы по трем пространственным координатам, т. е. в общей сложности по шести пространственным координатам 1 ) будет функцией в шестимерном пространстве. При дальнейшем увеличении числа электронов математические трудности настолько возрастают, что точного решения уравнения Шредингера для многих электронов не имеется. В таких случаях решение задачи облегчается введением упрощающих предположений. Целый ряд, важных для химии результатов был получен при использовании таких допущений на основе волновой или квантовой механики. [c.125]

Молекула вещества состоит в большинстве случаев из нескольких электронов и нескольких атомных ядер. Для решения многих химических проблем существен лишь заряд ядра, определяющий положение соответствующего атома в таблице Менделеева, структура же ядра, его энергетическое состояние играют меньшую роль. Поэтому будем считать атомные ядра материальными точками с заданными зарядом и массой. Одной из часто встречающихся задач квантовой химии является решение уравнения Шредингера с гамильтонианом вида (П.20) или более сложного с учетом спинов. [c.152]

Многие приближенные методы решения уравнения Шредингера опираются на так называемый вариационный принцип. [c.154]

Давно известно, что квантовомеханическое волновое уравнение Шредингера описывает все химические события. Однако до сих пор квантовая механика использовалась в химии только для качественного описания или в рамках очень грубых приближений, поскольку уравнения слишком трудно разрешимы (исключение составляют лишь простейшие молекулы типа Нг и Нг). Современные компьютеры коренным образом изменили положение. Сегодня они позволяют точно, без приближений, рассчитывать строение и устойчивость любых молекул, содержащих элементы трех первых периодов (углерод, азот, кислород, фтор) и, кроме того, различное число атомов водорода. Эта возможность дает химикам способ изучать многие ситуации, которые не могут быть исследованы [c.152]

Довольно значительное количество исследований энергетических спектров электронов в тугоплавких соединениях было выполнено методом сильной связи (ЛКАО), основанным на предположении о сильной локализации всех валентных электронов вблизи ядер. Не касаясь существа этого метода, детально описанного во многих специальных руководствах (см., например, [19—21]), отметим лишь, что он не может обеспечить точного решения уравнения Шредингера, поскольку волновые функции, соответствующие связующим электронным состояниям, не образуют полного набора. Кроме того, следует иметь в виду, что в пространстве между атомами форма потенциала довольно гладкая, поэтому здесь состояние электронов должно описываться почти плоскими волнами. Суперпозиция же атомных функций с учетом их перекрывания в обсуждаемых областях может приводить к всплескам электронных плотностей. В связи с этим подобный подход к исследованию полосной структуры менее корректен, чем используемый в методах ППВ и ОПВ. Тем не менее метод сильной связи, являясь технически более простым, может быть успешно использован для изучения электронных состояний в произвольных точках зоны Бриллюэна. Он интересен и тем, что описание волновой функции электрона в виде суперпозиции волновых функций атомов позволяет [c.268]

Это значение р или х можно использовать для любого потенциального барьера, который может быть достаточно хорошо аппроксимирован формулой (16.23). Общий метод, конечно, применим всегда, когда известны строгие решения уравнения Шредингера, отвечающие данному потенциалу. Однако многие барьеры оказываются более плоскими, чем тот, который представлен формулой (16.23). Тогда возникает вопрос при каких условиях допустимо трактовать [c.419]

Общим для всех приближенных методов решения этого уравнения является так называемое одноэлектронное приближение, т. е. предположение, что волновая функция многоэлектронной системы может быть представлена в виде суммы волновых функций отдельных электронов. Тогда уравнение Шредингера может решаться отдельно для каждого находящегося в атоме электрона, состояние которого, как н в атоме водорода, будет определяться значениями квантовых чисел п, /, т и 5. Однако и при этом упрощении решение уравнения Шредингера для многоэлектронных атомов и молекул представляет весьма сложную задачу и требует большого объема трудоемких вычислений. В последние годы подобные вычисления выполняются, как правило, с помощью быстродействующих электронных вычислительных машин, что позволило произвести необходимые расчеты для атомов всех элементов и для многих молекул. [c.85]

Поэтому с помощью параметра Zф и уравнения (8.2.4) можно определить основные термодинамические свойства ф-фазы, а затем, используя уравнения (8.2.9)—(8.2.11), рассчитать коэффициенты распределения и сокристаллизации. Однако точно решить уравнение Шредингера для многих электронов и ядер очень трудно. Поэтому при расчете коэффициентов и применяют упрощенные [c.217]

Если представить изолированный атом углерода как центрально-симметричную систему, то к нему можно применить теорию, развитую для водородоподобных атомов. Она основывается на уравнении Шредингера и его решениях. Математический аспект теории рассматривается во многих руководствах, в частности в работах [1, 2], и приводить его здесь нет необходимости. [c.6]

Статистический характер квантовой механики. Фазовые волны, амплитуды которых подчиняются уравнению Шредингера, правильно описывают поведение и движение материальных частиц даже в тех случаях, где классическая физика оказывается несостоятельной (т. е. во всей области внутриатомных и внутримолекулярных движений). В частности становится излишним вводить в теорию специальные гипотезы или правила квантования, как это нужно было делать в старой квантовой теории квантование автоматически вытекает из уравнения Шредингера. Результаты и возможности квантовой механики этим далеко не исчерпываются. Особенно много нового и важного она дает химии при применении ее к системам из нескольких атомов и молекул, объясняя причину валентных связей и давая возможность вычислять величины хи.мического сродства, как будет показано дальше ( 175), Общепринятое сейчас и подтверждаемое опытом истолкование физического смысла амплитуды фазовой волны было дано Борном [c.49]

Что же такое электронная волна Она выражается в уравнении Шредингера некоей функцией г], зависящей от пространственных координат и времени, — волновая функция, функция состояния частицы. Для физика эта греческая буква значит многое, и естественно, что именно она фигурирует на значке физического факультета Ленинградского университета, который с гордостью носят студенты. [c.86]

Так вот, уравнение Шредингера ничем не лучше уравнений классической механики при решении проблемы многих тел. Атом водорода, содержащий всего два заряженных тела—протон и электрон, поддается полному расчету. А для молекулы водорода нужно решать задачу приближенно. Такое решение было получено Гайтлером и Лондоном в 1927 году. [c.118]

Это уравнение и является уравнением Шредингера (стр. 43). В данном случае сформулированные выше три постулата (см. стр. 48) приводят к тому же результату, что и предположения, сформулированные на стр. 42. Для многих целей уравнение Шредингера удобно применять в форме уравнения (54), причем оператор Н имеет смысл, указанный в уравнении (53). Его можно записать в более сжатой форме, аналогичной уравнению (56) [c.51]

Атомы всех элементов, кроме водорода, многоэлектронные. Волновые функции и уровни энергии для них в принципе можно найти, решив уравнение Шредингера. Однако точное решение этого уравнения для многоэлектронных систем невозможно задача усложняется гем, что электрон движется уже не в поле ядра, а в поле, создаваемом ядром и остальными электронами. Рассмотрим простейпшй из много- лектронных атомов атом гелия, состоящий из ядра (2=2) и [c.34]

Нахонсдение уравнения потенциальной поверхности, описывающего изменения энергии взаимодействующих атомов в зависимости от их мезкатомных расстояний. Решение этой задачи позволило бы определять высоту энергетического барьера. Оно требует решения уравнения Шредингера для много-электронных систем, что до сих пор остается практически невозможным дансе с помощью ЭВМ. [c.260]

В рамках нерелятивистской теории спин электрона не входит непосредственно в уравнение Шредингера и потому не сказывается на орбитальном движении одного электрона. Однако благодаря тожественности электронов величина спина налагает условия на симглетрию волновой функции и, следовательно, сказывается на распределении электронов в много электронном атоме (см. п, 6.2). [c.22]

Охватываемый материал является в целом довольно традиционным, ио имеет и некоторые особенности. Поскольку качественные объяснения могут привести к неверным представлениям, ряд тем, которые нередко рассматриваются во вводных курсах на качественном уровне, здесь излолсены подробнее (например, принцип Паули). В то же время при изложении других тем (как, например, решение радиального уравнения Шредингера для атома водорода) мы сочли возможным ограничиться формальным подходом. В подобных случаях мы отсылаем читателя к изданиям, в которых содержится более полное изложение вопроса. Простые примеиеиия формальных представлений даются ие только в основном тексте, но и в задачах, завершающих кал<дую главу. Часть этих задач требует прямого проведения математических выкладок, поскольку именно конкретные приложения позволяют многим студентам понять необходимость их проведения. Навряд ли студенты окажутся в состоянии повторить все математические выкладки при первом ознакомлении с материалом. Это смогут сделать только те, кто захочет пройти более углубленные курсы. [c.7]

Еще одним типом базиса для расчета блоховских функций являются присоединенные плоские волны (ППВ) [35]. Эти функции генерируются следующим образом. Объем кристалла разбивается на атомные области — непересекающиеся сферы, центрированные на ядрах атомов, и межатомную область. ППВ получаются сшиванием решений уравнения Шредингера для каждой из атомных областей и плоских волн, описывающих движение электронов в межатомном пространстве. Как мы видим, метод ППВ имеет много общего с квантовохимическим методом многократно рассеянной волны, идеи которого заимствованы из теории твердого тела. С другой стороны, метод ППВ самым тесным образом связан с еще одним подходом к расчету зонной структуры — методом функций Грина (МФГ) Корринги — Кона — Ростокера [33]. [c.38]

Такой многоцентровый характер задачи подсказывает, однако, определенный метод решения уравнения (1.7). Естественно предположить, что в районе любого данного атома потенциал V всей системы более или менее близок к потенциалу именно этого атодга. Тогда логично считать, что каждое решение уравнения Шредингера для всей системы в районе данного атома также близко к решению уравнения для этого атома, т. е. к какой-либо из его АО. В принципе, конечно, можно предложить много способов получать одноэлектронные функции подобного вида. Однако простым и с математической [c.21]

В этой главе мы рассмотрим при помощи методов квантовой механики некоторые простые системы, для которых можно дать строгое решение уравнения Шредингера. Эти системы являются идеализацией систем, фактически встречающихся в природе, но их рассмотрение не лишено значения, так как они позволяют глубже подять методы квантовой механики и дают результаты, полезные при обсуждении многих проблем, интересных с точки зрения физики и химии. [c.94]

Уравнение Шредингера можно точно решить лишь в нескольких простых случаях большей частью мы принуждены ограничиться приближенными методами решения, обсуждавшимися в гл. VII. Однако большая группа искомых результатов зависит только от свойств симметрии рассматриваемой системы. Для получения строгих результатов такого типа можно применять определенный раздел математики, Н0СЯШ.ИЙ название теории групп. Элементарное изложение этой теории, которое мы приводим здесь, ни в коем случае не претендует на полноту многие важные теоремы приводятся здесь без доказательств (см. список обш,ей литературы). [c.229]

Сам Шредингер предложил другую, более наглядную трактовку физического смысла величины а именно согласно его взгляду, электрон в атоме представляет собой как бы отрицательно заряженное электронное облако, причем различным элементам объема (1х отвечает различная плотность этого облака, а величина 11зр пропорциональна плотности заряда. Между обеими трактовками имеется различие, не имеющее, одиако, существенного значения для электронной химии, в которой принимается понятие об электронной плотности в статистически-вероятностном смысле. Так же несущественна для химиков и трактовка самой о1з-функции. У химиков-теоре-тиков к уравнению Шредингера, как и ко многим другим уравнениям физики, имеется, так сказать, потребительское отношение, и их вполне удовлетворяет такое описательное определение "ф-функция — такая функция от координат электрона (или электронов), по квадрату модуля которой можно судить о распределении электронного облака в молекулах и других интересующих химика частицах. Это определение трактуется иногда еще и в том смысле, что электрон в своем движении проводит в данном элементе объема в среднем часть времени, равную вероятности его нахождения здесь, или, что эквивалентно, равную плотности заряда в том же элементе объема. Понятие об электронном облаке и его плотности — одна из наглядных моделеГ , к которым всегда тяготели химики в своих теориях [c.164]

Многозлектронные атомы. Б атоме водорода электрон находятся в силовом поле, которое создается только ядром. В много-> электронных атомах на каждый электрон действует не только ядро, но и все остальные электроны. При этом электронные облака отдельных электронов как бы сливаются в одно общее многоэлектронное облако. Точное решение уравнения Шредингера для таких сложных систем связано с большими затруднениями и, как правило, недостижимо. Поэтому состояние электронов в сложных атомах и в молекулах определяют путем приближенного решения уравнения Шредингера. [c.85]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология